蝴蝶定理
-
2023年3月20日发(作者：ctve)好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page1of19
板块一任意四边形模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
S4
S3
S2
S1
O
D
CB
A
①
1243
::SSSS或者
1324
SSSS②
1243
::AOOCSSSS
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边
形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△
AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是
6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
O
D
C
B
A
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面
积；⑵:AGGC？
A
B
C
D
G
3
2
1
例题精讲
任意四边形、梯形与相似模型
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page2of19
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的
1
3
，且
2AO
，
3DO
，那么
CO
的长度是
DO
的长度的_________倍．
A
B
C
D
O
【例3】如图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
CEF△
、
OEF△
、
ODF△
、
BOE△
的面积依次是2、
4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．
O
G
F
E
D
C
B
A
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
7
6
【例5】(2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积
为．
C
A
B
D
【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积．
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page3of19
A
B
C
D
E
【例6】(2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD中，2BEEC，CFFD，求三角形AEG
的面积．
A
BC
D
E
F
G
【例7】如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长
方形ABCD的面积．
A
B
C
D
E
F
G
【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角
形BDG的面积．
A
B
C
D
E
F
G
【例9】如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和
BON的面积分别是3、2、1，则MNC的面积是．
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page4of19
N
M
O
C
B
A
【例10】(2009年迎春杯初赛六年级)正六边形
123456
AAAAAA
的面积是2009平方厘米，
123456
BBBBBB
分别
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．
B
6
B
5
B
4
B
3
B
2
B
1
A
6
A
5
A
4
A
3
A
2
A
1
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
A
B
C
D
O
b
a
S3
S2
S1
S4
①22
13
::SSab
②22
1324
::::::SSSSababab；
③S的对应份数为2ab．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结
论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例11】如图，
2
2S，
3
4S，求梯形的面积．
S4
S3
S2
S1
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page5of19
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已
知AOB△与BOC△的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________
平方厘米．
35
25
O
A
B
CD
【例12】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角
形BOC面积的
2
3
，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．
O
A
B
C
D
【例13】(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且
3
5
ABD
CBD
三角形的面积
三角形的面积
，那么OC的长是多少？
A
B
C
D
O
【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是29cm
，问三角形AOD的面积是多少？
A
BC
D
O
【巩固】如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page6of19
O
D
C
B
A
【例
15
】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形
ADG
的面积是11，三角形
BCH
的面积是
23
，求四边形
EGFH
的面积．
H
G
F
E
D
C
B
A
【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2
的面积为36，则三角形1的面积为________．
321
【例16】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．
G
M
D
C
B
A
【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平
方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．
A
B
C
D
E
F
【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，
,EF
是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积．
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page7of19
O
FE
DC
B
A
【例18】如图，在长方形
ABCD
中，
6AB
厘米，2AD厘米，AEEFFB，求阴影部分的面积．
B
C
A
D
EF
O
【例19】(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，三角形ODE的
面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．
O
E
A
B
C
D
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部
分的面积是平方厘米．
21
A
B
C
D
E
9
4
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单
位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．
16
8
2
A
B
C
D
E
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page8of19
【例20】如图所示，BD、
CF
将长方形
ABCD
分成4块，DEF的面积是5平方厘米，
CED
的面积是
10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
F
A
B
C
D
E
10
5
【巩固】如图所示，BD、
CF
将长方形
ABCD
分成4块，DEF的面积是4平方厘米，
CED
的面积是6平
方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
6
4
A
BC
D
E
F
【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB
的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？
E
O
D
C
B
A
【例21】(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．
?
8
5
2
O
AB
C
D
E
F
【例22】(98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB
的长是9．那么四边形OECD的面积是．
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page9of19
A
B
C
D
E
O
【例23】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形
DEFG的面积48，:1:3AKKB，则BKD的面积是多少？
K
G
FE
D
C
B
A
【例24】如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是9，BCF的面积是27．那么阴
影AEC面积是多少？
F
E
D
C
B
A
【例25】如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
【例26】如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分
组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？
⑥
⑤
④
③
②①
B
F
E
D
C
A
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page10of19
【例27】如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，
现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分
的面积为．
【例28】如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且2CEBE，2CFDF，连接BF、
DE，相交于点G，过G作MN、
PQ
得到两个正方形
MGQA
和PCNG，设正方形
MGQA
的面积为
1
S
，正方形PCNG的面积为
2
S
，则
12
:SS
___________．
Q
P
N
M
A
BC
D
E
F
G
【例29】如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且2CDAB，点E、F分别是AD和BC的中点，
已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米．
F
E
A
B
C
D
M
N
【例30】(2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、
H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简
分数
m
n
，那么，
()mn
的值等于．
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page11of19
A
B
C
D
E
F
G
HH
G
F
E
D
C
B
A
板块三相似三角形模型
(一)金字塔模型(二)沙漏模型
G
F
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
①
ADAEDEAF
ABACBCAG
；
②22:
ADEABC
SSAFAG
△△
：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，
与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
【例
31
】如图，已知在平行四边形
ABCD
中，
16AB
，
10AD
，4BE，那么
FC
的长度是多少？
F
E
D
C
B
A
【例32】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份．如果小玻璃管
口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page12of19
605040
3020
10
0
E
A
D
C
B
【例
33
】如图，DE平行
BC
，若
:2:3ADDB
，那么
:
ADEECB
SS
△△
________．
A
E
D
C
B
【例
34
】如图，
ABC△
中，DE，
FG
，
BC
互相平行，ADDFFB，
则
::
ADE
DEGFFGCB
SSS
△
四边形四边形
．
E
G
F
A
D
C
B
【巩固】如图，DE平行BC，且2AD，5AB，4AE，求AC的长．
A
E
D
C
B
【巩固】如图，ABC△中，DE，FG，MN，
PQ
，BC互相平行，ADDFFMMPPB，
则::::
ADE
DEGFFGNMMNQPPQCB
SSSSS
△
四边形四边形四边形四边形
．
Q
E
G
N
M
F
P
A
D
C
B
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page13of19
【例35】已知
ABC△
中，
DE
平行
BC
，若
:2:3ADDB
，且
DBCE
S
梯形
比
ADE
S
△
大28.5cm，求
ABC
S
△
．
A
E
D
C
B
【例
36
】如图：
MN
平行
BC
，
:4:9
MPNBCP
SS
△△
，
4cmAM
，求BM的长度
N
M
P
A
C
B
【巩固】如图，已知DE平行BC，:3:2BOEO，那么:ADAB________．
O
E
D
C
B
A
【例37】如图，ABC中，
1
4
AEAB
，
1
4
ADAC
，ED与BC平行，EOD的面积是1平方厘米．那
么AED的面积是平方厘米．
A
B
C
D
E
O
【例38】在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面积的几倍？
A
B
C
D
O
【例39】如图，线段AB与BC垂直，已知4ADEC，6BDBE，那么图中阴影部分面积是多少？
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page14of19
E
A
B
C
D
【例40】(2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形ABCD和EFGH都
是平行四边形，四边形
ABCD
的面积是
16
，
:3:1BGGC
，则四边形
EFGH
的面积
________．
H
G
F
E
D
CB
A
【例41】已知三角形ABC的面积为a，:2:1AFFC，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求
阴影部分的面积．
A
B
C
D
E
G
F
【例42】已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且
10cmAE
，
15cmAF
，求正方形ABCD的边长．
F
A
E
D
C
B
【例43】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边120BC毫米，高80AD毫米，要把它加工成
正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长
是多少？
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page15of19
H
G
N
P
A
D
C
B
【巩固】如图，在
ABC△
中，有长方形
DEFG
，
G
、
F
在
BC
上，
D
、
E
分别在
AB
、
AC
上，
AH
是
ABC△
边
BC
的高，交
DE
于
M
，
:1:2DGDE
，
12BC
厘米，
8AH
厘米，求长方形的长和宽．
E
H
G
M
F
A
D
C
B
【例44】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三
角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？
AB
C
D
EF
G
【例45】如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面
积是多少？
【例46】(2008年101中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于52平
方厘米，则阴影部分的面积是．
H
G
FE
D
C
B
A
【例47】如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page16of19
的一块直角三角形的面积是多少？
3
4
O
F
E
D
C
B
A
【例48】已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影
EHO△
的面积是多少厘米？
H
O
GF
E
D
C
B
A
【例49】ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分
的面积为平方厘米．
O
M
A
B
C
D
E
F
【例
50
】如图，三角形PDM的面积是
8
平方厘米，长方形
ABCD
的长是
6
厘米，宽是
4
厘米，M是
BC
的中点，则三角形APD的面积是平方厘米．
A
BC
D
P
M
【例
51
】如图，长方形
ABCD
中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于
G
、H，
OE
垂直AD于E，
交AF于
O
，已知
5cmAH
，
3cmHF
，求
AG
．
A
B
C
D
E
F
G
H
O
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page17of19
【例
52
】右图中正方形的面积为
1
，E、F分别为AB、BD的中点，
1
3
GCFC
．求阴影部分的面积．
A
B
C
D
E
F
G
【例53】梯形
ABCD
的面积为12，
2ABCD
，E为
AC
的中点，BE的延长线与AD交于F，四边形
CDFE的面积是．
A
B
C
D
E
F
【例54】如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影部分的面
积是平方厘米．
F
E
D
A
BC
【例55】如图,ABCD是直角梯形，
4,5,3ABADDE
，那么梯形ABCD的面积是多少?
O
E
D
C
B
A
【例56】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘
米？
好学者智，善思者康400-810-2680
4-2-3．任意四边形、梯形与相似模型学生版page18of19
【例
57
】如右图，长方形
ABCD
中，
16EF
，
9FG
，求
AG
的长．
D
A
B
C
E
F
G
【例58】(第21届迎春杯试题)如图，已知正方形
ABCD
的边长为4，F是
BC
边的中点，E是
DC
边上
的点，且
:1:3DEEC
，AF与BE相交于点
G
，求
ABG
S
△
G
F
A
E
D
C
B
【例59】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，
求BMG的面积．
M
H
G
F
E
D
C
B
A
【例60】(清华附中入学试题)正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，
四边形BGHF的面积是平方厘米．
H
G
F
E
D
CB
A
【例61】如图，已知14
ABC
S
△
,点,,DEF分别在,,ABBCCA上，且2,5,ADBDAFFC，
ABE
DBEF
SS
△
四边形
则
ABE
S
△
是多少？
F
E
D
C
B
A