二项式系数和公式
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2023年3月20日发(作者：邻二氮菲)二项式定理
1．二项式定理：
011()()nnnrnrrnn
nnnn
abCaCabCabCbnN，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r
n
C(0,1,2,,)rn.
③项数：共(1)r项，是关于a与b的齐次多项式
④通项：展开式中的第1r项rnrr
n
Cab叫做二项式展开式的通项。用
1
rnrr
rn
TCab
表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有(1)n项。
②顺序：注意正确选择
a
,b,其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。
③指数：
a
的指数从
n
逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到
n
，是升幂排列。各项的次
数和等于n.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rn
nnnnn
CCCCC项的系
数是
a
与b的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令1,,abx0122(1)()nrrnn
nnnnn
xCCxCxCxCxnN
令1,,abx0122(1)(1)()nrrnnn
nnnnn
xCCxCxCxCxnN
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即
0n
nn
CC，···1kk
nn
CC
②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnn
nnnnn
CCCCC，
变形式1221rnn
nnnn
CCCC。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令1,1ab，则0123(1)(11)0nnn
nnnnn
CCCCC，
从而得到：
024213211
1
22
2
rrnn
nnnnnnn
CCCCCCC
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2
n
n
C取得最大值。
如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数
1
2
n
n
C
,
1
2
n
n
C
同时取
得最大值。
⑥系数的最大项：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为
121
,,,
n
AAA
，设第1r项系数最大，应有
1
12
rr
rr
AA
AA
，从而解出r来。
6．二项式定理的十一种考题的解法：
题型一：二项式定理的逆用；
例：
nnnn
CCCC
解：012233(16)6666nnn
nnnnn
CCCCC与已知的有一些差距，
练：
nnnn
CCCC
解：设1231393nn
nnnnn
SCCCC，则
122333331(13)1nnnnn
nnnnnnnnnn
SCCCCCCCCC
(13)141
33
nn
n
S
题型二：利用通项公式求nx的系数；
例：在二项式
3
2
4
1
()nx
x
的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x的项的系数？
解：由条件知
245n
n
C，即245
n
C，2900nn，解得9()10nn舍去或，由
2102
1
10
343
4
11010
()()
r
r
rrrr
r
TCxxCx
，由题意
102
3,6
43
r
rr
解得，
则含有3x的项是第7项633
6110
210TCxx
,系数为210。
练：求29
1
()
2
x
x
展开式中9x的系数？
解：29182183
1999
111
()()()()
222
rrrrrrrrrr
r
TCxCxxCx
x
，令1839r,则3r
故
9x的系数为33
9
121
()
22
C。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式210
1
()
2
x
x
的展开式中的常数项？
解：
5
20
210
2
11010
11
()()()
2
2
r
rrrrr
r
TCxCx
x
，令
5
200
2
r，得8r，所以
88
910
145
()
2256
TC
练：求二项式6
1
(2)
2
x
x
的展开式中的常数项？
解：6662
166
11
(2)(1)()(1)2()
22
rrrrrrrrr
r
TCxCx
x
，令620r，得3r，所以
33
46
(1)20TC
练：若2
1
()nx
x
的二项展开式中第5项为常数项，则____.n
解：42444212
5
1
()()nn
nn
TCxCx
x
，令2120n，得6n.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式9
3()xx展开式中的有理项？
解：
127
1
9
36
2
199
()()(1)
r
rrrrr
r
TCxxCx
，令
27
6
r
Z
,(09r)得39rr或，
所以当3r时，
27
4
6
r
，3344
49
(1)84TCxx，
当9r时，
27
3
6
r
，3933
109
(1)TCxx。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若2
3
2
1
()nx
x
展开式中偶数项系数和为256，求n.
解：设2
3
2
1
()nx
x
展开式中各项系数依次设为
01
,,,
n
aaa
1x令,则有
01
0,
n
aaa①，1x令,则有
0123
(1)2,nn
n
aaaaa②
将①-②得：
135
2()2,naaa1
135
2,naaa
有题意得，
1822562n，9n。
练：若35
2
11
()n
xx
的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。
解：rrn
nnnnnnn
CCCCCCC，121024n，解得
11n
所以中间两个项分别为6,7nn，5654
35
51
2
11
()()462
n
TCx
xx
，
61
15
61
462Tx
题型六：最大系数，最大项；
例：已知
1
(2)
2
nx，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项
式系数最大项的系数是多少？
解：46522,21980,
nnn
CCCnn解出714nn或，当7n时，展开式中二项式系数
最大的项是
45
TT和343
47
135
()2,
22
TC的系数，434
57
1
()270,
2
TC的系数当14n
时，展开式中二项式系数最大的项是
8
T，777
814
1
C()23432
2
T的系数。
练：在2()nab的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即
21
1
2
nn
TT
，也就是第1n项。
练：在
3
1
()
2
n
x
x
的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第5项的二项式最大，则15
2
n
，即8n,所以展开式中常数项为第七项等于
62
8
1
()7
2
C
例：写出在7()ab的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大
值，从而有343
47
TCab的系数最小，434
57
TCab系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求
1
(2)
2
nx的展开式中系数最大的项？
解：由01279,
nnn
CCC解出12n,假设
1r
T
项最大，
121212
11
(2)()(14)
22
xx
11
11212
11
12
1212
44
44
rrrr
rr
rrrr
rr
AACC
AA
CC
，化简得到9.410.4r，又012r，
10r，展开式中系数最大的项为
11
T,有1210101010
1112
1
()416896
2
TCxx
练：在10(12)x的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设
1r
T
项最大，
110
2rrr
r
TCx
11
1010
1
11
12
1010
22
2(11)
12(10)
22,
rrrr
rr
rrrr
rr
CC
AA
rr
AArr
CC
解得，化简得到6.37.3k，又
010r，7r，展开式中系数最大的项为7777
810
题型七：含有三项变两项；
例：求当25(32)xx的展开式中x的一次项的系数？
解法①：2525(32)[(2)3]xxxx，25
15
(2)(3)rrr
r
TCxx
，当且仅当1r时，
1r
T
的
展开式中才有x的一次项，此时124
125
(2)3
r
TTCxx
，所以x得一次项为144
54
23CCx
它的系数为144
54
23240CC。
解法②：2555
555555
(32)(1)(2)()(22)xxxxCxCxCCxCxC
故展开式中含
x
的项为
45544
555
22240CxCCxx，故展开式中x的系数为240.
练：求式子3
1
(2)x
x
的常数项？
解：36
11
(2)()xx
x
x
，设第1r项为常数项，则
662
6
166
1
(1)()(1)rr
rrrr
r
TCxCx
x
，得620r,3r,
33
316
(1)20TC
.
题型八：两个二项式相乘；
例：
342(12)(1)xxx求展开式中的系数.
解：
3
33
(12)(2)2,mmmmmxxx的展开式的通项是CC
342,02,11,20,(12)(1)mnmnmnmnxx令则且且且因此
2
343434
2(1)2(1)2(1)6xCCCCCC的展开式中的系数等于.
练：
610
3
4
1
(1)(1)x
x
求展开式中的常数项.
解：
43
610
3
3
412
610610
4
1
(1)(1)
m
nmn
mnmnxCxCxCCx
x
展开式的通项为
003468
610610610
4246CCCCCC时得展开式中的常数项为.
练：
2*
3
1
(1)(),28,______.nxxxnNnn
x
已知的展开式中没有常数项且则
解：
34
3
1
()CC,nrnrrrnr
nn
xxxx
x
展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得
题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
2006(2),,2,_____.xxSxS在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时
解：
2
01232006
(2)xaaxaxaxax设=-------①
题型十：赋值法；
例：设二项式3
1
(3)nx
x
的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若
272ps,则n等于多少？
解：若2
3
012
1
(3)nn
n
xaaxaxax
x
，有
01n
Paaa，
02nn
nn
SCC，
令1x得4nP，又272ps,即42272(217)(216)0nnnn解得
216217()nn或舍去，4n.
练：若
n
x
x
1
3的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？
解：令1x，则
n
x
x
1
3的展开式中各项系数之和为264n，所以6n，则展开式的常数
项为
333
6
1
(3)()Cx
x
540.
例：
2
2009
12
01232009
22009
(12)(),
222
a
aa
xaaxaxaxaxxR若则的值为
解：20092009
1212
00
2200922009
1
,0,
2222222
aa
aaaa
xaa令可得
练：
554321
54321012345
(2),____.xaxaxaxaxaxaaaaaa若则
解：
0012345
032,11,xaxaaaaaa令得令得
题型十一：整除性；
例：证明：22*389()nnnN能被64整除
证：
2211389989(81)89nnnnnn
由于各项均能被64整除22*389()64nnnN能被整除