函数变换的四种形式 图形运动的四种方式

函数变换的四种形式 图形运动的四种方式

形容杭州的诗句-大漠穷秋

三角函数变换的方法与技巧(1)

一、角的变换

在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与

角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使

问题获解。常见角的变换方式有：)(；)()(2；

)(2；

2

2



等等。

例1、已知1),tan()tan(nn，求证：

1

1

2sin

2sin







n

n





。

分析：在条件中的角和与求证结论中的角2,2是有联系的，可以考虑

配凑角。

解：)()(2，)()(2，



)]()sin[(

)]()sin[(

2sin

2sin















)sin()cos()cos()sin(

)sin()cos()cos()sin(











)tan()tan(

)tan()tan(











1

1

)tan()tan(

)tan()tan(













n

n

n

n





二、函数名称的变换

三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函

数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或

诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。

常见的就是切割化弦。

例2、(2001年上海春季高题)已知k









tan1

2sinsin22

)

24

(







，试用k表

示cossin的值。

分析：将已知条件“切化弦”转化为cos,sin的等式。

解：由已知k























cossin2

cos

sin

1

)cos(sinsin2

tan1

2sinsin22

；

24







cossin

cossink1cossin21)cos(sin2。

三、常数的变换

在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变

换有：222222cotcsctanseccossin1，0045sin90sin1，

sincsc1,cossec1等等。

例3、(2004年全国高考题)求函数

x

xxxx

xf

2sin2

cossincossin

)(

2244





的最小正周

期，最大值和最小值。

分析：由所给的式子xxxx2244cossincossin可联想到222)cos(sin1xx。

解：

x

xxxx

xf

2sin2

cossincossin

)(

2244







)cossin1(2

cossin122

xx

xx







2

1

2sin

4

1

x。

所以函数)(xf的最小正周期是



，最大值为

4

3

，最小值为

4

1

。

四、公式的变形与逆用

在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。

通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公

式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由

cossin22sin可以变通为







sin

2sin

cos与







sin

2sin

cos；由







cos

sin

tan可

变形为costansin等等。

例4、求

212cos4

12csc)312tan3(

02

00





的值。

分析：先看角，都是012，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。

解：原式

212cos4

12

1

3

12cos

12sin3

0

00

0























(切割化弦)

)112cos2(12cos12sin2

12cos312sin3

0200

00







00

00

24cos24sin

)12cos

2

3

12sin

2

1

(32

(逆用二倍角公式)

00

0000

24cos24sin

)60sin12cos60cos12(sin32

(常数变换)

00

00

24cos24sin2

)6012sin(34

(逆用差角公式)

34

48sin

)48sin(34

0

0





(逆用二倍角公式)。

这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注

意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。

三角函数变换的方法与技巧(2)

在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法，下面我们再介绍四种变换的方

法与技巧：

五、引入辅助角

xbxacossin可化为)sin(22xba，这里辅助角所在的象限由ba,的符号

确定，角的值由

a

b

tan确定。

例5、求

7cos30sin202sin6cos52xxxxy的最大值与最小值。

分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数

的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。

解：

3cos30sin20)sin4cossin12cos9(22xxxxxxy

3)cos3sin2(10)sin2cos3(2xxxx

22)5sin2cos3(2xx

22)5cos3sin2(2xx

22]5)sin(13[2x

其中，

2

3

tan，

当1)sin(x时，13101622)513(2

max

y；

当1)sin(x时，

13101622)513(2

min

y。

注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解。

六、幂的变换

降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用的降幂公式有：

2

2cos1

sin2







，

2

2cos1

cos2







和22cossin1

2222cotcsctansec等等。降幂并非绝对，有时也需要升幂，如对于无理式

cos1常用升幂化为有理式。

例6、化简2cos2cos

2

1

coscossinsin2222。

分析：从“幂”入手，利用降幂公式。

解：原式

2cos2cos

2

1

)2cos1)(2cos1(

4

1

)2cos1)(2cos1(

4

1



)2cos2cos2cos2cos1(

4

1

)2cos2cos2cos2cos1(

4

1



2cos2cos

2

1



2

1

2cos2cos

2

1

)2cos2cos1(

2

1





七、消元法

如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变

量，然后再求解。

例7、求函数

x

x

y

cos2

sin2





的最值。

解：原函数可变形为：yxyx22cossin，即

21

22

)sin(

y

y

x





，1|)sin(|x

1

1

22

2









y

y

解得：

3

74

max



y，

3

74

min



y。

八、变换结构

在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘

为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。

例8、化简

xx

xx

cossin1

cossin1





。

分析：本题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分

子分母化成积的形式。

解：

2

cos

2

sin2

2

sin2sincos1cossin12

xxx

xxxx

)

2

cos

2

(sin

2

sin2

xxx



2

cos

2

sin2

2

cos2sincos1cossin12

xxx

xxxx

)

2

cos

2

(sin

2

cos2

xxx



所以

xx

xx

cossin1

cossin1





2

tan

x

。

九、思路变化

对于一道题，思路不同，方法出随之不同。通过分析，比较，才能选出思路最为简例9、

求函数

x

x

y

cos2

sin



)0(x的最大值。

解：由于

x

x

y

cos2

sin





)2(cos

0sin







x

x

，则y为点)sin,(cosxx与点(0,2)连线的斜

率。则斜率最为当连线与半单位圆相切时，如图所示：

此时，

3

3

max

y

)

3

2

(时x。

捷的方法。

三角函数最值与综合应用

一、求三角函数最值的一般方法

1.用三角发求解三角函数的最值常见的函数形式

（1）22sincossin()yaxbxabx，其中

22

cos

a

ab





，

(－２，０)

O

22

sin

b

ab





（2）22sincosyaxbx可先降次，整理转化为一次形式。

（3）

sin

sin

axb

y

cxd







cos

()

cos

axb

cxd





或可转化为只有分母含sinx或

cosx

函数式，

sin()xfy或cos()xfy的形式，有正、余弦函数的有界性求解。

2.用代数发求三角函数的最值常见的函数形式

（1）22sincosyaxbxc可转化为cosx的二次函数式。

（2）sin(,,0)

sin

c

yaxabc

bx

，令sinxt，则转化为

c

yat

bt

(11)t的最

值，一般可用图像。

（3）

sin

cos

axb

y

cxd







，一般用万能公式转化为关于tan

2

x

的二次方程，由“判别式法”求

其最值；或转化为关于的函数式后噶偶早应用“均值不等式”及“单调性”求其最值，也可

以将函数式转化为sin()()xfy的形式，由正余弦的有界性求最值。

3.用解析法求三角函数的最值常见的函数形式

sin

cos

axb

y

cxd







或

cos

sin

axc

y

bxd







可转化为椭圆上的动点与定点连线的斜率的最值问题。

二、求三角函数值域的常用方法

求三角函数的值域除了判别式、总要不等式、单调性等方法除外，结合三角函数的特

点还有以下常用方法：

1.涉及正、余弦函数以及22sincossin()axbxabx，其中tan

b

a

，都可以

考虑利用有界性处理

2.22sinsincoscosyaxbxxx型降次、整理

22ysin2cos2sin(2)AxBxABx,其中tan

B

A

,再利用有界性处理。

3.形如2sinsinyaxbxc或2cossinyaxbxc的函数求最值是都可以通过适

当变换，通过配方法来求解。

4.形如sincosxx，sincosxx在关系式中是，可以考虑换元法处理，如令

sincostxx，则

21

sincos

2

t

xx



。把三角问题化归为代数问题解决

5.形如

a

x

x

型或能确定所给函数在某区间上单调，可考虑利用单调性求解。

例1.求下列函数的值域

（1）

sin2sin

1cos

xx

y

x





（2）sincossincosyxxxx

变式1.求函数

3cos

2sin

x

y

x





的值域

变式2.求函数

(1sin)(3sin)

2sin

xx

y

x







的最值及对应的的

x

集合

Ⅰ

练习：

一、选择题

1.（2009全国Ⅱ）若将函数tan()(0)

4

yx



的图像向右平移

6



个单位后，与函数

tan()

6

yx



的图像重合，则的最小值为（）

A.

1

6

B.

1

4

C.

1

3

D.

1

2

2.（2008湖南）函数2()sin3sincosfxxxx在区间,

42









上的最大值是（）

A.1B.

13

2



C.

3

2

D.

13

二、填空题

3.（2009全国Ⅰ）若

42

x



，则函数3tan2tanyxx的最大值为

4.（2008辽宁）已知()sin()(0)

3

fxx



，()()

63

f



，且在区间(,)

63



有最小

值，无最大值，则



三、解答题

5.（2010辽宁）在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC的对边，且

2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC

（1）求A的大小

（2）求sinsinsinABC的最大值

6.(2009陕西)已知函数()sin()fxAx，xR(0,0,0)

2

A



其中的图

像与

x

轴的交点中，相邻连个交点之间的距离为

2



，且图像上一个最低点为

2

(,2)

3

M



。

（1）求()fx的解析式；

（2）当[,]

122

x



时，求()fx的值域

7.（2008安徽）已知函数()cos(2)2sin()sin()

344

fxxxx





（1）求函数()fx的最小正周期和图像的对称轴方程；

（2）求函数()fx在区间[,]

122

x



上的值域

8.（2008福建）已知向量(sin,cos)AAm，

(3,1)n

，1mn，且A为锐角。

（1）求角A的大小

（2）求函数()cos24cossin()fxxAxxR的值域

三角恒等变换

一、方法与技巧：

1.和角公式中

tantan

tan()

1tantan









要注意公式成立的条件。

2.三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最小，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不

含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求出具体值的应该要求出具体值。

3.要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如()，

()，2()()()()，

2

33



是的半角，2

2





是

4



倍角。

4.要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性化非特殊角为特殊角，正确

选用公式，灵活掌握个公式的正用、逆用、变形等。

例三角函数式的化简与证明

化简2222

1

sinsincoscoscos2cos2

2



（从角入手，化复交为单角）

（从名入手，化异名为同名）

（从从幂入手，降幂处理）

（从行入手，配方法）

变式：

求证：

2cos1

sin2

1

4

tan

2

tan

2













练习：

一、选择题

1.（2010新课标全国）若

2

cos

5

，是第三象限角，则

1tan

2

1tan

2











（）

A.

1

2

B.

1

2

C.2D.2

2.（2010福建）计算sin43sin13cos43sin13的结果等于（）

A.

1

2

B.

3

3

C.

2

2

D.

3

2

3.（2010江西）E、F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（）

A.

16

27

B.

2

3

C.

3

3

D.

3

4

二、填空题

4.（2010全国Ⅱ）已知



是第二象限角，

4

tan(2)

3

,则tan

5.（2010浙江）函数2()sin(2)2sin

4

fxxx



的最小正周期是

三、解答题

6.（2010天津）已知函数2()23sincos2cos1()fxxxxxR。

（1）求函数()fx的最小正周期及在区间[0,]

2



上的最大值和最小值；

（2）若

0

6

()

5

fx，

0

[,]

42

x



，求

0

cos2x的值。

7.（2010安徽）设ABC是锐角三角形，,,abc分别是内角,,ABC所对边长，并且

22sinsin()sin()sin

33

ABBB





（1）求角A的值

（2）若12,27ABACa，求,bc（其中bc）

8.（2010江西）已知函数2()(1cot)sinsin()sin()

44

fxxxmxx





（1）当时0m，求()fx在区间

3

[,]

84



上的取值范围；

（2）当时tan2，

3

()

5

f，求

m

的值

9.（2010湖北）已知函数()cos()cos()

33

fxxx



，

11

()sin2

24

gxx

（1）求函数()fx的最小正周期；

（2）求函数()()()hxfxgx的最大值，并求使取得最大值的

x

集合

三角函数最值与综合应用习题

一选择题

1.若函数()sin()fxx，对任意的

x

都有()()

66

fxfx



，则()

6

f



等于（）

A.2或0B.-2或2C.0D.-2或0

2.已知函数sin()(0),0)

2

yx



，

且此函数的图像如图所示，

则点的坐标是（）

A.(2,)

2



B.(2,)

4



C.(4,)

2



D.(4,)

4



3.已知函数sin()yAxm的最大值为4，最小值为0，最小正周期为

2



，直线

3

x





其图像的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（）

A.4sin(4)

6

yx



B.2sin(2)2

3

yx





C.2sin(4)2

3

yx



D.2sin(4)2

6

yx





4.已知函数()cossin()fxxxxR，给出下列四个命题：

①若

12

()()fxfx，则

12

xx；

②()fx的最小正周期是2；

③()fx在区间[,]

44



上是增函数；

④()fx的图像关于

3

4

x



直线对称；

其中真命题是（）

A.①②④B.①②C.②③D.③④

5函数

2

sinsin()sincos2

23

yxxx



的最大和最小正周期分别为（）

A.1,B.2,2C.

2,2D.

13

,

2





二、填空题

6.已知函数2()2cos2sincos1fxxaxx的图像关于直线

8

x



对称，则

a

7.已知函数24()sincosfxxx，则函数()fx的最小正周期为

三、解答题

已知(cos,sin)a，(cos,sin)b，

a

与b之间有关系式||3||kkabab，

其中0k

（1）用k表示ab；

（2）求ab的最小值，并求此时

a

与b夹角的大小。

三角恒等变换

一、选择题

1.已知

2

tan()

5

，

1

tan()

44



，那么tan()

4



等于（）

A.

13

18

B.

13

22

C.

3

22

D.

1

6

2.若

22sin1

2

()2tan

sincos

22

x

fxx

xx



，则()

12

f



的值为（）

A.

43

3

B.8C.43D.43

3.若

110

tan

tan3





，(,)

42



，则sin(2)

4



的值为（）

A.

2

10

B.

2

10

C.

32

10

D.

72

10

4.设sin14cos14a，sin16cos16b，

6

2

c则,,abc的大小关系是（）





5.

22cos821cos8

化简的结果是（）

A.4cos42cos4B.2cos4

C.2cos44cos4D.2cos4

二、填空题

6.已知

3

sin()

45

x



，则sin2x

三、解答题

7.已知

3

cos()

45

x



，求

2sin22sin

1tan

xx

x





的值

8.已知(0,)

2



，

1

tan

2

，求tan2和sin(2)

3



的值