对勾函数的图像和性质
真空磁悬浮列车-人参芦
2023年3月18日发(作者：行波管)对勾函数
对勾函数：图像，性质，单调性
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=a
x+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。
一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就
是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x
<0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}
和{x|0 减增，是两个勾。 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函 数得来的。我们都知道，(a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab， 两边同时加上2ab，整理得到(a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公 式：a+b≥2sqrt(ab)。现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)＝2sqr t(ab)， 这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a)，对应的f(x)= 2sqrt(ab)。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥sqrt(ab)，前式 大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的 是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数 绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很 简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分母的 时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx-1，求导方法一样，求的的 导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a)，如果需 要的话算出f(x)就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。 不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。 上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半 轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则）， 就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要 多练，争取做到特别熟练的地步。 对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不是双曲线还众说不一。 10 8 6 4 2 2 4 6 8 2 3 2 1 1 224 f 1 x()=x 3 4() tx()=x 4 5() hx()=x 3 5 4 3 2 1 1 2 3 224 q 1 x()=x 2 3 h 1 x()=x 3 4 g 1 x()=x 3 5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 21123 qx()=x 4 3 hx()=x 4 7 gx()=x 3 5 5 4 3 2 1 1 2 3 4 42246 gx()=x fx()=x0