求余数

求余数

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2023年3月19日发(作者：电子时钟系统)

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高中数学二项式定理的应用-证明整除货求余数练

习题

1．二项式定理

⑴二项式定理

011222...n

nnnnn

nnnn

abCaCabCabCbnN

这个公式表示的定理叫做二项式定理．

⑵二项式系数、二项式的通项

011222...nnnnn

nnnn

CaCabCabCb叫做nab的二项展开式，其中的系数0,1,2,...,r

n

Crn叫做二项

式系数，式中的rnrr

n

Cab叫做二项展开式的通项，用

1r

T



表示，即通项为展开式的第1r项：

1

rnrr

rn

TCab



．

⑶二项式展开式的各项幂指数

二项式nab的展开式项数为1n项，各项的幂指数状况是

①各项的次数都等于二项式的幂指数n．

②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次

数由零逐项增1直到n．

⑷几点注意

①通项

1

rnrr

rn

TCab



是nab的展开式的第1r项，这里

0,1,2,...,rn

．

②二项式nab的1r项和nba的展开式的第1r项rnrr

n

Cba是有区别的，应用二项式定理时，其中

的a和b是不能随便交换的．

知识内容

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③注意二项式系数（r

n

C）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可

为负．

④通项公式是nab这个标准形式下而言的，如nab的二项展开式的通项公式是

1

1r

rnrr

rn

TCab





（只须把b看成b代入二项式定理）这与

1

rnrr

rn

TCab



是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的

都是r

n

C，但项的系数一个是1r

r

n

C，一个是r

n

C，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．

⑤设

1,abx

，则得公式：12211......n

rrn

nnn

xCxCxCxx．

⑥通项是

1r

T



rnrr

n

Cab0,1,2,...,rn中含有

1

,,,,

r

Tabnr



五个元素，

只要知道其中四个即可求第五个元素．

⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx的近似值．

2．二项式系数的性质

⑴杨辉三角形：

对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉

三角计算．

杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”

⑵二项式系数的性质：

nab展开式的二项式系数是：012,,,...,n

nnnn

CCCC，从函数的角度看r

n

C可以看成是r为自变量的函数

fr，其定义域是：0,1,2,3,...,n．

当6n时，fr的图象为下图：

这样我们利用“杨辉三角”和6n时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．

①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

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事实上，这一性质可直接由公式mnm

nn

CC得到．

②增减性与最大值

如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．

由于展开式各项的二项式系数顺次是



012

1

1,,

112nnn

nn

n

CCC







，



3

12

123n

nnn

C







，．．．，



1

12...2

123....1

k

n

nnnnk

C

k









，





12...21

123...1

k

n

nnnnknk

C

kk







，．．．，

1n

n

C．

其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如

,1,2,...nnn

），

分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一

个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，r

n

C的值转化为不递增而递减了．又因为与首

末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大

的项必在中间．

当n是偶数时，1n是奇数，展开式共有1n项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，

最大为2

n

n

C．

当n是奇数时，1n是偶数，展开式共有1n项，所以有中间两项．

这两项的二项式系数相等并且最大，最大为

11

22

nn

nn

CC



．

③二项式系数的和为

2n，即012......2rnn

nnnnn

CCCCC．

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即

0241351......2n

nnnnnn

CCCCCC．

常见题型有：

求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．

二项式定理的应用1证明整除或者求余数

【例1】利用二项式定理证明：22389nn

是64的倍数．

典例分析

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【例2】若*nN，证明：2332437nn

能被64整除．

【例3】证明：22(13)(13)(*)nnnN能被12n整除．

【例4】证明：2121(13)(13)(*)nnnN能被12n整除．

【例5】⑴3023

除以7的余数________；

⑵555515

除以8的余数是__________；

⑶20001991除以310

的余数是．

【例6】100111

的末尾连续零的个数是（）

A．7B．5C．3D．2

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