矩阵的秩的性质
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2023年3月19日发(作者：文明乘车手抄报)矩阵乘积秩的讨论
在《高等代数》中对于矩阵乘积的秩有这样的结论“min,ABAB秩秩秩”，这里
我们不禁要问：以上的不等式在什么时候取得等号，及我们要对乘积的秩的一些性质作出一
些延伸
（以下的文字择取自“维基百科”）
在代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的
线性无关的横行的极大数目。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)
或rank（A）。
m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。
有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
我们假定A是在域F上的m×n矩阵并描述了上述线性映射。
（1）只有零矩阵有秩0
（2）A的秩最大为min(m,n)
（3）f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“满列秩”）。
（4）f是满射，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“满行秩”）。
（5）在方块矩阵A(就是m=n)的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n（也就是A有
满秩）。
（1）如果B是任何n×k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。
即：秩（AB）≤min(秩（A），秩（B）)
推广到若干个矩阵的情况，就是：秩（A1A2...Am）≤min(秩（A1），秩（A2），...秩（Am)）
可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说A）对应的线性映射不减少
空间的维度，即是单射，这时A是满秩的。于是有以下性质：
（1）如果B是秩n的n×k矩阵，则AB有同A一样的秩。
（1）如果C是秩m的l×m矩阵，则CA有同A一样的秩。
（1）A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m×m矩阵X和一个可逆的n×n矩阵Y使
得
这里的Ir指示r×r单位矩阵。
证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定
理）。(关于秩-零化度定理的说明我们会另附短文说明)
向量组的线性相关性
将个维列向量排列成的矩阵A，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。
原向量组线性相关的充分必要条件为：
如果
则向量组线性无关。另外，不存在
特殊的，若向量的个数大于向量的维数，则根据：
这个向量组必然线性相关。