基本不等式公式四个
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2023年3月19日发(作者：一年的节日表)1
基本不等式
【知识框架】
1、基本不等式原始形式
（1）若Rba,，则abba222
（2）若Rba,，则
2
22ba
ab
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若*,Rba，则abba2
3、基本不等式的两个重要变形
（1）若*,Rba，则
ab
ba
2
（2）若*,Rba，则
2
2
ba
ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若0x，则
1
2x
x
(当且仅当1x时取“=”）
（2）若0x，则
1
2x
x
(当且仅当1x时取“=”）
（3）若0ab，则
2
a
b
b
a
(当且仅当ba时取“=”）
（4）若Rba,，则
2
)
2
(
22
2
baba
ab
（5）若*,Rba，则
22
11
122baba
ab
ba
特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”
6、柯西不等式
（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd
2
（2）若
123123
,,,,,aaabbbR，则有：
2222222
33
()()()aaabbbababab
（3）设
1212
,,,,,,
nn
aaabb与b是两组实数，则有
222
12
(
n
aaa)222
12
)
n
bbb(2
1122
()
nn
ababab
【题型归纳】
题型一：利用基本不等式证明不等式
题目1、设ba,均为正数，证明不等式:
ab
≥
ba
11
2
题目2、已知
cba,,
为两两不相等的实数，求证：
cabcabcba222
题目3、已知1abc，求证：222
1
3
abc
题目4、已知
,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(
题目5、已知
,,abcR，且1abc，求证：
111
1118
abc
3
题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,abc均为正数,且1abc,证明:
(Ⅰ)
1
3
abbcca;(Ⅱ)
222
1
abc
bca
.
题型二：利用不等式求函数值域
题目1、求下列函数的值域
（1）
2
2
2
1
3
x
xy（2）)4(xxy
（3）)0(
1
x
x
xy（4）)0(
1
x
x
xy
题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）
1、已知2x，求函数
42
4
42
x
xy的最小值；
变式1：已知2x，求函数
42
4
2
x
xy的最小值；
4
变式2：已知2x，求函数
42
4
2
x
xy的最大值；
变式3：已知2x，求函数
4
2
24
x
yx
x
的最大值；
练习：1、已知
5
4
x，求函数
1
42
45
yx
x
的最小值；
题目2、已知
5
4
x，求函数
1
42
45
yx
x
的最大值；
题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）
题目1、当时，求(82)yxx的最大值；
变式1：当时，求4(82)yxx的最大值；
5
变式2：设
2
3
0x，求函数)23(4xxy的最大值。
题目2、若02x，求yxx()63的最大值；
变式：若40x，求)28(xxy的最大值；
题目3、求函数
)
2
5
2
1
(2512xxxy的最大值；
变式：求函数
)
4
11
4
3
(41134xxxy
的最大值；
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
题目1、已知12,0,baba，求t
ab
11
的最小值；
6
变式1：已知22,0,baba，求t
ab
11
的最小值；
变式2：已知
28
,0,1xy
xy
，求xy的最小值；
变式3：已知0,yx，且
11
9
xy
，求xy的最小值。
变式4：已知0,yx，且
19
4
xy
，求xy的最小值；
变式5：
（1）若0,yx且
12yx
，求
11
xy
的最小值；
（2）若
Ryxba,,,
且
1
y
b
x
a
，求
yx
的最小值；
变式6：已知正项等比数列
n
a
满足：
567
2aaa
，若存在两项
nm
aa,
，使得
1
4aaa
nm
，求
nm
41
的最小值；
7
变式7：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（）
A.
24
5
B.
28
5
C．5D．6
变式8：设0,若
11
333ab
ab
是与的等比中项，则的最小值为（）．
A．
1
4
B．1C．4D．8
变式9：已知0ab，且2ab，则
21
3abab
的最小值为
变式10：已知01x，0a，0b，求
22
1
ab
y
xx
的最小值.
变式11：求
183
(0)
2322
x
xx
的最小值
变式12：已知(0,)
2
，求函数
22
14
()
sincos
f
的最小值
变式13：设正实数ba,满足
b
a
a
ba
8
1
,2则的最小值为．
变式14：【2013天津理】设a+b=2,b>0,则当a=时,
1||
2||
a
ab
取得最小值.
8
变式15：设0,1ab满足2ab，则
1
1
a
ba
的最小值为．
变式16：已知,abR且21ab，则
22
14
ab
的最小值是.
题型六：分离换元法求最值（了解）
题目1、求函数)1(
1
1072
x
x
xx
y的值域；
变式：求函数)1(
1
82
x
x
x
y的值域；
题目2、求函数
52
2
x
x
y的最大值；
变式：求函数
94
1
x
x
y的最大值；
题型七：基本不等式的综合应用
题目1、已知1loglog
22
ba，求ba93的最小值
9
题目2、已知0,ba，求
ab
ba
2
11
的最小值；
变式1：（2010四川）如果0ba，求关于ba,的表达式
)(
11
2
baaab
a
的最小值；
变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0aa时，函数
1)1(logxy
a
的图像恒过定点A，若点
A在直线0nymx上，求nm24的最小值；
变式3：【2017天津】若
,,0abRab
，则
4441ab
ab
的最小值为
题目3、已知0,yx，822xyyx，求yx2最小值；
变式1：已知0,ba，满足3baab，求ab范围；
10
变式2：已知0,yx，
3
1
2
1
2
1
yx
，求xy最大值；（提示：通分或三角换元）
变式3：已知0,yx，122xyyx，求xy最大值；
题目4、（2013年山东（理））设正实数zyx,,满足04322zyxyx,则当
z
xy
取得最大值时,
zyx
212
的最大值为（）（）
A．0B．1C．
4
9
D．3
变式：设zyx,,是正数，满足032zyx，求
xz
y2
的最小值；
题型八：利用基本不等式求参数范围
题目1、已知0,yx，且9)
1
)((
y
a
x
yx恒成立，求正实数a的最小值；
11
2、已知0zyx且
zx
n
zyyx
11
恒成立，如果Nn，求n的最大值；（参考：4）
变式：已知0,ba满则2
41
ba
，若cba恒成立，求c的取值范围；
题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
),,,,(时等号成立；即当且仅当bcad
d
b
c
a
Rdcba若,,,abcdR，则
222()()()abcdacbd
2、二维形式的柯西不等式的变式
bdacdcba2222)1(
),,,,(时等号成立；即当且仅当bcad
d
b
c
a
Rdcba
bdacdcba2222)2(
),,,,(时等号成立；即当且仅当bcad
d
b
c
a
Rdcba
2)())()(3(bdacdcba
12
),0,,,(时等号成立；即当且仅当bcad
d
b
c
a
dcba
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当
kak
4、三维柯西不等式
若
123123
,,,,,aaabbbR，则有：
2222222
33
()()()aaabbbababab
),,(
3
3
2
2
1
1时等号成立当且仅当
b
a
b
a
b
a
Rba
ii
5、一般n维柯西不等式
设
1212
,,,,,,
nn
aaabb与b是两组实数，则有:
222
12
(
n
aaa)222
12
)
n
bbb(2
1122
()
nn
ababab
),,(
2
2
1
1时等号成立当且仅当
n
n
iib
a
b
a
b
a
Rba
【题型归纳】
题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
题目1、设,,xyzR，若2224xyz，则zyx22的最小值为时，),,(zyx
析：]2)2(1)[()22(2222222zyxzyx
3694
∴zyx22最小值为6
此时
3
2
2)2(1
6
221222
zyx
∴
3
2
x，
3
4
y，
3
4
z
题目2、设,,xyzR，226xyz，求222xyz的最小值
m
，并求此时,,xyz之值。
Ans：)
3
4
,
3
2
,
3
4
(),,(;4zyxm
13
题目3、设,,xyzR，332zyx，求222)1(zyx之最小值为，此时y
（析：0)1(32332zyxzyx）
题目4、已知,,,236,abcabc则22249abc的最小值是(12:Ans)
题目5、设,,xyzR,且满足:2221xyz,2314xyz,求zyx的值；
题目6、求
coscossincos3sin2
的最大值与最小值。（Ans：最大值为22，最小值为
22）
析：令
a(2sin，
3
cos，cos)，
b(1，sin，cos)