同构法

同构法

俄语论文-临界点干燥仪

2023年3月20日发(作者：霍夫变换)

专题15导数中同构与放缩的应用

同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，

通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数

等混合式子结构的等式或不等式问题．

当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要

求也是比较高的，

考点一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）

【方法总结】

在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：

(1)当a＞0且a≠1时，有log

a

xxa，(2)当a＞0且a≠1时，有

logx

a

xa

再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0)(“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)

(3)lnxxxxｅｅ，

lnln()xxxxｅ

(4)ln

x

xx

x



ｅ

ｅ，lnln

x

xx

x



ｅ

(6)lnxx

x

x

ｅ

ｅ

，lnln

x

x

xx

ｅ

再结合常用的切线不等式：1xxｅ，exxｅ，

ln1xx

，ln

x

x

ｅ

等，可以得到更多的结论

(7)lnln1xxxxxxｅｅ，

lnln()e1xxxxxxｅ

．

ln(ln)xxxxxxｅｅｅ

，1

e

lnln()

x

xx

x

xxxxｅ＝ｅ

ｅ

．

(8)lnln1

x

xxxx

x



ｅ

ｅ，lnln

xx

xx

xx



ｅｅ

－１

ln(ln)

x

xxxx

x



ｅ

ｅｅ，

1

lnln

xx

xx

xx





ｅｅ

(9)lnln1xx

x

x

xxｅ

ｅ

，lnln

xx

xx

xx－１

ｅｅ

ln(ln)xx

x

x

xxｅｅ

ｅ

，

1

lnln

xx

xx

xx





ｅｅ

【例题选讲】

[例1](1)已知1()lnxfxxxxｅ

，则函数

()fx

的最大值为________．

(2)函数

ln1

()x

x

fx

x



ｅ的最小值是________．

(3)函数

22ln

()

1

xxx

fx

x







ｅ

的最小值是________．

[例2](1)不等式

ln10xxaxxｅ

恒成立，则实数a的最大值是________．

(2)不等式

(ln1)0xxaxxｅ

恒成立，则正数a的取值范围是________．

(3)不等式

(ln)0xxaxxｅ

恒成立，则正数a的取值范围是________．

(4)已知函数

()ln1(1)bxfxxaxxxｅ

，其中b＞0，若()0fx恒成立，则实数a与b的大小

关系是________．

(5)已知函数

()ln1xfxaxｅ

，若()0fx恒成立，则实数a的取值范围是________．

(6)已知不等式1lnxkxxｅ，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．

(7)已知不等式ln10axaxxxｅ，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

(8)已知函数

()(ln)xfxxaxxｅ

有两个零点，则实数a的取值范围是________．

[例3](2020届太原二模)已知函数()ln1fxxax.

(1)若函数()fx有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)若

()exfxx

恒成立，求实数a的取值范围．

【对点精练】

1．函数

()lnxfxxxxｅ

的最小值为________．

2．函数

ln

()

1

xxx

fx

x







ｅ

的最小值为________．

3．函数

()(ln1)xfxxxxｅ

的最大值是________．

4．已知不等式

(1)lnxxaxxｅ

，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

5．已知函数

()(ln1)xfxxaxxｅｅ

，若

()0fx

恒成立，则实数a的取值范围是________．

6．已知函数2()ln1xfxaxｅ

，若

()0fx

恒成立，则实数a的取值范围是________．

7．已知a，b分别满足23ee,(ln1)eaabb

，则ab＝________．

8．已知x

0

是函数22()eln2xfxxx

的零点，则0

2

0

elnxx

________．

考点二整体同构携手脱衣法

【方法总结】

在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到

这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数

模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单

调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构

方程），简称同构法．

1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）

(1)

fx

1

－fx

2

x

1

－x

2

>k(x

1

2

)f(x

1

)－f(x

2

)

1

－kx

2

f(x

1

)－kx

1

2

)－kx

2

y＝f(x)－kx为增函数；

(2)

fx

1

－fx

2

x

1

－x

2

<

k

x

1

x

2

(x

1

2

)f(x

1

)－f(x

2

)>

k(x

1

－x

2

)

x

1

x

2

＝

k

x

2

－

k

x

1

f(x

1

)＋

k

x

1

>f(x

2

)＋

k

x

2

y＝f(x)＋

k

x

为减函数；

含有地位同等的两个变x

1

，x

2

或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，

如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）

2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）

(1)积型：

lne(ln)e()e

elnelneln()ln

lnlnln(ln)()ln

abx

aaa

abfxx

abbbbfxxx

aabbfxxx





















构造函数

三种同构方式构造函数

构造函数

同左

同右

取对

如，322222lnlnelnln

mmmm

xxxx

m

xxmexxxxe

x

ｅ

，后面的转化同(1)

说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．

(2)商型：

lneee

()

ln

ee

()

lnlnelnln

lnlnln(ln)()ln

abx

aa

a

fx

abx

bbx

fx

abbx

aabbfxxx

























构造函数

三种同构方式构造函数

构造函数

同左

同右

取对

(3)和差：

lneeln()e

eln

elneln()ln

abx

a

aa

abfxx

abb

bbfxxx

















构造函数

两种同构方式

构造函数

同左

同右

如；ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)axaxxaxxxaxxaxxｅｅｅ

．

3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）

(1)elneln21axxaxaxaxxx同乘(无中生有)，后面的转化同()

；

(2)lnln

1

eln()eln(1)1elnln(1)1e+lnxxxaxxaaaxaaaxaxxa

a

同加(无中生有)

ln(1)ln(1)1ln(1)lnln(1)xxxxxaxｅ＋

；

(3)lnln

ln

logelneln21

ln

xxaxa

a

x

axxaxx

a

()，后面的转化同()．

【例题选讲】

[例4](1)若

12

01xx，则

A．21

21

eelnlnxxxxB．21

21

eelnlnxxxxC．12

21

eexxxxD．12

21

eexxxx

(2)若

12

0xxa，都有

211212

lnlnxxxxxx

成立，则a的最大值为()

A．

2

１

B．1C．eD．2e

(3)已知2()ln(1)fxaxx

，在区间

(1,2)

内任取两实数p，q，且p≠q，不等式

(1)(1)

1

fpfq

pq







恒成立，则实数a的取值范围为________．

[例5]对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数

(1)

2

log20kxxk

(2)2ln0

m

xxxmｅ

(3)

1

(1)2()lnaxaxx

x

ｅ

(4)

ln(1)xaxaxxxｅ

(5)2ln0xxxｅ

[例6](1)已知不等式

log(0,1)x

a

axaa

，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是

________．

(2)已知函数

()ln(1)33fxmxx

，若不等式

()3exfxmx

在(0,)上恒成立，则实数m的

取值范围是()

A．

03m

B．

3m

C．

3m

D．

0m

(3)对任意

0x

，不等式22elnln0xaxa恒成立，则实数a的最小值为________．

(4)已知函数

()ln()(0)xfxaaxaaaｅ

，若关于x的不等式

()0fx

恒成立，则实数a的取值

范围是()

A．2(0,e]

B．2(0,e)

C．2[1,e]

D．2(1,e]

(5)对任意

0x

，不等式

1

(e1)2()lnaxaxx

x

恒成立，则实数a的最小值为________．

(6)已知不等式

1

ln

e

a

x

xaxx对任意的

(1,)x

恒成立，则实数a的最小值为()

A．eB．

e

2

C．eD．

2e

[例7]已知函数

ln(1)

()

x

fx

x



.

(1)判断

()fx

在

(0,)

上的单调性；

(2)若

0x

，证明：2(e1)ln(1)xxx

．

[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

【对点精练】

1．已知函数

()ln()xfxmxmRｅ

，若对任意正数x

1

，x

2

，当x

1

＞x

2

时，都有

1212

()()fxfxxx

成立，则实数m的取值范围是________．

2．已知函数()

x

fxax

x



ｅ

，

(0,)x

，当x

2

＞x

1

时，不等式12

21

()()

0

fxfx

xx



恒成立，则实数a

的取值范围是()

A．(,e]B．

(,e)

C．

e

(,)

2

D．

e

(,]

2



3．对不等式2

1

ln0xx



ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

4．对方程2ln0xxxｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

5．对不等式

ln(1)2(1)2xaxxaxｅ

进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

6．设实数

0

，若对任意的

(0,)x

，不等式

ln

0x

x





ｅ恒成立，则的最小值为________．

7．已知函数1()ln(0)xfxaaxaaｅ

，若关于x的不等式

()0fx

恒成立，则实数a的取值范围

是________．

8．已知对任意

0x

，不等式

1

(e1)(1)ln0kxkx

x

恒成立，则实数k的取值范围为________．

9．已知

0a

，不等式1ln0axxaxｅ，对任意的实数

1x

恒成立，则实数a的最小值是()

A．

1

2e



B．

1

e

C．eD．

2e

10．已知函数1

3()2ln()

m

xfxxxmxｅ，当ex时，

()0fx

恒成立，则实数m的取值范围为()

A．

(,4e]

B．

(,3e]

C．

(,2e]

D．

3e

(,]

2

