归谬法经典例子

归谬法经典例子

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梯田文化教辅专家

17.5反证法

教学目标：

1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤；

2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题；

3、使学生逐步树立“正难则反”和“转换思维”的意识。

4、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。

5、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另

一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相

平行”。

重点与难点：本节教学的重点是反证法的含义和步骤及运用反证法的意识及反证中的“归

谬”。而课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递性的证明，有较高难度，是本

节教学的难点。

教学设想：课本用《路边苦李》的故事引入课题，让学生体会反证法就在生活中，数学

就在生活中。而解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过

一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时

可从反面去考虑。从反面考虑问题在中等数学中常用的有：逆推法、分析法、补集思想、反

证法。因此本课的教学要注意：1、让学生总结反证法导出的矛盾有几种类型。2、利用合作

学习让学生比较两种证明方法的特点。3、对证明的基本方法掌握和过程的体验，需要对一

定数量的命题的证明来实现，但是教学中要注意避免一味的追求所证命题的数量、证明的技

巧，应依据教材中的基本要求，控制好所证命题的难度。

教学过程：

一、情境导入

1、故事引入“反证法”：——路边苦李

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满

了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。

王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”

小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?

我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一

种方法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的

策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?

假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路

人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假

设是错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图：

这就是反证法：

在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知

条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证

的命题正确。这种证明方法叫做反证法。

2、学生模仿推理：他运用了怎样的推理方法？

在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵

大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来后，

彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？

让学生叙述哲学家觉察到的，并猜想他是如何觉察到的。再次领略反证法的思维过程，

加深印象。

梯田文化教辅专家

二、探究新知

（一）整体感知

用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成

立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这

个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一

有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。概

括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。

你能说出下列结论的反面吗?

1、a⊥b；2、d是正数；3、a≥0；4、a∥b。

（二）师生互动

1、用反证法证明(填空)：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°

已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角（如图）；

求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°。

证明：假设所求的结论不成立，即

∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°

这与“三角形的内角和为180°”相矛盾

所以假设不成立，所求证的结论成立

2、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一

条相交，那么和另一条也相交。

已知：（如图）直线a，b，c在同一平面内，且a∥b，c与a相交于

点P，求证：c与b相交。

教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法。定理：在

同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。

数学符号语言：∵直线a，b，c在同一平面内，a∥b，c与a相交，∴c与b相交

3、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。

①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论

证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的

结论成立。

使学生再次明确：用反证法证题的基本思路及步骤。

4、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中

的一条平行，那么和另一条也平行。

已知：（如图）直线a，b，c在同一平面内，且a∥b，a∥c

求证：b∥c

教师带领学生先进行一定的分析，预设问题：

（1）你首选的是哪一种方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？——分类讨论的方法（三直线的位置）。

教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用

反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理。

（平行线传递性）定理：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条平行，

那么和另一条也平行

数学符号语言：∵直线a，b，c在同一平面内，a∥b，a∥c，∴b∥c，∴a∥b∥c

在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达。

方法总结：——证明一个命题是真命题有哪些方法?

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三、学以致用，完善新知：

1、已知：如图，直线l与a，b，c都相交，且a∥c，b∥c，求证：∠1=∠2

用直接法证明

证明：∵a∥c，b∥c(已知)，∴a∥b(在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平

行，那么这两条直线也互相平行。)

∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)

反证法证明：

证明：假设∠1≠∠2，则a∥b，这与a∥b相矛盾，

所以假设不成立，所求证的结论成立。

2、链接生活

反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：

妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游。

小华：不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!

上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么?（小芳全家没外出旅游.）

他是如何推断该命题的正确性的?

在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子.

3、议一议：甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和

铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：

A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；

C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军。

其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？

四、学习小结：

1、引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤。

2、教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法。

反证法的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

1、反证法：

（1）反设（即假设）p则q（原命题）反设p且非q。

（2）可能出现三种情况：①导出非p为真——与题设矛盾。②导出q为真——与反设

中“非q“矛盾。③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。

2、用反证法证题时，应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当

或有所遗漏；（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；（3）在推理过程中，要

充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。

五、课后作业：

【资料下载】反证法也称为归谬法，英国数学家哈代（G．H．Hardy，1877－1947•）对

于这种证法给过一个很有意思的评估．在棋类比赛中，经常采用一种策略，叫“弃子取势”，

即牺牲一些棋子以换取优势．哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略．棋手

可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋．归谬法就是作为一种可以想象的最

了不起的策略而产生的。