奈奎斯特准则
化学的定义-英语倡议书
2023年3月19日发(作者：短消息)第五章数字基带传输系统
第六章设随机二进制序列中的0和1分别由g（t）和-g（t）组成，它们的出现概率分别
为P及（1-P）：求其功率谱密度及功率；
解：（1）随机二进制序列的双边功率谱密度为
P
s
(ω)=f
s
P(1-P)|G
1
(f)-G
2
(f)|
2
+∑|f
s
[PG
1
(mf
s
)+(1-P)G
2
(mf
s
)]|
2
δ(f-mf
s
)
由g
1
(t)=-g
2
(t)=g(t)得
P
s
(ω)=4f
s
P(1-P)G
2
(f)+f
s
(1-2P)
2
∑|G(mf
s
)|
2
δ(f-mf
s
)
式中，G(f)是g（t）的频谱函数，在功率谱密度P
s
(ω)中，第一部分是其连续谱部分，第二部
分是其离散成分。
随机二进制序列的功率为
S=1/2л∫P
s
(ω)dω
=4f
s
P(1-P)∫G
2
(f)df+∑|f
s
(1-2P)G(mf
s
)|
2
∫δ(f-mf
s
)df
=4f
s
P(1-P)∫G
2
(f)df+f
s
P(1-P)
2
∑|G(mf
s
)|
2
(2)当基带脉冲波形g(t)为
t
T
t
tg
s
其他,0
2
||,1
)(
g(t)的傅立叶变换G(f)为
s
s
sfT
fT
TfG
sin
)(
因为
0
sin
)(
ss
ss
sTf
Tf
TfG
由题（1）中的结果知，此时的离散分量为0。
（3）
t
T
t
tg
s
其他,0
4
||,1
)(
g（t）的傅立叶变换G（f）为
0
2/
2/sin
2
)(
s
ss
sss
T
Tf
TfT
fG
所以该二进制序列存在离散分量
s
sT
f
1
1.
设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如图所示。图中
s
T
为码元间隔，数字
信号“1”和“0”分别用g(t)的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等：
（1）求该数字基带信号的功率谱密度，并画出功率谱密度图；
（2）
能否从该数字基带信中提取码元同步所需的频率
s
sT
f
1
的分量，若能，式计算该分量
的功率。
解：（1）对于单极性基带信号，
)()(,0)(
21
tgtgtg，随机脉冲序列的功率谱密度为
m
sssss
mffmfGpffGppffp)()()1()()1()(2
2
当p=1/2时
m
ss
ss
s
mffmfG
f
fG
f
fp)()(
4
)(
4
)(
2
2
由图可得
t
T
tt
Ts
A
tg
s
其他,0
2
),
2
1(
)(
g（t）的傅立叶变换G（f）为
22
)(2
ss
fT
Sa
AT
fG
代入功率谱密度函数式，得
m
s
sssssss
s
mff
Tnf
Sa
ATffT
Sa
ATf
fP
2
2
2
2
2
224224
)(
m
s
ssmff
m
Sa
A
fT
Sa
TA
216216
4
2
4
2
功率谱密度如图所示。
（2）由图5-7（b）中可以看出，该基带信号的功率谱密度中含有频率
s
sT
f
1
的离散分量，故可以提取码元同步所需的频率
s
sT
f
1
的分量。
由题（1）中的结果，该基带信号的离散谱分量
v
P
为
m
sv
mff
m
Sa
A
fP
216
4
2
当m取
1时，即s
ff
时，有
m
s
m
sv
ffSa
A
ffSa
A
fP
216216
4
2
4
2
所以该频率分量的功率为
4
2
4
2
4
22
216216
A
Sa
A
Sa
A
fP
v
2.设某二进制数字基带信号中，数字信号“1”和“0”分别由g（t）和-g（t）表示，且“1”
和“0”出现的概率相等，g（t）是余弦频谱脉冲，即
s
s
s
T
t
Sa
T
t
T
t
tg
2
24
1
cos
2
1
（1）写出该数字基带信号的功率谱密度表达式，并画出功率谱密度图；
（2）从该数字基带信号中能否直接提取频率
s
sT
f
1
的分量；
（3）
若码元间隔
sT
s
310
，试求该数字基带信号的传码率及频谱宽度。
解：
（1）当数字信号“1”和“0”等概率出现时，双极性基带信号的功率谱密度
2fGffP
s
s
已知
s
s
s
T
t
Sa
T
t
T
t
tg
2
24
1
cos
2
1
，其傅立叶变换为
f
T
ffT
T
fG
s
s
s
其他,0
1
,cos1
4
代入功率谱密度表达式中，有
s
s
s
sT
ffT
T
fP
1
,cos1
16
，如图所示：
3.
双极性数字基带信号的基本脉冲波形如图所示。它是一个高度为1，宽度
s
T
3
1
，的矩形
脉冲，且已知数字信号“1”的出现概率为1/4。
（1）该双极性信号的功率谱密度的表达式，并画出功率谱密度图；
（2）由该双极性信号中能否直接提取频率为
s
sT
f
1
的分量若能，试计算该分量的功率。
解：（1）双极性基带信号的功率谱密度为
s
m
ssss
mffmfGpffGppffP
2
21214
当P=1/4时，有
s
m
s
s
ss
mffmfG
f
fGffP
2
2
2
44
3
已知
t
t
tg
其他,0
2
,1
)(
，
故
fSa
f
f
fG
sin
)(
将上式代入
fP
s
,得
s
m
s
s
ss
mffmfSa
f
fSaffP
2
2
2
22
44
3
将
s
T
3
1
代入上式中得
s
m
s
ss
mff
m
Sa
fT
SaTfP
336
1
312
1
22
功率谱密度如图所示。
（2）由图可以看出，由该双极性信号可以直接提取频率为
s
sT
f
1
的分量。
该基带信号中的离散谱分量为
m
sv
mffSaP
336
1
)(2
当m去正负1时有
ssv
ffSaffSaP
336
1
336
1
)(22
所以频率为
s
sT
f
1
分量的功率为
2
22
8
3
336
1
336
1
)(
SaSaP
v
4.已知信息代码为，求相应的AMI码、HDB3码、PST码及双相码。
解：
AMI码：++1
HDB3码：+1000+V–B00-V0+1-1
PST码：（+模式）+0-+-+-+-++-
（-模式）-0-+-+-+-++-
双相码：11
5.已知信息代码为011，试确定相应的AMI码及HDB3码，并画出波形图。
AMI码：+10-100000+1-10000+1-1
BHD3码：+10–1000–V0+1–1+B00+V–1+1
6.某基带传输系统接收滤波器输出信号的基本脉冲为如图所示的三角形。
（1）求该基带传输系统的传输函数
H
（2）设信道的传输函数1C，发送滤波器和接收滤波器具有相同的传输函数，即
RT
CC
，试求此时的
T
C
或
R
C
的表达式。
解
（1）由图得
t
Tt
T
t
T
ths
s
s
其他,0
0,
2
2
1
该基带传输系统的传输函数为
s
t
j
ss
tje
T
Sa
T
dtethH2
2
42
（2）基带传输的传输函数由发送滤波器、信道和接受滤波器组成，即
RT
CCGH
若
RT
CGC,1
，则
22
TRRT
GCCGH
所以s
t
je
T
Sa
T
HCGss
RT
4
42
7.设某基带传输系统具有如图所示的三角形传输函数：
（1）求该系统接收滤波器输出基本脉冲的时间表达式；
（2）当数字基带信号饿传码率
0
B
R
时，用奈奎斯特准则验证该系统能否实现无码间干扰
传输
解
（1）由图可得
其他,0
,
1
1
0
0
H
该系统输出基本脉冲的时间表达式为
222
1
0
2
0
t
SadeHthtj
（2）根据奈奎斯特准则，当系统能实现无码间干扰传输时，
H
应满足
s
i
ss
T
T
Ci
T
H
Heq
,0
,
2
所以时，容易验证，当,22
2
00
CiHiRHi
T
H
T
ii
B
i
ss
间干扰传输。时，系统不能实现无码当传码率/
0
B
R
8.设基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成总特性为
H
，若要求以
2/
s
T
Baud
的速率进行数据传输，试检验图所示的满足消除抽样点上的码间干扰的条件否解
特性特准则，基带系统的总传输条件，根据奈奎斯时，若满足无码间干扰当
s
BT
R
2
应满足H
B
BB
R
RCiRH
Heq
,0
,2
容易验证，除（c）之外，（a）、（b）（d）均不满足无码间干扰传输的条件。
9.
)10Haa为某个常数（如图所示。其中的传输特性设某数字基带传输系统
（1）试检验该系统能否实现无码间干扰传输；
（2）试求该系统的最大码元传输速率为多少这时的系统频带利用率为多少
解
（1）根据奈奎斯特准则，若系统满足无码间干扰传输的条件。
应满足基带系统的总特性H
B
BB
R
RCiRH
Heq
,0
,2
可以验证：
传输。统可以实现无码间干扰时，上式成立，即该系当
0
B
R
（2）
1
2
2
)1(
,
2
)1(
)1(
,,
0
0
max
0
0
0
max
max
B
R
HzradB
R
RHeqR
B
用率为所以系统的最大频带利系统带宽
容易得到的最大码元传输速率即满足速率该系统的最大码元传输
10.
明理由。输特性较好？试简要说用图中所画的哪一种传基带信号，试问系统采
的数字为了传送码元速率BaudR
B
310
解：根据奈奎斯特准则可以证明，（a）、（b）、（c）三种传输函数均能满足无码间干扰的要求。
下面我们从频带利用率、冲激响应“尾巴”的衰减快慢、实现的难易程度三个方面来分析对比
三种传输函数的好坏。
（1）频带利用率
HzBaud
B
R
HzB
b
HzBaud
B
R
HzB
aBaudR
b
B
a
b
a
B
a
a
B
/1
1000
1000
10
/5.0
102
1000
102
)(,1000
3
3
3
其频带利用率
）的带宽为传输函数（
其频带利用率
的带宽为传输函数为三种波形的传输速率均
传输函数（b）的带宽为
cba
c
B
c
c
HzBaud
B
R
HzB
显然
其频带利用率
/1
1000
1000
103
（2）冲激响应“尾巴”的衰减快慢程度
（a）、（b）和（c）三种传输特性的时域波形分别为
tSath
tSath
tSath
c
b
a
323
33
323
1010
102102
102102
较好。综上所述，传输特性
比较容易实现。和物理上不易实现，而
为理想低通特性，看，因为）从实现的难易程度来（
）较好。）和（来看，传输特性（
波形的尾巴衰减速度的速度衰减，故从时域的尾巴以
）的速度衰减，而（）的尾巴以）、（其中（
c
ca
b
ca
t
b
t
ca
3
1
1
2
11.二进制基带系统的分析模型如图所示，现已知
。及相应码元间隔码元传输速率试确定该系统的最高的
其他
sB
TR
t
H
,0
,cos1
0
00
的波形如图所示传输特性
。及相应码元间隔码元传输速率试确定该系统的最高的
解
H
TR
sB
0
0
2,
2
1
sB
TBaudR
H
而率求出系统最高的码元速
奈奎斯特准则，可为升余弦传输特性。由由上图易知，
12.若上题中
t
T
TT
H
s
ss
其他,0
2
,
2
cos1
2
s
s
T
TT
s
T
s
s
s
s
s
s
T
t
Sa
T
GF
GG
T
G
T
H
BaudTth
Tt
Tt
Tt
Tt
th
s
ss
s
2
2
2
cos1
2
/1)(
/41
/cos
/
/sin
)(
4
1
44
4
2
2
的逆傅立叶变换为波形如图所示。而其中
解
间干扰否？存在（抽样时刻上）码
速率传送数据时，的示意波形和说明用并画出
为试证明其单位冲击响应
s
s
s
s
s
s
sss
s
T
j
T
s
T
j
T
s
T
s
T
j
T
j
T
s
T
T
t
Sa
T
T
T
T
t
Sa
TT
t
Sa
T
T
th
eG
T
eG
T
G
T
ee
G
T
H
s
s
s
ss
ss
s
2
2
2
4
2
2
222
2
)(
442
2
1
2
2
4
2
44
22
4
所以
而
的波形如图所示。)(
/41
cos
/
/sin
/41
12
2
2
2
2
th
Tt
T
t
Tt
Tt
Tt
T
t
Sa
s
s
s
s
s
s
为其他整数
满足因为
刻上）的码间干扰时，将不存在（抽样时速率由图可以看出，当传输
k
k
kTh
th
Baud
T
R
s
s
B
,0
0,1
)(
)(
1
13.
激响应和频率特性。。试求该系统的单位冲通带增益为
滤波器的截止频率为所示，图中，理想低通设一相关编码系统如图
s
s
T
T).2/(1
解：
其他
其他
系统的频率特性
所以系统单位响应
其对应的单位冲激响应
其他
函数为理想低通滤波器的传输
,0
,sin2
,0
,1
)(1
2)(
)2()()()2()()(
)()(
,0
,
)(
2
'
'''
'
'
s
ss
s
Tj
s
Tj
s
ss
ss
s
s
s
T
TT
H
T
eT
HeH
Tt
T
Sat
T
Sa
TthththTttth
t
T
Sath
T
T
tH
s
s
相减
s
T2延迟
理想低通输入输出
14.若上题中输入数据为二进制的，则相关编码电平数为3；若输入数据为四进制（+3，+1，-1，
-3），则相关编码电平数为7。
一般地，若部分响应波形为
1)1(
1
1sinsin
)(
1
1
N
i
i
s
s
s
s
N
s
s
RLQ
L
TNt
T
TNt
T
R
t
T
t
T
Rtg
进制，则相关电平数输入数据为
15.以参考文献[1]中第IV部分响应为例。试画出包括预编码在内的系统组成方框图
解：第IV部分响应系统的组成方框图如图所示。
16.对于双极性基带信号，试证明其码元持续时间内，抽样判决器输入端得到的波形可表示为
n
d
V
de
n
d
V
de
d
n
n
n
n
n
R
R
R
AV
erfdxxfVxpp
AV
erfdxxfVxpp
V
Ax
xf
tx
Ax
xf
tx
tn
tnA
tnA
tx
d
d
2
2
1
2
1
10
2
2
1
2
1
01,
2
exp
2
1
)(
)(0
2
exp
2
1
)(
)(
10)(
0),(
1),(
)(
02
11
2
2
2
0
2
2
2
1
2
”的概率为”错判为“将“
”的概率为”错判为“则将“若令判决门限为
的一维概率密度为”时，而发送“
的一维概率密度为
”时，的高斯噪声，当发送“，方差为是均值为假定
”时发送“
”时发送“
相
减
发送滤
波
信
道
接受
滤波
模2判
决
s
T2
发收
)1(
)0(
ln
0)(0)(1
,0
)()0()(1
01
),0()1(01
2
01
01
21
p
p
A
V
VfpVfp
dV
dp
dxxfpdxxfp
ppppp
pp
n
d
dd
d
e
V
V
eee
d
d
解得最佳门限电平为
得到令
则系统总的误码率为和”的概率分别为”和“若设发送“
17.试证明对于单极性基带波形，其最佳门限电平为
)1(
)0(
ln
2
2
p
p
A
A
Vn
d
”等概出现时）”和““
最小误码率
01(
2
2
1
n
e
A
erfcp
证明：对于单极性基带信号波形，在一个码元持续时间内，抽样判决器输入端得到的波形可表
示为
”时发送“
”时发送“
0),(
1),(
)(
tn
tnA
tx
R
R
01
2
2
0
2
2
1
2
2
0
2
2
1
2
11
),0()1(01
2
exp
2
1
10
2
)(
exp
2
1
01,
2
exp
2
1
)(
)(0
2
)(
exp
2
1
)(
)(10)(
eee
n
v
n
de
n
v
n
de
d
n
n
n
n
n
R
ppppp
pp
dx
x
vxpp
dx
Ax
vxpp
v
x
xf
tx
Ax
xf
txtn
d
d
则系统总的误码率为和”的概率密度分别为”和“设发送“
”的概率为”错判为“将“
”的概率为”错判为“则将“令判决门限为
的一维概率密度为”时，而发送“
的一维概率密度为
”时，的高斯噪声。发送“，方差为为均值为其中
nn
n
V
n
n
V
n
e
d
n
d
n
d
n
n
d
n
d
d
e
A
erfc
A
erf
dx
x
pdx
Ax
pp
A
Vpp
p
p
A
A
V
VAV
p
V
dv
dp
d
d
22
2
1
22
1
2
1
2
exp
2
1
)0(
2
)(
exp
2
1
)1(
22
1
)1()0(
)1(
)0(
ln
2
0
2
exp
2
1
2
)(
exp
2
1
)1(
,0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
此时，系统的误码率为
，则若
解得
即，可求得最佳门限电平令
18.
其他
现已知
。所示。并设若二进制基带系统如图
,0
,cos1
,1
0
00H
HGGC
RT
2
cos1
22
1
2
1
,cos1
2
22
0
00
0
0
0
00
0
0
2
0
0
0
0
0
d
n
dPS
C
n
H
n
C
n
P
C
n
R
Rn
R
输出噪声功率为接收滤波器
为的输出噪声功率谱密度
解
19.
其他
现已知
。所示。并设若二进制基带系统如图
,0
,cos1
,1
0
00H
HGGC
RT
此时，系统误码率为
可求得最佳门限电平，并考虑令
则总的错误概率为和”的概率分别为”和“设发送“
”的概率为”码错判为“发送“
”的概率为为“
”码错判，则发送“电平。令判决门限为为接受滤波器的输出信号
”时，电平，而发送“出信号为”时，接受滤波器的输设系统发送“
解
2
,1)0()1(0
exp
2
1
exp
2
1
)1(
)0()1(
),0()1(01
exp
2
1
10
exp
2
1
0
10
01
01
0
1
A
v
pp
dv
dp
dv
v
dv
Av
p
ppppp
pp
dv
v
p
dv
Av
p
v
A
d
d
e
v
v
eee
v
e
v
e
d
d
d
d
d
2
exp
2
1
exp
2
1
exp
2
1
)1(
A
dv
v
dv
Av
pp
d
d
v
v
e
20.某二进制数字基带系统所传输的是单极性基带信号，且数字信号“1”、“0”的出现概率相
等。
31021.6
22
2
1
2.00
5.0
2
,
2
1
)0()1(01)0()1(
n
e
n
d
A
erfcp
V
V
A
v
pppp
，误码率，均方根声均值为已知接受滤波器输出噪
限等概率时，最佳判决门
”出现的概率，则”和“分别表示数字信号“和用
解
21.某二进制数字基带系统所传输的是单极性基带信号，且数字信号“1”、“0”的出现概率相
等。
n
n
e
e
A
A
erfcp
p
53.8
10
22
2
1
10
5
5
求得
，即根据
解
22.若将上题中的单极性改为双极性基带信号，其他条件不变，重做上题。
n
n
e
e
n
n
e
A
A
erfc
p
erfcp
A
A
erfcp
26.4
10
2
2
1
10
1087.2
2.02
1
2
1
,2.0,1
2
2
1
5
5
7
可求得
若
则已知
最小误码率信号的基带传输系统的等概时采用双极性基带
解
23.设随机二进制序列中的0和1分别由g（t）和-g（t）组成，它们的出现概率分别为P及（1-P）：
若g(t)为如图5-6（a）所示波形，T
s
为码元宽度，问该序列存在离散分量f
s
=1/T
s
否
解：
当基带脉冲波形g(t)为
t
T
t
tg
s
其他,0
2
||,1
)(
g(t)的傅立叶变换G(f)为s
s
sfT
fT
TfG
sin
)(
因为
0
sin
)(
ss
ss
sTf
Tf
TfG
由题（1）中的结果知，此时的离散分量为0。
24.设随机二进制序列中的0和1分别由g（t）和-g（t）组成，它们的出现概率分别为P及（1-P）：
若g(t)为如图所示波形，T
s
为码元宽度，问该序列存在离散分量f
s
=1/T
s
否
解：
（3）
t
T
t
tg
s
其他,0
4
||,1
)(
g（t）的傅立叶变换G（f）为
0
2/
2/sin
2
)(
s
ss
sss
T
Tf
TfT
fG
所以该二进制序列存在离散分量
s
sT
f
1
25.设某基带传输系统具有如图所示的三角形传输函数：
当数字基带信号饿传码率
0
B
R
时，用奈奎斯特准则验证该系统能否实现无码间干扰传输
根据奈奎斯特准则，当系统能实现无码间干扰传输时，
H
应满足
s
i
ss
T
T
Ci
T
H
Heq
,0
,
2
实现无码间干扰传输。
时，系统不能所以当传码率
时，容易验证，当
0
0
00
,2
2
2
B
i
ii
ss
RCiH
iH
TT