线性系统理论

线性系统理论

-

线性系统理论之观察

摘要

系统控制的理论和实践被认为是20世纪对人类生产活动和社会

发生重大影响的科学领域之一。在系统和控制科学领域内，线性系统

是基本的研究对象，并在过去几十年中取得了众多结果和重要进展，

已经形成和发展为相当完整和相当成熟的线性系统理论。线性系统理

论的重要性首先在于它的基础性，其大量的概念、方法、原理和结论，

对于系统与控制理论的许多学科分支，诸如最优控制、非线性控制、

鲁棒控制、随机控制、智能控制、系统辨识和参数估计、过程控制、

数字滤波和通信系统等，都具有重要和基本的作用，成为学习和研究

这些学科必不可少的基础知识。

关键词最优控制、非线性控制、鲁棒控制、随机控制、智能控制、

系统辨识和参数估计、过程控制、数字滤波和通信系统等

线性系统理论的主要内容

线性系统理论着重于研究线性系统状态的运动规律和改变这种

运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数和性能间的

确立和定量的关系。通常，研究系统运动规律的问题称为分析问题，

研究改变运动规律的可能性和方法的问题则为综合问题。从哲学的角

度而言，前者属于认识系统的范畴，后者属于改造系统的范围。

线性系统的理论和方法是建立在其模型基础之上的。不管是对系

统进行分析还是综合，一个首要的前提是建立器系统数学模型。建立

模型时，最重要的是确定什么是需要反映和研究的主要系统属性，并

在此基础上来定出他们的定量关系。随着所观察问题的性质的不同，

一个系统可以有不同的模型，它们代表了系统不同侧面的属性。系统

数学模型的基本要素是变量、参量、常量和它们之间的关系。变量包

括状态变量、输入变量和输出变量，有些情况下还需考虑扰动变量。

参量可以是系统的参数或表征系统性能的参数，前者受系统环境的影

响课产生变动，后者可随设计要求而人为地改变其取值。常量是指系

统中不随时间改变的参数。线性系统的数学模型有两种主要形式，即

时间域模型和频率域模型。时间域模型变现为微分方程组或差分方程

组，可同时适用于线性时不变和线性时变系统。频率域模型表现为传

递函数和频率响应，只适用于线性时不变系统。对应于系统的这两项

模型，已经发展和形成线性系统理论中的两类不同方法。

（1）线性系统分析理论

（2）线性系统综合理论

线性系统理论的主要内容包括：①与系统结构有关的各种问题，

例如系统的结构分解问题和解耦问题等。系统结构的规范分解（见能

观测性）是其中的著名结果。②关于控制系统中反馈作用的各种问题，

包括输出反馈和状态反馈对控制系统性能的影响和反馈控制系统的

综合设计等问题。极点配置是这方面的主要研究课题。③状态观测器

问题，研究用来重构系统状态的状态观测器的原理和设计问题。④实

现问题，研究如何构造具有给定的外部特性的线性系统的问题，主要

研究课题是最小实现问题。⑤几何理论，即用几何观点研究线性系统

的全局性问题(见线性系统几何理论)。⑥代数理论，用抽象代数方法

研究线性系统，把线性系统理论抽象化和符号化。其中最有名的是模

论方法（见线性系统代数理论）。⑦多变量频域方法，是在状态空间

法基础上发展起来的频域方法，可以用来处理多变量线性系统的许多

分析和综合问题，也称现代频域方法。⑧时变线性系统理论，研究时

变线性系统的分析、综合和各种特性。数值方法和近似方法的研究占

有重要地位（见时变系统）。

数学模型

在线性系统理论中，输入变量、状态变量和输出变量三者之间的数学

关系被看作是线性的。系统数学模型具有标准形式。对于连续情况，

线性系统由下列方程组描述：

第一个方程称为状态方程，用以描述状态向量x＝(x1，x2,„,xn)T与

输入向量u＝(u1,„,ur)T间的动态关系；第二个方程称为输出方程或

量测方程,描述输出向量y＝(y1，y2„,ym)T与状态向量和输入向量之

间的线性组合关系。这里T表示矩阵转置。A，B，C和D都是常系

数矩阵。x的维数（即系统的状态变量的个数）n称为系统的维数。

这个模型可用下面的框图表示。

线性系统理论

对于离散情况，线性系统的模型具有差分方程形式：

x(k+1)＝Ax(k)+Bu(k)

y(k)＝Cx(k)＋Du(k)(k＝0,1,2,„)

为简便起见,常可把线性系统简记为(A，B，C，D)。其中Du或Du(k)

表示从输入端直接传送到输出端的前馈作用,它与系统状态的动态行

为无关。在理论研究中常可假设D＝0，这时系统可记为(A，B，C)。

线性系统理论的发展过程

线性系统控制理论与一切其他技术科学学科一样，也是在社会

发展需求的推动下，从解决相应时代的重大实际生产和工程问题的需

求中产生和发展起来的。一般认为，奈奎斯特在20世纪30年代初对

反馈放大器稳定性的研究，是系统控制作为一门学科发展的开端。线

性系统理论的发展过程经历了“经典线性系统理论”和“现代线性系

统理论”两个阶段。

20世纪50年代以后，随着航天等技术的发展和控制理论应用范

围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显,它既不能满足实际

需要,也不能解决理论本身提出的一些新问题。这种状况推动线性系

统的研究，在1960年以后从经典阶段发展到现代阶段。美国学者R.E.

卡尔曼首先把状态空间法应用于对多变量线性系统的研究，提出了能

控性和能观测性这两个基本概念，并提出相应的判别准则。1963年

他又和E.G.吉尔伯特一起得出揭示线性系统结构分解的重要结果，为

现代线性系统理论的形成和发展作了开创性的工作。1965年以后，

现代线性系统理论又有新发展。出现了线性系统几何理论、线性系统

代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随

着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算机辅助设

计问题也受到普遍重视。

主要特点与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主

要特点是：

①研究对象一般是多变量线性系统，而经典理论主要以单输入单

输出系统为研究对象。因此，现代线性系统理论具有大得多的适用范

围。

②除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状

态变量，而经典理论只考虑系统的外部性能（输入与输出的关系）。

因此，现代线性系统理论所考虑的问题更为全面和更为深刻。

③在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法。

而经典理论主要采用频域方法。因此，现代线性系统理论能充分利用

这两种方法。而时域方法对动态描述要更为直观。

④使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，

现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论，对

某些问题还使用泛函分析、群论、环论、范畴论和复变函数论等较高

深的数学工具。因此，现代线性系统理论能探讨更一般更复杂的问题。

主要学派:

几何理论：把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,

并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合

代数理论：把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的

映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽

象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题

多变量频域方法：

与其他学科的关系

很多实际系统（工程系统、生物系统、经济系统、社会系统等）

都可用线性系统模型近似地描述，而线性系统理论和方法又比较成

熟，因此它的应用范围十分广泛。在航空、航天、化工、机械、电机

等技术领域中，线性系统理论都有应用实例。在科学领域中，线性系

统理论的研究不但为控制理论的其他分支提供了理论基础，而且对数

学研究也提出了一些有实际意义的新问题。

参考文献

线性统理论基础昌德编电子工业出版社1985.3

线性系统理论段广仁编著哈尔滨工业大学出版社19967-5603-1181-4

线性系统理论郑大钟编著清华大学出版社20027-302-05501-7

线性系统理论郑大钟著清华大学出版社1990.37-302-00569-9

电气研11

王继坤1043111255

2011-11-20







二是多项式矩阵方法

一是频域方法