曲率计算公式
非公开发行-饱和温度
2023年3月18日发(作者：教师角色)第二章曲面论
高斯曲率的计算公式高
斯曲率绝妙定理
LN-M
EG-F2
（匚山，5）
•EG-F2
N=nrw
所以
（ru,「v,
「vv）
EG-F2
LN-M
EG-F2
M二n
rUv
（ru,rv,r
Uv）
EG-F2，
注意
利用行列式的转置性质和矩阵乘
法性质，得
2
(ru,rv,ruu)(「u,rv,rvv)-(ru,rv,ruv)
EFrr
1u1vv
EF
ru
r
1uv
FGrr
1v1vv
—FG
r
r
1uv
ruu%ruu^v
rr
■uu1vv
ruv'ruv'rruv
r
1uv
ru
■ruru■rvru
r
■vv
ru
■ruru■rvru
r
1uv
r■rurv
■rvrv
r
1vv
—rv
■rurvr
r
1uv
ruvruruvruvruvrvruururuurv
V1
1
rv
___
(「)-
rv
r
Luu/
r
(r
u
,r
v
,r
uv)
ruur
w
E
F
r
un
r
F
G
r
uu
r
v
r
rur
w
rhv
uu-u・uu-v・uuhv—「uvruv
E
F
ruvru・uv・v
F
G
r
uv
r
ruruv
rv^uv
0
（其中用到行列式按第三行展开计算
的性质。）
二（Fu-2E
v
）
v
-如u
二Fuv-
1E
「v「v
2E
v
由于
「uurvv一r
Uv「u厂（r
uu
r
w
r
u
r
Wu^亿
r
w
^r*r^）
或者
ruvruv
（「uu「v）v（「v「uv）u
利用
ruF,
可得「uruu
4Eu
4Gu
，
rvr
vv2Gv，
「
U
Fv
fGu
2
二（「u「vv）u-（「u「vu）v
二（Fv-2G
u
）
u-（lE
v
）
v
二Fvu2G
uu
于是得到
(1)
公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝
妙定理。
将上式中的行列式按第二列展
开，并化简，可得
1
2
K二4(EG_F2)2[E(EvGv-2几厲Q2)
F(EuGv-EvGu-2EvFv4FulV2FuGu)G(EG
2EuFvEv2)
-2(EG-F2)(E『2FuvGQ,(2)
高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率
可以只用第一类基本量及其导数表示，从而
K事实上是曲面的一个内蕴不变量。
1一1
EFFv-—GuEF_Ev
22
FG
^GvFG-Gu
22
-EuFu—丄11
Fuv——Evv——Guu丄-Gu0
|222222
]「(EG^
高斯曲率用第一类基本量明确
的表达式由Brioschi公式(1)给出。
存在等距对应的两曲面，曲面上
对应点处的高斯曲率必相等。
球面片与平面片之间不存在等
距对应。
EFrr
1u1vv
EF
ru■ruv
FGrr
1v1vv
—FG
■ruv
ruuTuruuTv
uu
r
vv
r
uv
r
uv
ruv
叽
0
111
「122EF
r
112
r
222
—FG
r
212
11rr
0
Fuv-匚-Guu
112212
22
■111-211
K,EG-F2)2
[F
111
r
1122
EF
r
1112r
1222
—FG「2
F」E^-
：
Guu
r
■112
r
1212
0
22
F
G
211
O
特别地，当曲面
z:―r(u,v)
上的坐标曲线网是正交网时，
F=0,
此时
11
M(EvvGuu)2(EEvGvEuGuGEQGuEvGEv)],
2EG4(EG)
即得
11
KT応(Evv6一髙(EEvGvEuGuGEGuGuEvGEv)]
经过观察，通过凑微分，得到
111
-TEG[^2Evv）-聞GBu+Egv]
K「EG)12
11
0-GuE0Ev
2u2
G
2
G
v
—0
G2Gu
1Ev
1
E--G
Jvv—^uu丄轨0
22222
1
(EG)2
-[1
2EG
(EvvGuu)
1
4(EG)2
(EEvGvEGGEG
U
G
U
E
V
GE
V
)]
11111111产产)2Gu2EuG十E尹尹u
—?E
勺
_
JEG
[2J；GGUUGU
（2'JEG
）
U2、EGEvvEv（2、；
G）
vl
111
■ （2/EGGu ） u （^EGEv ） vl 1h/G）（辰） ….［（（） U）u（（） v）vl VEG:ExG' 故有 1（VG）h/E） ^■TEG^u （ CT） v ］，（4） （验算这个量的散度的动因，是在用测地曲率的 刘维尔公式，推导高斯-波涅公式时，出现求散度 的运算，导致两者的表达方式是一致的。） 1B（VG）B（辰） 如果曲面在参数坐标网(u,v)下的第一基本形 式为 222(u,v)[(du)(dv)], 则称此坐标网为等温参数网。 E=G=2,F=0， K-1 [( ^G)u) K「EG【(左九 …=[(」)u(」)v] 1 …R[(ln)uu(In)vv] 二—In ■2 ,2.：2 其中」亏卡是关于变量u,v的 Laplace算子. 、 v] 于是在曲面上取等温参数网(U,V) 时,=2(u,v)[dfu)d,(v)] 2 E二G二，其中二(u,v)0. 1 此时K…飞：In•。 的曲面高斯曲率 1 /2272 (uvc) 所以 29-2(vc-u)222(uvc) 29-2(uc-v) 例求第一基本形式为 =(du)2G(u,v)(dv)2的曲面上的高斯曲 率。 由(3)式，得 111一 222(uvc) )v] i(TG)u K 「EG [(1E) u ) u 例求第一基本形式为ds2 du2dv2 (u2v2c)2 ]=4c K…2GG uu存23…飞"G) uu。 半测地坐标网下， 高斯曲率的计算公式 在C2类曲面 匚：r=r(u,v) 上选一条测地线：为V--曲线: u=0；再取与：正交的测地线族为U--曲线，另 取这测地线族的正交轨线为V--曲线，则得一半 测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，曲面 的第一基本形式可以简化为 22 =(du)G(u,v)(dv)，其中G(u,v)满足条件 G(0,v)=1,Gu(0,v)=0 在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯 曲率有如下的计算公式 常高斯曲率的曲面 现在设曲面z的咼斯曲率是常数，即K =常数，则得微分方程宀G— 2 K、G=0。 u 根据初始条件： G(0,v)=1,Gu(0,v)=0，我 们可按以下不同情形求出这个微分方程 的解。 (1)正常数高斯曲率的曲面， K0 此时.0=A(v)cosVRU+B(v)sin/Ku。 根据初始条件，可得 A(v)=1,B(v)=0， 于是G=cosKu， K=-------- KJG 2G -u2 =(du)?cos2Ku(dv)2 o 实例：考虑球心在原点，半径为R的 球面。 取赤道为最初给定的测地线，则所 有经线是与赤道正交的测地线，所有纬 线是这测地线族的正交轨线，因此球面 上的经线和纬线构成半测地坐标网。 设球面上点的经度为v，纬度为u，则 球面的参数表示是 r二R(cosucosv,cosusinv,sinu)。 ru二R(sinucosv,-sinusinv,cosu)， rv =R(-cosusinv,cosucosv,0)， 」i2」i E=「u「u二R,F二「ur厂0, G=rvrv=R2cos2u vv5 =R2(du)2R2cos2u(dv)2 。 在球面上重新选择参数，命 u=Ru,▽二Rv 于是 因此得到 2 二(du)2 所以正常数高斯曲率的曲面的第一基 本形式与球面的相同。 正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率 的球面之间存在着保距变换。 (2)K=0，从而有G=1，因此 =(du)2(dv)2，所以零高斯曲率的曲面 的第一基本形式与平面的相同。 =(dU)2cos2觊)2, 高斯曲率 K=-1F丄(cosu)-丄 U(R)R2cos R cos2vKU(dv)2， (3)负常数高斯曲率的曲面， K0 此时E=A(v)ch「Kij+B(v)slV^Ku。 根据初始条件，可得 A(v)=1,B(v)=0， 于是lG=ch-Ku， =(du)?ch'p-Ku(dv)2。 由此可知，具有相同常数高斯曲率的 曲面都可适当选取参数，使曲面具有相同 的第一基本形式，因此可建立等距对应. 由上述定理知道，具有常数高斯曲率 的曲面(这种曲面称为常曲率曲面)可按 K>0;K=0;K<0分成三种类型•而属于 同一类型的曲面它们的内在几何是相同的 •平面作为高斯曲率为零的代表；球面作 为高斯曲率为正常数的代表.换句话说, 高斯曲率为零的曲面都可以与 平面建立等距对应，高斯曲率为正常数的 曲面都可以与球面建立等距对应• 那么自然会问什么曲面可以作 为高斯曲率为负常数的代表？ 1 设K=「孑,我们可以在旋转曲面 中找出这个代表• 设旋转曲面的待定母线为Oxz平 面中的曲线z=z(x).把它绕z轴旋转后形成 了旋转面 r二(x(t)cosjx(t)sinjz(t))，t=x； 代入旋转曲面的高斯曲率公式 [x(t)z(t)-x(t)z(t)]z(t) K222 x(t)[(x'(t))+(z'(t))] 得其高斯曲率为 z(x)z(X) x[1(z(x))2]2 为了使这个曲面的高斯曲率 所以待定函数“z(x)就必须满足下列 方程：z(x)z(x)1 x[1(z(x))]a' 将其改写成 取积分常数Gf 于是可解出 x2(z(x)x)2=a2， 由此得出z(x)=-3， x? dz=—dx x， 令x二asint， 2 则dz「叱acostdfaddt asintsint 11 =a(-sint)dt=a(sint)dt sintt2t 2tan一cos一 22 于是z=a(lntan-cost) 2 两边积分后得到1 1(z(x)) =-^2x2G a 因此，以母线 x=asint z=a(lntan-cost) I2 绕z-轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲 率正好等于负常数a 我们把母线（4.4）称为曳物线. 而把曳物线绕z-轴旋转后所得 的曲面称为伪球面. 由著名的高斯定理,曲面的高斯曲率K 被其第一基本形式完全确定.因此，若两 个曲面可建立等距对应则对应点的高斯曲 率必相等•但反之则不然. 【例一1】证明：曲面 S:（ucosv,usinv,v）,（正螺面） S：r厂(Uicosvi,5sinvjnuj,(旋转曲 面） 在点(u,v)与(ui,Vi)处的高斯曲率相等，但曲面 S与S不存在等距对应. 【证明】容易算出正螺面S与旋转曲面S 的第一基本形式分别为 ■-=(du)?(u21)(dv)2， 1222 厂(12)(duJ2u/gw)2 Ui 再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即 高斯方程) 肃噜u唱)V] 经过计算得出曲面S和S的高斯曲率分别 为 (u21)2， Ki (u；1)2 因此取对应点(u,v)>(Ui，Vi),便成立 K=Kio 但是曲面S与3不存在等距对应.我们用 反证法•若曲面S与Si之间存在等距对 应， 它的对应关系为忙:黑, 卜1=屮(u,v), 则对应点的高斯曲率必相等，所以 得出Ki(u,v)=K(u,v)， 即(u21)2=(Ui21)2， 或(U21)=_(ui21)； (1)右(u2")=(uj■1)则u2=uj或U=u。 因此对应关系为 这时S的第一基本形式 1222 厂(1p)(duj2u1 2(dw)2 u1 =(1W)(du)2u2Cudu‘-vdv)2 u =(12u^2)(du)22u2'「Jvdudvu2-j(dv)2, u1 因为是等距对应,故=1,比较得出 1+—+u吩=1, u *u知他=0, U?屮/=u?+1, 由其中第二式得出'-^0或-v=0,再由第一 式或第三式得出1 2=0或u u21=0，这显然不可能成立.因此这种情况不 可能• (2)右(u2-(u,21)，则U「U1 2--2。这 显然不可能成立• 因此曲面S与S之间不能存在等距 对应• 尽管在对应点具有相同高斯曲率的 曲面不能建立等距对应，但是对高斯曲率 为常数的曲面，若在对应点具有相同高斯 曲率是必可建立等距对应的. 定理4.1(Minding定理)具有 相同常数高斯曲率的曲面总可建立局部等 距对应. 证明设曲面S的高斯曲率K是 常数,。 在S上取任意点P和过P点的 任意测地线：， 把：作为V--曲线u=0；且从P点 起的弧长为v. 再取与：正交的测地线族为u--曲 线，另取这测地线族的正交轨线为V--曲 线，则得一半测地坐标网。对于这个半测 地坐标网而言， (注意，这时：u=0的曲线也是测 地线)。因此曲面的第一基本形式可以简 化为 =(du)?G(u,v)(dv)2， 根据假设V是：的弧长，所以 (dv)2=G(0,v)(dv)2, 于是 G(0,v)=1(4:1) 又因：是测地线，根据Liouville公式知 即成立 G(0,v)=0(4:2) 另一方面，将E=1代入高斯方程得 K…1出 VG£u2， E2 A/G"/~' 或〒KG=O， 其中G(u,v)满足条件 G(0,v)=1,Gu(0,v)=0 kgv |u=0 2PEu |u=0 这个微分方程的通解可按高斯曲率 K的符号分为三种情形： Liouville形式的高斯方程 4g2 其中g二EG-F2 在[ 2届(G uu“4(花严(EG uEu G) Ev (EG vB G v )u- EF G 1 ]