卡当公式
中国物理B-紫微斗数入门基础知识
2023年3月20日发(作者：英语六级新题型)文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
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自考历年试题-方程的来历
方程公式历史
方程公式悠久的历史
一元三次方程ax+bx+cx+d=0的
求根公式是1545
于代数的大法》一书中，人们就把
它叫做
“卡尔丹公式”）。可
TartagliaN.，约1499~1557）。144。
就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘
密。当时学者们通常不急于把自己所掌
握的秘密向周围的人公开，而是以此为
秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏
应解，以获取奖金。尽管卡当千方百计
地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长
时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，
由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此
保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他
的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了
卡当，但是并没有给出详细的证明。卡
当并没有信守自己的誓言，1545年在其
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所著《重要的艺术》一书中向世人公开
了这个解法。他在此书中写道：“这一解
法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里
西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求
之下把这一方法告诉了我，但是他没有
给出证明。我找到了几种证法。证法很
难，我把它叙述如下。”从此，人们就把
一元三次方程的求根公式称为卡当公
式。塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公
之于众后，怒不可遏。按照当时人们的
观念，卡当的做法无异于背叛，而关于
发现法则者是谁的附笔只能被认为是一
种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在
米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。
许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一
元三次方程求根公式问题上的争论，可
是，名为卡当公式的一元三次方程的求
解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当
没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许
多文献资料的指责，卡当错有应得，但
是卡当在公布这一解法时并没有把发现
这一方法的功劳归于自己，而是如实地
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说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不
上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出
的，说明卡当也做了工作。卡当用自己
的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以
补充，违背誓言，把秘密公之于世，加
速了一元三次方程求根公式的普及和人
类探索一元n次方程根
式解法的进程。不过，公式的名称，
还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公
式；称为卡当公式是历史的误会。
一元三次方程应有三个根。塔塔利
亚公式给出的只是一个实根。又过了大
约200
1732元三次方程三个根的完整的表
达式。1500年。他12岁那年，被入
侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说
话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔
塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意
思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，
成了数学家，宣布自己找到了三次方程
的的解法。有人听了不服气，来找他较
量，每人各出30道题，由对方去解。结
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果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做
了出来，对方却一道题也没做出来。塔
尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学
家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的
方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡
当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班
牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔
塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔
塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告
诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的
信约，在他的著作《关于代数的大法》
中，将经过改进的三次方程的解法公开
发表。后人就把这个方法叫作
字反而被湮没了，正如他的真名在
口吃以后被埋没了一样。
+bx+cx
+dx+e=0关于三次、四次方程的
a+bi,这里a和b是实数，
i
-1开根）。
复数有多种表示法，诸如向量表示、
三角表示，
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指数表示等。
解析数论、一1
后来
1824年所证实，n次方程(n≥5)没有
公式解。不过，对这个问题的研究，其
实并没结束，因为人们发现有些n次方
程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么样
的一元n次方程才没没有求根公式呢？
不久，这一问题在19世纪上半期，被法
国数
一元三次方程的求根公式用通常的
演绎思维是作不出来的，用类似解一元
二次方程的求根公式能将型如
ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方
程形式化为x+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导
第一步：ax+bx+cx+d=0为
了方便，约去a得到x+kx+mx+n=0
令x=y-k/3，代入方程
(y-k/3)+k(y-k/3)+m(y-k/3)+n=0，
(y-k/3)中的y项系数是-k，
k(y-k/3)中的y项系数是k，所以
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相加后y抵消，得到y+py+q=0，
其中p=(-k/3)+m，
q=(2(k/3))-(km/3)+n。第二步：方
程x+px+q=0的三个生体会到方程能帮
助我们解决多种问题，而解决问题的关
键是找到等量关系．
三、教学目标：
1、知识与能力目标
通过分析问题中的数量关系，从而
建立方程解决实际问题．
2、过程与方法目标
经历探索日历中方程问题的过程，
学习列方程解决实际问题，感知数学在
生活中的作用．
3、情感目标
发展抽象、概括、分析问题和解决
问题的能力，进一步体会方程模型的作
用，学会有序观察，有条理思考和简单
的事实推理．在合作与交流中学会肯定
自己和倾听他人意见．
四、教学重点：
分析问题情境中的数量关系，能正
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确地应用一元一次方程这一数学模型解
决实际问题．
五、教学难点：
准确地分析问题情境的数量关系，
将实际问题数学化为方程．
六、教学准备：
1、每两人准备一张某年一月的日历
表2、回忆列代数式的方法
3、制作多媒体课件
七、教学过程：
(一)、游戏引入
1、在日历上圈出一个竖列上相邻的
三个日期，然后你们把它们的和告诉我，
我能马上知道这三天分别是几号？
2、提出问题：为什么老师能说出这
三个数字呢？这三个数字之间有什么规
律？
提示课题并板书：日历中的方程．
(二)自主探究
1、学生观察自己准备的日历，思考
一个竖列上相邻的3个数之间有什么关
系？并回答P179的问题串．
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2、学生尝示练习：某月你能列方程
求解吗？
3、再探究：某月日历一个竖列上相
邻的三个日期的和为75，那么这三个日
期分别是多少？教师巡视了解学情，及
时发现问题并指导．
合作探究
1、学生交流自主探究的结果．
2、在学生交流的基础上，提出三种
方法解决“日历一个竖列上相邻的三个
日期的和为60，那么这三个日期分别是
多少？”并比较哪种方法最简单，体现优
化思想．并用多媒体展示
方法一：解：设最小的数是X,则其
余二数分别是x+7、x+14.根据题意列方
程得：x+(x+7)+(x+14)=60解得：x=13
则x+7=20,x+14=27
答：这三个日期分别是13，20，27
方法二：解：设中间的一个数是x,
则第一个数是x-7,第三个数是x+7.根据
题意列方程得：(x-7)+x+(x+7)=60
解得：x=20
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则x-7=13,x+7=27
答：这三个日期分别是13，20，27
日历中的方程
方法三：解：解：设一个数列上最
大的一个数是X,那么其余两个分别是
x-7,x-14.根据题意列方程得：
(x-14)+(x-7)+x=60
解得：x=27
则x-7=20,x-14=13
答：这三个日期分别是13，20，27
3、学生用同样的方法解决“日历一
个竖列上相邻的三个日期的和为75，那
么这三个日期分别是多少？”强调：运
用一元一次方程解决实际应用题时必须
注意检验方程解的合理性．
4、小组合作：探究“用一个长方形
任意圈出2×2个相邻的4个数，把它们
的和告诉你，你能够求出这4个数吗？”
出示图片http:图片2
解难释疑
1、教师指导学生仿照前面解决问题
的方法，找出长方形2×2个相邻的4个
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数之间有什么规律，并设未知数，列出
方程．并用课件展示解题过程：
解：设最小的数为x，则其余3个数
分别是x＋1，x＋7，x＋8，
根据题意列方程得：
x＋x＋1＋x＋7＋x＋8＝76
4x＝60
x＝15
答：这4天分别是15号、16号、22
号、23号。
2、下列数阵是由50个偶数组成的，
平行四边形框中的四个数有什么关系
(1)在数阵中任意作一类似的的框,
设其中最小的一个数为x,
那么其它的三个数怎么表示?
(2)如果四个数的和是172,能否求出
这个数?
(3)如果四个数的和是322,能否求出
这个数?
以学生为主，让党学生交流，若有
困难，教师适时点拨．
学生练习：P181第2题
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(六)复习巩固及作业
1、小结：运用一元一次方程解决实
际应用题必须注意：
①审清题意；
②设未知数；
③找等量关系；
④列出方程正确求解；
⑤检验方程解的合理性；写答．
2、课后作业：
①一个三位数，三个数位上的数的
和是17，百位上的数比十位上的数大7，
个位上的数是十位上数的3倍，求这个
三位数。
②用一个长方形框框住日历表中的
某三个日期，已知这三个日期之和为57，
你能求出这三天分别是几号吗？
③有一些分别标有6，12，18，24，…
的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡
片上的数大6，小明拿到了相邻的3张卡
片，且这些卡片上的数之和为324.
小明拿到了哪3张卡片？
你能拿到相邻的3张卡片，使得这
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些卡片上的数之和是86吗？
八、反思：
1、本课时抓住日历这一学生熟知的
问题情境，从竖列的三个数的和、可以
延伸到横列的三个数的和，还探究了2×2
的4个数的和，以及平行四边形框内四
个数的关系，有利于学生用同样的方法
研究不同的数学问题，注重了知识的迁
移，有助于帮助学生认清知识的本质，
为树立良好地建模思想打下了基础．
2、注重让学生交流，表述自己的成
果和观点，有利于发挥学生的主体地位，
学生课内较活跃，教师充分体现了“引导
者、合作者、促进者”的角色．
联系方式：电话邮箱
lgx6502@改变人类历史的17大方程
改变人类历史的17大方程，数学就
是
宇宙最美的语言！
三体迷2016-01-2614:46
三体迷【魅力科学专栏】在笔者看
来，宇宙中的通用语言有两种，一种是
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数学，另一种是艺术。数学以最简洁的
方式，把复杂的宇宙现象和规律淋漓尽
致的展现出来，正所谓宇宙不言，大美
如斯！在2016年，数学家和科普作家Ian
Stewart
发表了他的著作——
《改变世界的17个方程》，向大家
诠释了人类历史上最伟大的17个方程。
现在我们就一起来欣赏一下宇宙最美的
语言！
1.勾股定理
勾股定理想必大家再熟悉不过了，
这是数学里最基本的公式之一，描述的
是直角三角形三条边长的关系。“勾三股
四弦五”读起来可谓朗朗上口。
2.对数函数
对数函数是指数函数的逆向，它可
以帮助我们解决要以某个数字为底，通
过指数爆炸得到一个数，需要多少次方
这样的问题。而方程log(ab)=log(a)+
log(b)是对数函数中至关重要的一个，它
竟然实现了“乘法”和“加
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法”的相互转化。在计算机技术的发
展过程中，这对物理学、天文学以及工
程中的运算速度的提升起到了重要作
用。
3.微分方程
这个方程给出了微积分中导数的概
念，导数描述的是函数的局部性质，某
一点的导数描述的是函数在该点附近的
变化率。比如，你想知道某个物体在某
个时刻的速度，那么只要求出路程方程
在该点的导数，你想知道某个物体在某
个时刻的加速度，则只要求出速度方程
在该点的导数。在科学研究中，了解一
个事件的变化状态是至关重要的，因此
该方程的意义可想而知。
4.万有引力定律
那个被苹果砸中的男人，一不小心
就发现了这个伟大的方程。这可以称得
上是17世纪最伟大的科学成就，是人类
科学史上的一座丰碑。它将
地面运动与天体运动做了统一，几
乎完美的保持了200多年，
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直到一个叫爱因斯坦的男人提出了
广义相对论。
5.虚数
数学的范畴在一如既往地扩张，从
自然数到负数、分数，再到实数虚数......
虚数这个名词是由17世纪著名的数学家
笛卡尔创立的。实数与虚数共同引出了
复数的概念。在数学上，复数可谓精妙
绝伦，将微积分扩展到复数范畴时，我
们发现了数学惊人的对称性和其他一些
性质。这些特性在电信号处理中起到了
重要作用。
6.欧拉多面体公式
这个公式描述的是多面体的一个特
性，式中V表示多面体的顶点数，E表
示棱数，F表示面数。该公式最直观的
意义就是描述了一个基本的数学规律，
更重要的是其引入了一门新的几何学
——扑拓学，并成为对现代物理学意义
重大的一个数学分支。
7.正态分布函数
正态分布函数的图像有一个明显的
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特征
——中间高两边低，呈对称分布，
就像一座山峰。在统计学中，正态分布
函数可谓无处不在，在物理学、生物学
和社会科学中应用甚广。该函数如此常
用的原因之一是因为它描述的是大量独
立过程的行为。
8.波动方程
波动方程是由麦克斯韦方程组推出
的一个描述波动现象的微分方程。该方
程的物理意义巨大，它启发了爱因斯坦
提出狭义相对论。
9.傅里叶变换
对于了解一个更加复杂的波，我们
就不得不借助傅里叶变换。傅里叶变
换可以将满足某些条件的杂乱的方
程分解成若干三角函数或它们的积分的
线性组合，起到了大大简化的作用。
傅里叶变换是现代信号处理与分析
的核心。
10.纳维-斯托克斯方程
类似波动方程，这也是一个微分方
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程，描述的是流体的一些特性，适用于
建立流体模型。计算机技术的进步使得
纳维-斯托克斯方程的求解得到了实质
意义的发展。
11.麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是19
世纪中最伟大的发现之一，展现了
电场与磁场相互转换过程中优美的对称
性。
这个方程组由描述电荷如何产生电
场的高斯定律、论述磁单极子不存在的
高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样
产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时
变磁场如何产生电场的法拉第感应定律
4个方程组成。麦克斯韦方程组属于经典
电磁学，适用于描述宏观的现象，但涉
及到微观领域时，需要考虑到量子效应
的影响，从而要引入量子力学来解释。
12.热力学第二定律
首先申明，这个公式不是“屌丝大于
等于零”
的意思，这是伟大的热力学
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第二定律。其表现之一就是在一个
封闭的系统中，熵只会保持稳定或增加，
不可能减少。由此还推出了描述整个宇
宙的“热寂论”，表明宇宙随着熵的不断
增加，最终会达到一个一片死寂的永恒
状态。
13.质能方程
爱因斯坦或许是上帝派来地球的使
者，他的理论完全颠覆了人类的世界观，
从根本上改变了物理学的走向。质能方
程创造性的指出了质量与能量之间的关
系，这对原子弹的发展起到了关键性的
作用！BOOM！！！
14.薛定谔方程
薛定谔那只既死又活的猫大家都再
熟悉不过了，薛定谔方程是量子力学中
的重要公式。广义相对论解释了宇宙中
宏观现象，该方程则适用于微观世界，
可用于描述原子和亚原子的行为。现代
量子力学和广义相对论是历史上最成功
的两套理论，它们成功预测了目前我们
观察到的所有现
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象。量子力学是现代技术必不可少
的，诸如核能、半导体电脑和激光等都
建立在量子现象的基础之上。15.
信息论
上面的方程是由香农提出的信息
熵，和之前提到的热力学熵一样，这也
是一个用于描述无序的量。我们常说信
息量很大，但是到底有多大？直到1948
年，“信息熵”的概念的提出，才解决了
对信息的量化的问题，使得可以对信息
开展数学研究。说真的，我们能在互联
网上如此欢快地玩耍还得感谢它！
16.混沌理论
这个方程描述的是动态系统中，一
段时间后某个量的变化结果，与其现在
的状态有关。其中，k是特定的常数，对
于k已确定的情况下，初始值x不同，
事件的发展也大为不同。相信蝴蝶效应
大家都
很了解，这就是混沌理论的一种表
现。也许，
某天你不小心放了一个屁，
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会引起美国华盛顿的一场暴风。
17.布莱克-斯科尔斯方程
这又是一个微分方程，用于描述金
融专家和交易者如何对衍生性金融产品
进行定价，这对金融从业人士提供了有
力的指导学生日常生活中常用的日历创
设情境，激发学生发现问题和解决问题
的欲望，学生在课堂上表现出较强的学
习热情，展现了玩(游戏)中学、学中玩(游
戏)的学习气氛。在教学过程中，给学生
以较多的自主探究、合作交流的机会。
让学生在教师的引领与组织下，经历知
识的形成过程，加深对“建立方程模型”
这一重要数学思想的认识。
不足之处是时间不够，有些问题学
生讨论和思考不够充分，本节课的教学
中，教师引导学生较多，没有完全放开
让学生自主探究学习，获得新知；学生
在数学学习中还是有较强的依赖性，教
师要有意培养学生自主学习的能力。所
以本节课应该以学生为主体进行合作探
究性学习，当学生在完成第一个游戏后
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将一竖列有关类型的前三个题解决后。
第二个游戏可以不做，因为有了前面的
基础，教师应该放手由学生独立完成一
竖列4个和2×2形式的问题，并且展示
到黑板上，由学生讲解完成，这样就既
给学生自主学习的机会，又可以节省很
多时间，将3×3形式的规律充分的挖掘
出来。这样会更好。历史上的一元一次
方程问题(二)
维普资讯
华东师范大学数学系汪
晓勤
５余数问题
所谓余数问题，指的是求一个
未知数，得其在减使
了我从赫利孔山上带来的
苹果，按不同比例分掉并
了．ｌＣｉｏ得了五分之
一；ｕｅｐＥｔｒｅ得了十二
分之一，Ｔｈｌａｉａ得了
八分之一，ｌｏｎＭｅｐｍｅ
ｅ拿走了十二分之
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一
去若干部分后，下一个已知
数．相当于方程鱼ｚ＋鱼ｚ
＋…＋ｚ＋ｃ—．
口
，
Ｔｅｐｉｏｅ拿走四分之一，
ｒｔｒｓｈｒｃＥａｏ拿走七
分之一，
Ｐｌｈｍｎａ抢走了３ｏｙ
ｙｉＯ个，ａｉＵｒｎａ抢走
了２１０个，
Ｃｌｏｅ着３０个走了，
以我只能拿着女神们剩ａｌ
ｐ背ｉ０所
下的这５Ｏ个苹果来见你
了．
ｆｚ＋ｚ＋ｚｚ５一）÷＋
吉＋ｚ丢＋Ｏ０
分苹果３众Ａ：孩子，的
苹果哪儿去了？Ｂ：Ｉｏ拿了六
分“你”“ｎ
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，
中关五而取一，内关七而取
一，米五斗．：持余问本
米何”当方＋号＋鲁・ｚ
之二，ｅｌ拿了八分之一，ｔ
ｎｏ拿了四分之一，几？于程
告・÷・号相１ｚｚＳｍ
ｅｅＡｕｏｅ
＋５０一ｚ．
Ａｇｖ从我怀里抢走了五
分之一，下１ａｅ剩Ｏ个给
你．我对Ｃｐｉ神起誓，自
己只有这一个了．ｙｒｓ我”
《孙子算经》下：今有器中
米，知其数．人卷“不前取
半，中人三分取一，人四分取
一，米一斗五升．后余
问本几？当丢＋・ｚ丢・
ｚ：何”于ｚ吉丢＋÷・米相
＋１一ｚ．５
ｆｚ吉＋ｚ÷＋一）专＋ｚ｛＋
ｚ¨ｚ
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产分配４遗
儿子，拿我遗产的五分之
一．，妻，十二你你我拿
分之一．我死去儿子的四个
儿子和我的两个弟弟，还
《腊选集》的许多算术谜
题都是余数问希中
题．：如人聚会１哲
有您，我悲伤的母亲，拿十
一分之一．，
的堂兄，各你我拿１２
塔兰特，我的朋友Ｅｂｌｓ５
塔兰特．于让ｕｕｕ拿对我
最忠实的仆人，给予他们自
由，给他们以下补我并
偿．Ｏｎｓｓ２迈纳，ｖｓ２
让ｅｉｍｕ拿５Ｄａｕ拿０迈
纳，ｙｕＳｒｓ
５０迈纳，ｙｅｅ１Ｓｎ
ｔ０迈纳，ｂｕＴｉｉｓ８迈
纳．Ｓｒｓ的给ｙｕ
Ｐｌｃａｅ：亲爱的毕达哥拉
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斯，斯的子弟，ｏｙｒｔｓ
“缪请回答我的问题：子里
有多少人在进行着智慧竞
赛屋呢？Ｐｔａｏａ：让我
来告诉你吧，ｏｙｒｔｓ他
们＂ｙｈｇｒｓ“Ｐｌｃａ
ｅ．中的一半在做文学，四分之
一在研究不朽的自然，七
儿子Ｓｎｔｓ７迈纳．３ｙ
ｅｕ花０塔兰特修墓，祀宙
斯．祭
２塔兰特用于火葬柴堆、品
和寿衣，祭２塔兰特用于随葬
品．注：兰特：６
１１々
分之一在沉思默想，还有三
位女性．就是我召集的这
缪斯女神诠释者的人数．”
丢｛＋３ｘ１ｚ
神分果２女
ｆ壶＋５专＋
矗＋３）一
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命人生５宿
Ｃｐｉ对垂头丧气的爱神
说：孩子，伤是如何ｙｒｓ
“悲
黄道上旋转不停的日、和五
星，月为你转出一幅神秘的
天宫图：一生的六分之一，与母
亲相依为命你
降临到你头上的？爱神答
道：缪斯从我的怀里偷走”
“
维普资讯
把时光度．下来的八分之
一，逼迫着给敌人做马接
被
牛．面的三分之一，上帝
保佑你平安地回到了故后
土．有了妻子和迟到的儿
子，天的生活过得无忧你
每无愁．知不幸再次降临你头
上，西亚人的长矛把谁塞
妻儿的生命夺走．整二十七个
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冬夏春秋，那悲伤整你的
眼泪不停地流，为什么命运之
神如此残酷，你凄让凉地
走到生命的尽头？
一
一
专１１１１１１～）一）一）
一
）一‘一）ｌ
故得一元一次方程
１ｉＩ｛Ｉ／
｛Ｉ２２２２１１
一
２
）一）一）一）
１１丢吉＋２们知
丢图）一一．１一人
志铭是同书中的另一题１
《罗
娃蒂》丽中也有余数问题：
一堆洁净的莲花，“
斐波纳契用两种方法来解
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上述方程，一种方法第
是：从上述方程倒推出经过
各道门、门卫苹果前所给
有的苹果数，最一道门开
始，次，从依得
１｛１｛１｛
２
——
÷丢献四，下６留和分
给神余的朵给尊的师求花
总．当方号＋敬教．莲的数”
于程相１
，，
以其中的１
１
２
２
１一）１一）一））
丢一
一
１—４．１
＋了＋１
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＋６
一
．
｛｛［１＼＼＼２１１１
２２＼
在斐波纳契的《算之书》，
计中有许多有趣的余数
Ｉ
））））１１一一一一
—。，｛｛＼＼ＩＩ
２２［一一一—２＼一）））
１２Ｉ，）１４
—６１１一一，
１９一—４１，
～
问题．“的部分在地下，
上部分长２如树地１尺，求树
高．相当于方程”
均为历史名题：园摘果
１乐
一
１
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＋２一斐波纳契的以－
问１．Ｆ＝
１
１
１＝１０，９
人经过７座大门进入乐
园，苹果若干．摘当他
一３２．８
离开果园时，把一半苹果加
上１个苹果给了第一个他门
卫；把剩下的一半加上一个
给了第二个门卫；似类地，
次把剩下的苹果分给其他五个
门卫．他离开依当
果园时，只剩下了１苹果．：
个问此人在乐园摘了多少个
苹果？
第二种方法是：直接将方程
左边化成
一１从而得一３２，
８．
一１
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２携金离城
一
人有金币若干，离开某座
城市，市有１要城０座
设此人所摘苹果数为，
他给各个门卫苹果则
后，剩下的苹果数依次为：
１
一
大门．在第一座大门，必须
拿出身上的金币，加他再
１，
１
１１一．１
１１１一）），）），
１１１一一一
））），１１一））１
一））～
维普资讯
议此人Ｊ匀盆巾致力Ｘ，
他经辽谷脞Ｊ后，尿则
Ｊ剩
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有剩余．果，个儿子所得
恰好一样多．：人有结每问
此
几个儿子，有多少财产？
下的金币数依次为：
１
ｚ一
２
’
设人产ｚ赞，大子得１）
子得２【ｚ＿，二６工【ｚ
号一，一）丢１２，得程
１２１６ｚ１）方＋１ｚ１
＋故一１一，
２，得ｚ６每个儿子各得６比
赞，他有６个１解一３，故
｛）１））１号，中
的树苗问题与上述问题相类
似．纪书也不余数问题．如
吉１１百一）））１ｃｎ
ｔ，１７算一）一）术》
题：窃贼在某城堡作案，以所
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窃金币的１一）一）中设
“一）一）还剩１一）一）
吉一，
一
告）一））一一）），
－一２郭书春．中国科学技术典
籍通汇Ｍ］州：南教育出版
社，９４河１９一）１
３
郭书春．汇校《九章算
术》［Ｍ］沈阳：辽宁教育出版
－）））））１一一一一
故得方程
社，２００４
４ＫａｚＶ．Ｈｉｔｒｆｔ
ｅｔｓＡｎＩｔｏｕｔｎＭ］
ｔ，Ａｓｏｙｏｈｍａｉ：
ｒｄｃｉ［．Ｍａｃｎｏ
Ｍａｓｃｕｅｔ：ｄｓ
ｎＷｅｌｙ，１９ｓａｈｓ
ｔｓＡｄｉｏ－ｓｅ９８５Ｋ
ｏｌＭ．Ａｎｅｔａｓｕｅ
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ｔｉｏｒｃａｓｏｍ：Ｈ
ｏｔｅｏ，ｘｒｔｄ
ｎｎｙｕｌｓｒｏｗ
ｈ
一）一）一）
一
ｈｓｏｙｏｔｅｔｓｃ
ｎｅｒｈｉｔｒｃｉｅｍａｈｍ
ａｉａｉｔｒｆｍａｈｍａｉ
ａｎｉｎｅａｔｔｅ
ｔｌｃｃｖｃ
）一）一一）一）一．
解得ｚ５．一９３遗产
分配
一
ｄｓｕｓｎｔｐｉｒｃｏ
ｌＪ．Ｍａｈｍａｉｃｏｌ
ｉｃｓｉｓａｒｏｍａｙｓｈｏ
［］ｔｅｔｓｉＳｈｏ，ｃｎ
２３，３２００
６
Ｐａｏｎ，Ｗ．Ｒ．Ｔｈｅｔ
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ＧｒｅＡｎｈｏｇｅｋｔｏ
ｌｙｗｉｈａｔｎＥｎ
ｉｈｇｌｓ
Ｔａｓａｉ［Ｍ］Ｃｍｂｉ
ｇ：ＨａｗａｄＵｎｖｒｉｒｎ
ｌｔｎｏ．ａｒｅｄｒｒ
ｉｅｓｙｔ
Ｐｒｓ。９７ｅｓ１９
人临终前对他的长子说，
你们之间这样来分“
７沈康身．历史数学名题
赏析［．上海：海教育出版
社，Ｍ］上
我的可动财产，你拿１比赞
和余下财产的”又对次；子
说，你拿２比赞和余下财产
的”又命第三个儿“；子
拿３比赞和余下财产的１
．
２００２
８Ｓｅｌｒｉｇｅ，Ｌ
ＥＦｉｏａｃ’Ｌｉｅａ
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ｉ．．ｂｎｃｉｂｒＡｂ
ｃ：Ａｒｎｌｔｎｉｔ
Ｓｔａｓａｉｎｏｏ
ｍｏｅｎＥｎｌｈｏｅ
ｎｒｏＰｉａｏＳＢｏｋｏ
ｌｕａｉｎｄｒｇｉｆ
Ｌｏａｄｓｎ’ｓｏ
ｆＣａｃｌｔｏ
这样依次分下去，给他
［．ｗＹｒ：ｐｉｇｒＶｅ
ｌｇ２０Ｍ］Ｎｅｏｋ
Ｓｒｅ－ｒ，０２ｎａ９Ｓ
ｔ，ＤＥｍｉｈ．．Ｈｉｏｙ
ｏｔｅｔｓ［］ｓｒｆＭ
ａｈｍａｉＶｏ．２Ｍ．ｔｃ
Ｂｓｏｏｔｎ：Ｇｉｎ＆Ｃｏ
ａｙ１２ｎｍｐｎ，９５
每个儿子比前一个儿子多１
比赞以及余下财产的１
．
１汪晓勤．相似三角形的应用；
从历史到课堂［］ＯＪ．中学数
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ｆ的帚后一份财产分给
帚小的Ｊ子后．好不再余
Ｉ．恰
学教学参考０７９．初，２０，
日历中的方程教案
5．3日历中的方程
教学目标
1.通过学习列方程解决实际问题，感
知数学在生活中的作用；2.通过分析问
题中的数量关系，从而建立方程解决实
际问题。发展分析问题，解决问题的能
力，进一步体会方程模型的作用，学会
有序观察，有条理思考和简单的事实推
理；
教学重点：探索日历问题中的条件
和要求的结论，并找出等量关系，列出
方程，解决实际问题
教学难点：探索日历中数的规律，
建立方程解决实际问题。教学过程
一．学习目标
1，在日历中找出等量关系列出方
程。
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2.运用方程解决有关数字排列的一
些实际问题。二．自学提示
阅读课本P179---180页内容，完成
课本中所提出的问题；小组讨论“做一
做”。三．自学检测
1.在举世瞩目的第28届奥运会上
不畏强手，奋力拼搏，实现了我国竞技
体育在奥运会上新的历史性突破，获得
了32枚金牌，比1988年奥运会我国获
得的金牌数的6倍多2枚，1988年奥运
会我国
获得几枚金牌？
用算术方法：(322)6=5.用列方
程的方法：
设1988年获得x枚金牌，根据题意，
得6x+2=32.解这个方程，得x=5.
对于这样的应用题，用直接列算式
方法解，或用列方程方法解都比较方便.
算术方法是根据已知量的数量关系，用
逆向思维的方法，列出综合算式直接求
未知量.列方程的方法是通过用字母表示
未知量，并把这个未知量当作已知量,找
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出与题中的其他已知量形成的相等关系
列出方程求解.
2.某月日历一个竖列上相邻的三个
日期的和为60，那么这三个日期分别是
多少？
(x–7)+x+(x+7)=60
归纳:
运用一元一次方程解决实际问题必
须注意：一是正确审清题意,找准“等
量关系”；二是列出方程正确求解；
三是判明方程解的合理性；
从上面的例子我们可以看到，运用
方程解决实际问题的一般过程是：
1.审题：分析题意，找出题中的数
量关系及其关系；2.设元：选择一个适
当的未知数用字母表示；3.列方程：根
据相等关系列出方程；4.解方程：求出
未知数的值；
5.检验：检验求得的值是否正确和
符合实际情形，并写出答案.四．当堂训
练
．我来猜：
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请你在日历上圈出一个竖列上相邻
的三个日期，只要你把它们的和告诉我，
我就能马上知道这三天分别是几号？
．观察某月日历:1、日历中数字的
排列方式；2、每一横行中各数的关系；
3、每一竖列中各数的关系。
．快点试一试
1、某月日历一个竖列上相邻的三个
日期的和为75，那么这三个日期分别是
多少？
2、某月日历一个竖列上相邻的三个
日期的和为21，那么这三个日期分别是
多少？
．游戏1
在各自的日历上，圈出一个竖列上
相邻的4个数。两人分别把自己所圈的
四个数之和告诉对方，由同伴求出这四
个数。
．想一想
某月日历一个斜行上相邻的三个日
期的和为36，那么这三个日期分别是多
少？五．小结:
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本节课你有什么收获？六、布置
作业
课本P180页习题数学理解1七、
板书设计
5．3日历中的方程中考数学历年各
地市真题整式及整式方程
中考数学历年各地市真题
整式与整式方程
4．把代数式3x6xy3xy分解因
式，结果正确的是A．x(3xy)(x3y)
B．3x(x2xyy)
2
2
3
2
2
C．x(3xy)
D．3x(xy)6．若xy(y3)0，
则xy的值为
2
22
A．1B．－1
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C．7
2
D．－7
12．若代数式x26xb可化为
(xa)1，则ba的值是．9．
．3x4y1911.解方
程组：
xy4
A
O
第10题图
7．关于x的方程mx12x的解为
正实数，则m的取值范围是
A．m≥2C．m＞2
B．m≤2D．m＜2
13．分解因式：ax2ax＝
▲．12．因式分解：2a4a▲
2
5．下列说法或运算正确的是
A．×102有3个有效数字C．aaa
2
3
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5
B．(ab)ab
222
D．a10÷a4=a6
10．使有意义的x的取值范围是
▲．
15若关于x的方程x2－mx＋3＝0
有实数根，则m的值可以为
___________．(任意给出一个符合条件
的值即可)2．下列运算正确的是
aaB.(a)aC.
(ab)abaa8．已知P()
D.不能确定19.计算(1)()
3
2
6
23
6
3
3
824
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78
，则P、Q的大小关系为
m1,Qm2m
1515
1
2
1
3tan300(1)0
16．小明根据方程5x+2=6x-8编写
了一道应用题．请你把空缺的部分补充
完整．某手工小组计划教师节前做
一批手工品赠给老师，如果每人做5个，
那么就比计划少2
个；
．请问手工小组有几人?(设手
工小组有x人)2．下列计算正确的是
A．a＋a＝x2B．a〃a2＝a2
C．(a2)3＝a5D．a2(a＋1)＝a3
＋12．计算aa的结果是
A．a6B．a5
C．2a3D．a2.分解因式：
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x6x9___________.3.
______.4.方程x5x60的两
根为
A。6和-1B。-6和1C。
-2和-3D。2和3
年常德GDP为1050亿元，比
上年增长%，提前两年实现了市委、市
政府在“十一五规划”中提出“到2016年
全年GDP过千亿元”的目标.如果按此增
长速度，那么我市今年的GDP为
A。1050×(1+%)2B。1050×(1
－%)2C。1050×(%)2D。
1050×(1+%)5．下列式子运算正确的是
A．1B．42.下列计算正确
的是().
2
a3a6
32
2
2
C．
1D．
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12
123
4
3
a8a2a3
3a2b6
2
12.上海世博会的某纪念品原价
168元，连续两次降价a%后售价为128
元.下
列所列方程中正确的是
A．168(1a%)128
B．168(1a%)128
C．168(12a%)128
D．168(1a%)128
2
2
2
已知关于x的一元二次方程
范围是．
1．下列计算正确的是
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A
．B
．1)(11
2
111422
C．(a)aa
D．(xy)xyxy
42
2．已知三角形两边长是方程
x5x60的两个跟，则三角形的第三
边c的
取值范围是。
18．设x1、x2是一元二次方程
x2+4x－3=0的两个根，
2x1(x22+5x2－3)+a=2，则a=
▲．9.分解因式：x6x_________.
17.已知0x1.
(1)若x2y6，则y的最小值
是;(2).若xy3，xy1，则xy
＝.
7．关于x的方程(a－5)x2－4x－1
＝0有实数根，则a满足
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A．a≥1B．a＞1且a≠5
C．a≥1且a≠5D．a≠512．因式
分解：9x2－y2－4y－4＝
__________．14．已知x1、x2为方程
x2＋3x＋1＝0的两实根，则x12＋8x2＋
20＝__________．2.计算(2x)x的结
果正确的是
3
2
2
2
2
A）8xB）6xC）8x3D）
6x33.(广州市)下列运算正确的是
A.-3(x-1)=-3x-1
B.-3(x-1)=-3x+1C.-3(x-1)==3x-3
D.-3(x-1)=-3x+32．下列运算正确的是
A．aaa
B．(a)aC．(ab)(ab)ab
2
2
22
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326325
D．(ab)ab
222
2
9.(广州市)若a极坐标与参数方程
历年高考题
4-4极坐标与参数方程历年高考题
一、选择题、
1、在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆
心的极坐标系是
(1,)(1,)
22A、B、
C、(1,0)D、(1，)
2、(xx全国)圆锥曲线
8sin
的准线方程是
2
cos
(A)cos2(B)cos2
(C)sin2(D)sin2
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3、(2016年高考安徽卷理科5)在极
坐标系中，点(,)到圆2cos的
圆心的距离
为
(A)两条相交直线(B)圆(C)
椭圆(D)双曲线5、(xx北京)极
坐标方程2cos22cos1表示
的曲线是
(A)圆
(B)椭圆
(C)抛物线(D)双曲线
6、(2016年高考北京卷理科3)在极
坐标系中，圆2sin的圆心的极坐
标是
A、(1,)B、(1,)C、(1,0)
D、(1,)
22
7、(2000年京皖春)直线=和直
线sin(-)=1的位置关系(A)
垂直(B)平行(C)相
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交但不垂直(D)重合
8、极坐标方程=表示的图形是
两个圆两条
直线
一个圆和一条射线一条
直线和一条射线
(2,)到圆2cos
39、在极坐标系中，点的圆心的距
离为
2
4
2
9
2
93
10、(xx北京春)在极坐标系中，圆
心在(2,)且过极点的圆的方程为
(A)22cos(B)22cos
(C)22sin
(D)22sin
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二、填空
11、已知曲线C1,C2的极坐标方程
分别为
cos3,4cos(0,0)
，则曲线C1C2交点的极坐标为2
12、在极坐标系中，曲线=2sin
与
cos1的交点的极坐标为
13、在极坐标系中，曲线
cossin1与
sincos1的交点的极坐标
为.
14、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ
与直线
3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则a的值
为____________
4-4极坐标与参数方程历年高考题
一、选择题
xcos1、已知圆C的参数方程
为：则它的一般标准方程是()
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ysinA、x2y24B、
(x1)2y21C、x2y21
D、(x1)2(y2)22
x1t
2、极坐标方程cos和参数方
程
y23t所表示的图形分别是
()
A、圆、直线B、直线、
圆C、圆、圆D、
直线、直线
x12cos
3、已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:
(为参数)则他们的
y22sin公共点个数是()
A、0B、1C、2
D、3
x12t,xs,
4、若直线l1:与直线l2:垂直，
y212s.则k的值是
()A、1B、-1
C、2D、-2
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x1t
5、设直线l1的参数方程为，直线
l2的方程为y=3x+4
y13t
332则l1与l2的距离为()A
BCD
510510
x23cos
C6、设曲线的参数方程为，直线
l
y13sin的方程为
x3y20，则曲线C上到直线l
A、1
B、2
C、3
的点的个数为D、4
x3cos
7、(2016年高考陕西卷理科)设点A，
B分别在曲线C1:(为参数）和曲线
y4sinC2:1上，则AB
的最小值为()A、1B、2
C、3D、48、(2016年高考重庆
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市理科8)直
线y
x与圆心为D的
圆3
xcos
,(B.C.
D.
A.1
过点P的直线l与圆xy1有公
共点，则直线l的倾斜角取值范围22
已知圆xy2x2ya0截直线
xy20所得弦的长度为4，则实数a
的2263
值为A.2B.
4C.6
D.8
二．填空题
1.若直线x2y50与直线
2xmy60互相垂直，则实数
m=____.
2．(2016浙江.文)直线y＝2x＋3被
圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等
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于____．历年试题内容精细分类(九)微分
方程
历年试题内容精细分类(九)微分方
程
微分方程部分的考点1、方程类型
2、已知方程求通解或解。选择以验
证为主。3、二阶常系数线性齐次方程
的通解或特解4、已知通解或解求方程。
二阶常系数线性齐次方程为例
yC1e
1x
C2e2xy(12)y
12y0
y(C1xC2)exy2y
2y0
yex(CcosxCsinx)y2
y(22)y05、二阶常系数
线性非齐次方程特解问题
1、方程类型
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、选择题
27、下列常微分方程中为线性方程
的是A．
yexy
B．yyysinx
2
C．x
dx(y22xy)dy
D．xyye2x0
27、下列微分方程中，可分离变量
的方程是()
dyyydyxx2y222
tanB．(xy)dx2xydy0
C．dxedy0D．2yexA．
dxxxdxy
20、微分方程x
4
(y)2yx2y0的阶数是
D.4
18、关于二阶常微分方程的通解，
下列说法正确的是(2016)
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A.一定含有两个任意常数B.
通解包含所有解C.一个方程只有
一个通解D.以上说法都不对
d2ydy
y1是18、微分方程2
dxdx
A.二阶非线性微分方程B.二
阶线性微分方程C.一阶非线性微
分方程D.一阶线性微分方程19、
微分方程(y)
2
(y)2yy0的阶数是
2、已知方程求通解或解。选择以验
证为主。
、选择题
28、微分方程
yx的通解为
1413
xC1x2C2xC3
B．yxC1x2C2xC32412141
xC1x2C2xC3
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D．yx3C1x2C2xC3C．y1218
A．
y
29、微分方程
y4y0的通解为
A．C．
yC1e2xC2e2x
B．y(C1C2x)e2xy(C1C2x)e4x
D．yC1cos2xC2sin2x
ylnxdxxlnydy满足yx11的
特解是
30、微分方程A．ln
2
xln2y0B．ln2xln2y1
C．ln2xln2yD．ln2xln2y1
2xy的通解是
29、微分方程(x2y)y
2
y2CyC
1D.
x2xyy2C
ydx0的通解为
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29、微分方程sinxcosydy、通解为
A.
nyC
syC
yCex的微分方程为()
0
10
y3yx的通解是(2016)
1113x
939
19、微分方程A.
y2xCe2x1B.
yxexCx1C.y3xCex
dysinxcosx
的通解为dxy
19、微分方程
A.
y2cos2xCB.
2xC
2xC
2
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20、微分方程dy2xyA.
dx0满足条件的特解是
y
1x2
B.
y
1x2
C.
2
、填空题10、方程sec
2
xtanydxsec2ytanxdy0的通解
为_______________________。
。
15、微分方程
ymyn，则满足条件y(0)0
的特解为____
45、微分方程
y24x的通解为________
。
39、已知微分方程36、微分方程37、
微分方程
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yayex的一个特解为
yxex，则a___________。
。
2dy
2xyex满足y(0)0的特解为
_______dx
yyx0的通解为_______
。
3、二阶常系数线性齐次方程的通解
或特解
、选择题
d2x2
x0的通解是30、微分方程
2dt
A．x
C1costC2sint
B．xC1etC2et
C．xcostsint
D．xetet
yCsinx是微分方程yy0
的
24、函数
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A.通解B.特解
C.解D.不是解25、微分方
程
x
y2yy0的通解为
C2exB.C1C2ex
C.C1exC2exD.
(C1C2x)ex
y2yy0的通解为
_________
二、填空题40、微分方程
。
4、已知通解或解求方程。
二阶常系数线性齐次方程为例
yC1e
1x
C2e2xy(12)y
12y0
x
y(C1xC2)e
x
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y2y2y0
2
2
ye(CcosxCsinx)y2y
()y0
一、选择题
26、某二阶常微分方程的下列解中
为通解的是A．C．
yCsinx
B．yC1sinxC2cosxysinxcosx
D．y(C1C2)cosx
y(C1C2x)e3x的二阶常系数
齐次线性微分方程是
29、下列微分方程中，通解为A.
y6y9y0B.
y6y9y0C.
y6y9y1D.
y6y0
二、填空题45、通解为42、以
yC1exC2e3x的二阶线性常
系数齐次微分方程为________
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。
yC1e3xC2xe3x为通解的
二阶常系数线性齐次微分方程为
________。
2x
35、以C1e
C2xe2x为通解的二阶常系数齐
次线性微分方程为____________。(2016)
5、二阶常系数线性非齐次方程特解
问题
一、选择题30、对于微分方程A．C．
y2yx2，利用待定系数
法求其特解y*时，下列特解设法正确的
是
y*ax2bxc
B．y*x2(ax2bxc)y*x(ax2bx)
D．y*x(ax2bxc)
y2yyxex的特解y*时,
下列特解正确的是
24、用待定系数法求方程A．C．
y*(ax2bxc)ex
B．y*x(ax2bxc)ex
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y*x2(axb)ex
D．y*x2(ax2bxc)ex
yy2yxex的特解用
待定系数法可设为
30、微分方程A．
yx(axb)ex
B．yx2(axb)ex
C．y(axb)ex
D．yaxex
y3y2yexcosx的特
解形式应设为y
24、微分方程A．CeC．xe
x
cosx
B．ex(C1coscC2sinx)
x
(C1coscC2sinx)
D．x2ex(C1coscC2sinx)
yf(x)是微分方程
yye2x的解，且f(x0)0，
则f(x)在x0处
25、设函数
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A．取极小值B．取极大值
C．不取极值D．取最大值29、
微分方程A.
yyxex的特解形式应
设为y
x(axb)exB.
x2(axb)exC.(axb)ex
二、填空题
45、用待定系数法求方程44、已知
y4y4y(2x1)e2x的特
解时，特解应设为________
。
。
1
yxex是微分方程
y2y3yex的一个特解，则
该方程的通解为______
4
三、计算题
8、求微分方程(yxsinx)dx53、
求微分方程e8、求方程
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x2
xdy0的通解。
2dy
2xyexx的通解。dx
yy0的积分曲线，使其在点
(0,0)处与直线yx相切。
2
53、求微分方程(x53、求微分方程
x53、求微分方程x52、求微分方程52、
求微分方程
2
1)y2xycosx0的通解。
dy(2xyx1)dx0的通解。
dy(y2xyx2)dx0的通解。
2
yycosxesinx满足初始条
件y(0)1的特解。
y2xyxex
2
的通解。
49、求微分方程9y6y45、
求微分方程
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y0的通解。
y3y2yex的通解。
(2016)
d2ydy
43y0的通解。45、求微分方
程2
dxdx2
45、求微分方程2y
yy3ex的通解。