垂直平分线的性质
父亲的日记-高高山上一条藤
2023年3月19日发(作者：财务中心)专题垂直平分线的性质
一．解答题（共12小题）
1．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E两点，
连接AE，若AE平分∠BAC，求∠C的度数．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于
点E．已知∠BAE＝10°，求∠C的度数．
4．如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，
NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．
（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；
（2）若∠BAC＝110°，求∠PAQ的度数．
5．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线ED、GF分别交AB、AC于点E、G，交BC于点D、
F，连接AD，AF，若∠DAF＝40°，求∠BAC的度数．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线DE交AC于D．CA＝16cm，BC＝8cm，求
DC的长度；
7．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．
（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
（2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若
∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．
9．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝
DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．
10．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，则△ADE周长是多少？为什么？
（2）若∠BAC＝128°，则∠DAE的度数是多少？为什么？
11．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC
于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
专题垂直平分线的性质
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵MN的垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
2．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝30°，
即∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
3．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠BEA＝80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC．
∵∠BEA＝∠C+∠EAC，
∴∠C＝40°．
4．（
【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∵△APQ的周长为18，
∴AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝18，
∴BC＝18；
（2）∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
∵PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠PAQ＝40°．
5．【解答】解：在△ADF中，∵∠DAF＝40°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣40°＝140°，
∵边AB、AC的垂直平分线ED、GF分别交AB、AC于点E、G，
∴AD＝BD，AF＝CF，
∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，
∴∠ADF＝∠BAD+∠B＝2∠B，∠AFD＝∠CAF+∠C＝2∠C，
∴2∠B+2∠C＝∠ADF+∠AFD＝140°，
∴∠B+∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°．
6．【解答】解：（1）∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设CD＝x，则AD＝BD＝（16﹣x）cm，
在Rt△BDC中，∵BD
2
＝CD
2+BC2
，
∴（16﹣x）
2
＝x
2+82
，
∴x＝6，
∴CD＝6cm．
7．
【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC，
∴DC＝BD，
CE＝EB，
又∵EC＝4，
∴BE＝4，
又∵△BDC的周长＝18，
∴BD+DC＝10，
∴BD＝5；
（2）∵∠ADM＝60°，
∴∠CDN＝60°，
又∵MN垂直平分BC，
∴∠DNC＝90°，
∴∠C＝30°，
又∵∠C＝∠DBC＝30°，
∠ABD＝20°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°．
8．【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，
∴∠A＝∠ABD，
又∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD，
设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD＝α，
又∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
即α+α+α＝90°，
解得α＝36°，
∴∠A＝36°．
9．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，
∴AB+BE+EC＝7cm，
即2DE+2EC＝7cm，
∴DE+EC＝DC＝3.5cm．
10．
【解答】解：（1）C
△ADE
＝10．（1分）
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE．（3分）
C△ADE
＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10．（4分）
（2）∠DAE＝76°．（5分）
∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE．
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE．
∵∠BAC＝128°，
∴∠B+∠C＝52°．（7分）
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）
＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝76°．（8分）
11．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；