瑕积分的计算
-
2023年3月19日发(作者：泰勒筛)学号:
反常积分的若干计算方法
学院名称:数学与信息科学学院
专业名称:数学与应用数学
年级班别:2009级应数二班
姓名:
指导教师:
2013年5月
本科毕业论文
反常积分的若干计算方法
摘要反常积分的应用非常广泛,反常积分包括两类:无穷积分和瑕积分.反常积分的
定义是计算反常积分的基础,定积分的计算方法一般也可以用到反常积分的计算中:如换元
积分法,分部积分法.文中还介绍了反常积分的其他计算方法:应用复变函数中留数定理的方
法可以较简便地计算一些类型的广义积分;还可以用二重积分理论,Lagrange中值定
理,Euler公式,函数的对称性,正态分布函数和
,B
函数以及概率论方面的知识来计算某
些特定类型和相对复杂的反常积分.反常积分的类型复杂多样,求解方法也灵活多变,在计
算反常积分时,合理的利用上述一种或几种方法,问题也就迎刃而解,并且解答过程简洁明
了.
关键词反常积分;计算方法;换元积分法;分部积分法.
Severalcalculationmethodsofimproperintegral
perpresentstheconceptof
erintegralincludestwokinds:
definitculation
methodsofthedefiniteintegralgeneralcanalsobeusedtoimproperintegralcalculation:suchas
integrationbysubstitution,gresiduetheory,wecanworkoutsome
peralsointroducestheothercalculationmethods:
doubleintegraltheory,thesymmetry,nusethesemethods,thecalculationof
improperintegralcanbeansweredandthesemethodsmakeanswerprocesssimple.
Keywordsimproperintegral;calculationmethod;integrationbysubstitution;integration
byparts.
前言
反常积分是数学分析的一个重要概念,实际应用中经常会遇到反常积分的计算题.大
家都比较熟悉定积分的计算方法:换元法,分部积分法等.反常积分的应用也较广泛,因此
有必要研究反常积分的计算方法.其实定积分的计算方法一般也可用到反常积分计算中:
如换元积分法,分部积分法.当然反常积分还有很多计算方法:如留数定理,二重积分理论,
,B
函数等.合理地使用这些方法,反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明
了.
近年来,国内许多专家对反常积分的计算方面进行了研究.朱水源2010年在《无穷积
分的敛散性的判别和计算》[1]一文中分析了无穷积分的敛散性,并给出了无穷积分的计算方
法.赵士银2012年在《用分部积分法计算反常积分》[2]一文中研究了用分部积分法计算反
常积分的相关问题.王碧桂2011年在《用参数展开法计算一类反常积分》[3]一文中从参数
展开出发,给出了用参数展开计算一类反常积分的方法.孙正杰2010年《一类反常积分的
另解及推广》[4]一文中给出了用欧拉公式计算一类反常积分的方法.杨继明2008在《一类
反常积分的计算问题》[5]一文中针对反常积分中比较复杂的计算问题,结合复变函数的相关
知识,提出来一种用留数定理计算反常积分的方法.该算法有效地解决了一类复杂反常积
分计算问题.
本文给出的计算方法并没有超出课程教学大纲,只是从不同知识点、不同角度去理解
问题,通过分析研究,结合所学内容,巧妙地解决了问题.有的方法采用函数论中
,B
的函
数[6]的性质,有的方法利用了概率论与数理统计中的标准正态分布的性质[7],有的方法利用
了数学分析中不同章节的内容.
1反常积分的定义和性质
1.1无穷积分的定义和性质
定义1设函数f定义在无穷区间[,)a上,且在任何有限区间[,]au上可积.如果存在
极限
u
lim
()u
a
fxdx=J（1-1）
则称此极限J为函数f在[,)a上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作
J
()
a
fxdx（1-2）
并称()
a
fxdx收敛.如果极限(1-1)不存在,为方便起见,亦称()
a
fxdx发散.
定理1.1无穷积分()
a
fxdx收敛的充要条件是:任给
12
0,a,,,GuG存在只要u
便有
212
1
()()()uuu
aau
fxdxfxdxfxdx.
性质1若
12
()()
aa
fxdxfxdx与都收敛,
12
,kk为任意常数,则
1122
[()()]
a
kfxkfxdx也收敛,且
1122
[()()]
a
kfxkfxdx1122
()()
aa
kfxdxkfxdx.（1-3）
性质2若f在任何有限区间,au上可积,
ab
,则
12
()()
aa
fxdxfxdx与同敛散,且有
()()()b
aab
fxdxfxdxfxdx.（1-4）
性质3若f在任何有限区间,au上可积,且有()
a
fxdx收敛,则()
a
fxdx亦必收敛,
并有
()()
aa
fxdxfxdx.（1-5）
1.2瑕积分的定义与性质
定义2设函数f定义在区间
(,]ab
上,在点a的任一右领域内无界,但在任何内闭区间
,(,]ubab上有界且可积.如果存在极限
lim()b
u
ua
fxdxJ
,（1-6）
则称此极限为无界函数f在
(,]ab
上的反常积分,记作
J()b
a
fxdx,（1-7）
并称反常积分()
b
a
fxdx收敛.如果极限（1-6）不存在,这时也说反常积分()
b
a
fxdx发散.
在定义2中,被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点,而无界函数反常积分
()b
a
fxdx又称为瑕积分.
定理1.2瑕积分()
a
fxdx收敛的充要条件是:任给
12
0,0,,(,),uaa存在只要u
便有
2
211
()()()abu
uuu
fxdxfxdxfxdx.
性质4若
12
()()bb
aa
fxdxfxdx与都收敛,
12
,kk为任意常数,则
1122
[()()]b
a
kfxkfxdx也收敛,且
11221122
[()()]()()bbb
aaa
kfxkfxdxkfxdxkfxdx.（1-8）
性质5如果a与b均为f(x)的瑕点,对积分()
b
a
fxdx如存在
(,)cab
,使
()()cb
ac
fxdxfxdx与均收敛,则称()
b
a
fxdx收敛,且
()()()bcb
aac
fxdxfxdxfxdx.（1-9）
与无穷区间上的广义积分一样,读者可以证明,瑕积分()
b
a
fxdx的收敛性及值与c的取法无
关．
性质6若()
b
a
fxdx收敛,则()
b
a
fxdx亦必收敛,并有
()()bb
aa
fxdxfxdx.（1-10）
2反常积分的计算方法
2.1利用定义计算反常积分
对反常积分
a
()fxdx,若对任意的0,lim()
A
a
A
Afxdx
存在,称反常积分()
a
fxdx
收敛且称上述极限值为反常积分的值,即()=lim()
A
aa
A
fxdxfxdx
.
故可看出,反常积分由定义计算可分两步:
第一步求定积分:()=F(A)
A
a
fxdx;
第二步取极限:lim()lim()
A
a
AA
fxdxFA
.
例1计算反常积分
2
1
(1)
dx
xx
.
分析用反常积分的定义来解题,分两步来计算:
解第一步:
22
1111
()lnln2
(1)1
AAA
dxdx
xxxxA
;
第二步:
1
lim[lnln2]ln2
A
A
A
.
所以
2
1
(1)
dx
xx
=ln2.
计算较简单的反常积分时,先考虑用反常积分的定义求解.
2.2利用换元积分法计算反常积分
由于反常积分是通过变限定积分的极限来定义的,有关定积分的换元法也可引用到反
常积分中,换元积分法是定积分计算的最基本方法之一,在反常积分中也是如此.下面通
过具体的例题介绍.
例2计算瑕积分
1
2
01
x
dx
x
的值.
分析分母是21x,如果分子也出现21x,就能用
1
n
1
nx
xdxC
n
计算,那就需
要先把x变为2
1
d1
2
x
,再进行计算.
解
1
2
01
x
dx
x
1
1
2
22
0
1
1d1
2
xx
1
2
22
0
1
1
lim1d1
2
u
u
xx
.
21,xt令则
2
1
1-u
2
2
1
11
11
limdt=lim211
22uu
tu
上式1.
注意本题用的是第一换元积分法gxdxGxdx+c（c为常数）.
关键在于把被积表达式fxdx凑成Gxdx的形式,以便选取ux,化为易于
积分的gudu,最后把新引入的变量还原为起始变量.
2.3利用分部积分法计算反常积分
分部积分法与换元积分法一样,也是计算反常积分最基本的方法.分部积分公
式:uxdvxuxvxvxdux.用这种方法计算反常积分关键要合理选择
uxvx,才能简便地进行计算.
例3计算
0
xnexdx
（n是非负整数）.
解分为
0n
和
1n
两种情况讨论.
0n
时,
0
0
1xIedx
;
1n
时,用分部积分法计算.
0
00
|xnxnxn
n
Iexdxexnexdx
1
0
xnnexdx
1n
nI
,
12
1!
nnn
InInnIn
.
例4计算
1
0
lnxdx.
分析本题用分部积分法做很简单.
[解法一]111
1
0
000
lnln|1xdxxxdxdx.
注意
0
limln0
x
xx
,当然这个题还可用换元积分法.
结合上题结论做.
[解法二]令
lnxt
,则lntxdxtedt,11
1
0
ln1txdxtedtI
（利用例2.3的结
论!
n
In）.
注意本题可用分部和换元积分法两种方法计算,第一种简便,做题过程中用一种方法
做完后要想想还有无其他方法,还要比较哪种简便,这样就可以事半功倍.
2.4利用留数定理计算反常积分
用数学分析中计算反常积分的方法计算一些反常积分如2
00
sin
sin,
x
xdxdx
x
,是麻
烦的,而且没有统一处理的方法,但是利用留数定理来计算,往往就比较简单.
定义3设函数fz以有限点a为孤立奇点,即fz在点a的某去心邻域
0zaR内解析,则称积分
1
2
fzdz
i
:,0zaR
为fz在点a的留数,
记为Re
za
sfz
.
定理2.1fz在周线或复周线c所范围的区域D内,除
12
,,
n
aaa外解析,在闭域
DDC
上除
12
,,
n
aaa外连续,则（“大范围”积分）
1
2Re
n
za
k
c
fzdzisfz
.（2-1）
应用留数基本定理计算某些类型实函数的积分,大致思想是:为了求实函数fx在实
数轴上或实数轴上的某一段L上的积分,我们在坐标平面上适当添加某一曲线使其与L构
成一简单闭曲线
C
.其内部为D,选取适当函数fz,然后在
D
上对fz应用留数定理,
这样就把实轴上fx的积分转化为计算fz在D内奇点的留数与那部分添加曲线上的积
分,将问题大大简化了.下面通过举例来介绍如何用留数定理计算某些类型的反常积分值.
例5计算
Px
dx
Qx
型积分.
解设
Pz
fz
Qz
有理分式,其中
1
010
0mm
m
Pzczczcc与1
010
0nn
n
Qzbzbzbb
为互质多项式,且符合条件:（1）2nm;（2）在实轴上0Qz,
则有
Im0
2Re
k
k
za
a
fxdxisfz
.（2-2）
注意（1）有理分式中分母比分子的次数至少高两次,（2）fz在实轴上没有奇点,
（3）
k
Za为fz在上半平面内的极点.
例6计算反常积分
2
2222
0
0,0
x
dxab
xaxb
.
分析被积函数
2
2222
x
xaxb
是偶函数,已有
2
2222
0
x
dx
xaxb
=
2
2222
1
2
x
dx
xaxb
,
2
2222
x
dx
xaxb
符合定理2.1的条件,可运用定理2.1计算.
解
2
2222
z
fz
zazb
有四个一阶极点:,aibi,在上半平面内有两个极
点:ai,
bi
.zzaifz令：,
22
Re
2zai
a
sfzai
iab
,同理:
22
Re
2zbi
b
sfzai
iba
,
2
2222
x
dx
xaxb
=2ReRe
zaizbi
isfzsfz
=2222
2
22
ba
i
ibaiab
=
ab
.
被积函数是偶函数,故:
2
2222
0
x
dx
xaxb
=
1
2
2
2222
x
dx
xaxb
=
2ab
.
例7计算
imx
Px
edx
Qx
型积分.
解设
Pz
gz
Qz
其中Pz及Qz是互质多项式,且符合条件:
(1)Qz的次数比Pz的次数高,
(2)在实轴上Qz0,
(3)0m,
则有
Im0
2Re
k
k
imximz
za
a
gxedxisgze
,（2-3）
特别是将（2-3）分开实虚部,就可以得到形如
cos
Px
mxdx
Qx
及
sin
Px
mxdx
Qx
的积分.
由数学分析的结论知可知,上面两个反常积分都存在,其值就等于柯西主值.
注意（1）分母比分子的次数至少高一次,(2)fz在实轴上无奇点,（3）
k
Za为fz
在上半平面内的极点.
例8计算反常积分
22
0
cos
0
x
dxa
xa
.
分析被积函数是偶函数2222
0
cos1cos
2
xx
dxdx
xaxa
,
2
22
x
dx
xa
满足上述的
条件.
解被积函数是偶函数,故:2222
0
cos1cos
2
xx
dxdx
xaxa
,
2222
2Re
i
ixiz
za
ee
dxis
xaza
=2i
2
ae
ai
=
ae
a
22
0
cosx
dx
xa
=
ae
a
.
注意掌握简单留数的求法,熟悉定理2.1的内容,能简便地计算一些反常积分.
2.5利用二重积分理论计算反常积分
利用二重积分计算反常积分时,应分两步:第一步:把反常积分巧妙地化为一个二重积
分;第二步:计算二重积分,从而计算出反常积分的值.
例9计算反常积分2
0
xedx
.
分析直接计算反常积分2
0
xedx
很困难,先把它化为一个二重积分,再计算二重积
分,从而计算出反常积分的的值.
解22
00
xyedxedy
,
222
2
000
xyxedxedyedx
,
而:22
00
yxedyedx
=
22exy
D
dxdy,其中=0+0+D，，,
故:2
2
0
xedx
=
22exy
D
dxdy.
下面用换元法计算二重积分:cos,sinxryr令,
上式=22
2-r-r
-r
2
22
0000
1
er
24
D
drdderdrdedr
,
2
02
xedx
.
注意本题是典型的一道利用二重积分理论计算反常积分的题,先把反常积分巧妙地
化为一个二重积分再利用换元法计算二重积分,从而计算出反常积分的的值.
2.6利用函数的对称性计算反常积分
定理2.2奇函数fx在区间,上连续,且对任意取定的实数c,反常积分
c
fxdx和cfxdx
都收敛,则反常积分0fxdx
.
定理2.3偶函数fx在区间,上连续,反常积分
0
fxdx和0fxdx
都
收敛,则:
0
0
1
2
fxdxfxdxfxdx
.（2-4）
例10计算反常积分
1
2
11
x
dx
x
.
分析被积函数是个奇函数,满足定理2.2的条件,运用定理2.2可以计算.
解
21
x
fx
x
为奇函数,且满足定理2.2的条件要求,
1
2
1
0
1
x
dx
x
.
合理地使用这种方法,这类反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了.
2.7利用函数计算反常积分
2.7.1利用
,B
函数计算反常积分
利用
,B
函数也是一种重要的计算反常积分的方法,先介绍
,B
函数:
1
0
s,(0)sxxedxs
函数:;
1
1
1
0
,1,0,0
q
ppqxxdxpq
B函数:B.
注意利用公式计算,首先要熟悉公式,记忆公式,其次在解题中要掌握如何运用公式.
例11计算反常积分22xxedx
.
分析被积函数2xe
2x是个偶函数,2222
0
2xxxedxxedx
,但是22
0
xxedx
并不
符合
函数形式,那就需要变形,看能否化成
函数的形式.
解被积函数2xe
2x是个偶函数,
2222
0
2xxxedxxedx
=22
0
xxedx
,
令2tx,则:上式=
1
2
0
311
2222
ttedt
,
22
2
xxedx
.
注意如果被积函数符合
,B
函数形式,那就直接运用公式;如果形式相近,但又不符
合
,B
函数形式,那就需要变形,看变形后能否运用
,B
函数,关键是变形.
2.7.2利用标准正态分布的分布函数来计算反常积分
标准正态分布的分布函数为2
2
1
2
t
xxedt
.根据概率论与数理统计
2
2
1
1.
2
t
edt
又函数
2
2
t
e
是实数域上的偶函数,从而有
2
2
0
2
.
2
t
edt
再作变量替换,令,2
2
t
udtdu于是,
2
0
2
2
2
uedt
,
进而有:
2
0
.
2
tedt
合理地使用这种方法,这类反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了.
2.8利用重要极限来计算反常积分
因为
1
lim1,
n
n
e
n
所以2
2
lim1
n
x
n
x
e
n
.从而,
2
22
000
lim1lim1
nn
x
nn
xx
edxdxdx
nn
.
令
x
t
n
,得
2
00
2
lim1limlim
1
n
n
n
nnn
xdt
dxnnI
n
t
.
其中0
21n
n
dt
I
t
.运用分部积分法[6],得
2
10
11
00
222
|21
111n
nnn
dtttdt
In
ttt
1
2121
nn
nInI
.
于是根据递推关系,
1
2
0
23!!
23232531
2222244222!!2
1nn
n
nnndt
II
nnnn
t
.
根据瓦里斯公式(Wallis公式,1655年)可知
2
2
22!!
lim
2
2123!!n
n
nn
.
进而有
2
0
23!!
lim
22!!2
x
n
n
edxn
n
23!!
lim21
22!!2
21n
n
n
n
n
n
=
21
22
2
.
合理地使用这种方法,这类反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了.
2.9利用Lagrange中值定理来计算反常积分
定理2.4若
(),()fxgx
满足:
(i)
(),()fxgx
在
],[ba
上连续;
(ii)
(),()fxgx
在
),(ba
内可导;
(iii)'()gx在
),(ba
内恒不为0;
(iv)()()gagb;
则在),(ba内至少存在一点,使得
'
'
()()()
()()()
ffbfa
ggbga
.
设函数
2
2
0
,t
xftedxgt
221
1
2
01
xte
dx
x
,
易知,当t时,0gt,而ft的极限就是所求.并且
22'
0
2.t
txfteedx
当
0,01tx
时,
221
1
'
0
2xtgttedx,
通过变量替换sxt,有
2222'
00
tstxgteedseedx
于是,''0ftgt.根据定理2.4,当时0t,
ftgt常数.
取
0t
,易得f1
2
0
1
00,0.00
144
gdxfg
x
.即
22
2
1
2
1
2
0014
xt
t
x
e
edxdx
x
.
在这个恒等式两边取极限,便得到
2
2
04
xedx
.
再由2xe的非负性并利用定积分的保号性质,就能得到
2
02
tedt
.
合理地使用这种方法,这类反常积分的计算也就迎刃而解了,并且解答过程简洁明了.
2.10利用Euler公式计算反常积分
引理2.1当n为偶数时,有
sin
2cos21cos23cos
sin
nx
kxkxx
x
.
当n为奇数时,有
sin
2coscos21cos21
sin
nx
kxkxx
x
.
引理2.2
sin1sinsin
2coscos2cos
sin
nxnxx
xxnx
x
.
结论1当n为偶数时,
0
sin
sin
nx
dx
x
=0;
当n为奇数时,
0
sin
sin
nx
dx
x
=.
结论2
2
0
sin
sin
nx
dxn
x
.
结论3当
4,42nii
时,
3
0
sin
sin
nx
dx
x
=0;
当
41ni
时,
3
0
sin
sin
nx
dx
x
=21261ii;
当
43ni
时,
3
0
sin
sin
nx
dx
x
=212181ii.
2.11利用概率论的知识计算反常积分
定义4EYEgx
=()()gxfxdx
.
定理2.4ECC.
定理2.5ECXCEX.
定理2.6EXYEXEY.
例12计算2
2
012
xbxcxxedx
的反常积分
012
,,,,bc为任意实数.
解因为2
2
2
24
bb
xbxcxc
,所以
2
2
012
xbxcxxedx
2
2
24
2
012
bb
xc
xxedx
2
2
4
2
2
012
b
b
c
x
xxeedx
2
2
2
2
1
2
4
2
2
012
b
x
b
c
exxedx
2
2
2
2
1
2
4
2
2
012
1
d
1
2
2
b
x
b
c
exxex
.(2-5)
设连续性随机变量2
b1
:,
2
2
XN
,则它的概率密度为
2
2
2
1
2
2
1
,
1
2
2
b
x
fxex
.
所以（2-5）式可以写为:
2
4
2
012
b
c
exxfxdx
[9].(2-6)
设连续性随机变量Y为X的函数,且2
012
YgXXX,由定义4及定理2.4---2.6
得
2
4
2
012
b
c
exxfxdx
2
4
b
c
egXfXdX
2
4
b
c
eEgX
2
4
2
012
b
c
eExx
2
4
2
012
b
c
eEExEx
.
因为2
b1
:,,
2
2
XN
所以
1
,
22
b
EXDx
,又由2
2DxExEx
,得
22
2
2
12
244
bb
ExDxEx
.
所以(2-6)式变为
2
2
4
1
02
2
42
b
cb
b
e
.（2-7）
即
2
2
012
xbxcxxedx
2
2
4
1
02
2
42
b
cb
b
e
2
2
4
0102
222
4
b
cbb
e
.（2-8）
以上我们利用连续性随机变量的正态分布特点,将一内反常积分的计算转化为计算一
个随机变量函数的数学期望,经过严格推导得到了这内反常积分的计算公式（2-8）,使
得计算该类积分的难题得以解决.
2.12利用Laplace变换求反常积分
设ft当
0t
时有定义而且积分
0
stftedt
（s是一个复参量）在s的某一域内收
敛,则由此积分所确定的函数可以写为
0
stFsftedt
,称Fs为ft的
Laplace
变
换,记为FsLft
,Fs称为ft的象函数,ft称为Fs象原函数.
例13计算
0
()ntftdt的积分.
解（1）当
1n
时,
00
()
,
ft
dtFsds
t
其中()FsLft.
由象函数的积分性质:
0
()ft
LFsds
t
,
00
()
st
ft
edtFsds
t
,
取
0s
即可.
（2）n为非负整数时,有
0
0
()1limn
n
n
s
tftdtFs
.
由象函数的微分性质:
(),n
nLtftFs
()1nn
nLtftFs
.
由积分性质:
0
1
()1t
nn
nLtftdtFs
s
.
因Fs是s平面右半部的解析函数,具有任意阶导数,故
nFs亦在s右半面解析,从而
1
nFs
s
在s右半面解析,依终值定理:
00
()lim()t
n
n
t
tftdttftdt
0
1limn
n
s
Fs
.
由于反常积分的计算方法灵活多样,除了归纳总结出的下述12种方法外,还有很多计算
反常积分的方法,需要进一步去探索,归纳总结.因此在计算反常积分时,首先要熟悉各种计
算方法的原理及相应知识点.其次,要有良好的分析方法与解题习惯,学会分析思考,也要学
会积累归纳总结某一类型题的解法,从而提高解题能力和速度.
结束语
计算较简单的反常积分时,先考虑用反常积分的定义求解;由于无穷积分是通过变限
定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和分部积分法一般都可引用到无穷
积分中来;应用复变函数中留数定理的方法可以较简便地计算一些类型的广义积分;还可
用二重积分理论,函数的对称性,正态分布函数与
,
函数计算反常积分,有时计算一个反
常积分要同时用到几种方法,我们要找到最佳方法.本文主要通过理论与举例相结合的方
式对反常积分的求解问题进行了研究.反常积分的类型复杂多样,求解方法灵活多变,我
们这里总结出来的求解的方法不一定全面．所以,要想解决教学和科研上遇到的反常积分
的求解问题,必须不断地进行探索,因此本文仅起到抛砖引玉的作用.随着科学的发展,以
及人们不竭的求知精神,后继者必将探索出更多更好的解法.
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[15]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2009.
致谢
在论文的准备和写作过程中,笔者得到了xxx老师的悉心指导和热情帮助．她平日里
工作繁多,但在我做毕业论文的每个阶段,从查阅资料到设计草案的确定和修改,中期检查,
后期详细修改等整个过程中都给予了我悉心的指导．除了敬佩xxx老师的专业水平外,她的
治学严谨和科学研究的精神也将是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工
作．其次要感谢和我一起作毕业论文的同班同学．然后还要感谢大学四年来所有的老师,
为我们打下扎实的专业基础知识,正是因为有了你们的支持和鼓励,此次毕业论文才会顺利
完成．最后感谢xxx大学四年来对我的大力栽培．
xxx
2013年04月于xxx大学