高一数学不等式

高一数学不等式

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可编辑

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3.不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,abcd，则acbd（若

,abcd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能

相乘：若0,0abcd，则acbd（若0,0abcd，则

ab

cd

）；

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；

4．若0ab，ab，则

11

ab

；若0ab，ab，则

11

ab

。如

（1）对于实数cba,,中，给出下列命题：

①22,bcacba则若；②babcac则若,22；

③22,0bababa则若；④

ba

ba

11

,0则若；

⑤

b

a

a

b

ba则若,0；⑥baba则若,0；

⑦

bc

b

ac

a

bac







则若,0；⑧

11

,ab

ab

若，则0,0ab。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是______

（答：137xy）；

（3）已知cba，且,0cba则

a

c

的取值范围是______

（答：

1

2,

2









）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

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2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；

3．分析法；

4．平方法；

5．分子（或分母）有理化；

6．利用函数的单调性；

7．寻找中间量或放缩法；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设0,10taa且，比较

2

1

loglog

2

1t

t

aa

和的大小

（答：当1a时，

11

loglog

22aa

t

t



（1t时取等号）；当01a时，

11

loglog

22aa

t

t



（1t时取等号））；

（2）设2a，

1

2

pa

a





，2422aaq，试比较qp,的大小

（答：pq）；

（3）比较1+3log

x

与)10(2log2xx

x

且的大小

（答：当01x或

4

3

x时，1+3log

x

＞2log2

x

；当

4

1

3

x时，1+3log

x

＜

2log2

x

；当

4

3

x时，1+3log

x

＝2log2

x

）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定

和最小”这17字方针。

（1）下列命题中正确的是

A、

1

yx

x

的最小值是2B、

2

2

3

2

x

y

x







的最小值是2

C、

4

23(0)yxx

x

的最大值是

243

D、

4

23(0)yxx

x

的最小值是

243

（答：C）；

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（2）若21xy，则24xy的最小值是______

（答：22）；

（3）正数,xy满足21xy，则

yx

11

的最小值为______

（答：322）；

4.常用不等式有：（1）

222

2211

abab

ab

ab







(根据目标不等式左右的运算结构

选用)；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；

（3）若0,0abm，则

bbm

aam







（糖水的浓度问题）。

如果正数

a

、b满足3baab，则ab的取值范围是_________

（答：9,）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）

后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：

2

1111111

1(1)(1)1nnnnnnnnn





111

11

121

kkkk

kkkkk





（1）已知cba，求证：222222cabcabaccbba；

(2)已知Rcba,,，求证：)(222222cbaabcaccbba；

（3）已知,,,abxyR，且

11

,xy

ab

，求证：

xy

xayb





；

(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lglglglglglg

222

abbcca

abc



；

（5）已知Rcba,,，求证：2222abbc22()caabcabc；

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(6)若*nN，求证：2(1)1(1)nn21nn；

(7)已知||||ab，求证：

||||||||

||||

abab

abab







；

（8）求证：

222

111

12

23n

。

六．一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的

形式，若0a,则

b

x

a

；若0a,则

b

x

a

；若0a,则当0b时，xR；当0b时，

x。如

已知关于

x

的不等式0)32()(baxba的解集为)

3

1

,(，则关于

x

的不等式

0)2()3(abxba的解集为_______

（答：{|3}xx）

七．一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0和0时的解集你会正确表示吗？

设0a,

12

,xx是方程20axbxc的两实根，且

12

xx，则其解集如下表：

20axbxc20axbxc20axbxc

20axbxc

0

1

{|xxx或

2

}xx

1

{|xxx或

2

}xx

12

{|}xxxx

12

{|}xxxx

0

{|}

2

b

xx

a

R



{|}

2

b

xx

a



0

R

R



如解关于

x

的不等式：

01)1(2xaax。

（答：当0a时，1x；当0a时，1x或

1

x

a

；当01a时，

1

1x

a

；当1a

时，x；当1a时，

1

1x

a

）

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八．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，

并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从

最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()fx

的符号变化规律，写出不等式的解集。

（1）解不等式2(1)(2)0xx。

（答：{|1xx或2}x）；

（2）不等式2(2)230xxx的解集是____

（答：{|3xx或1}x）；

（3）设函数()fx、()gx的定义域都是R，且()0fx的解集为{|12}xx，()0gx

的解集为，则不等式()()0fxgx的解集为______

（答：(,1)[2,)）；

（4）要使满足关于

x

的不等式0922axx（解集非空）的每一个

x

的值至少满足不

等式08603422xxxx和中的一个，则实数

a

的取值范围是______.

（答：

81

[7,)

8

）

九．不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

（1）解不等式

2

5

1

23

x

xx







（答：

(1,1)(2,3)）

（2）关于

x

的不等式0bax的解集为),1(，求关于

x

的不等式0

2







x

bax

的解集。

（答：),2()1,(）.

十．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|

2

1

|2|

4

3

2|xx

（答：xR）；

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（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；解不等式|||1|3xx

（答：(,1)(2,)）

（4）两边平方：

若不等式|32||2|xxa对xR恒成立，则实数

a

的取值范围为______。

（答：

4

{}

3

）

十一．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论

是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后

应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如

（1）若

2

log1

3a

，则

a

的取值范围是__________

（答：1a或

2

0

3

a）；

（2）解不等式

2

()

1

ax

xaR

ax





（答：0a时，{|x0}x；0a时，

1

{|xx

a

或0}x；0a时，

1

{|0}xx

a



或0}x）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解

集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于

x

的不等式

0bax的解集为)1,(，则不等式0

2







bax

x

的解集为__________（答：（－1,2））

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常

应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，

利用数形结合法）

（1).恒成立问题

若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

min

fxA

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若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

max

fxB

如（1）设实数,xy满足22(1)1xy，当0xyc时，c的取值范围是______

（答：21,







）；

（2）不等式

axx34

对一切实数

x

恒成立，求实数

a

的取值范围_____

（答：1a）；

（3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则

x

的取值范围

_____

（答：（

71

2



,

31

2



））；

（4）若不等式

n

a

n

n

1)1(

2)1(



对于任意正整数

n

恒成立，则实数

a

的取值范围

是_____

（答：

3

[2,)

2

）；

（5）若不等式22210xmxm对01x的所有实数

x

都成立，求

m

的取值范

围.

（答：

1

2

m）

（2).能成立问题

若在区间D上存在实数

x

使不等式Axf成立,则等价于在区间D上



max

fxA；

若在区间D上存在实数

x

使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的



min

fxB.如

已知不等式

axx34

在实数集

R

上的解集不是空集，求实数

a

的取值范围

____

（答：1a）

（3).恰成立问题

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若不等式Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式Axf的解集为D；

若不等式Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式Bxf的解集为D.

十三．对于方程02cbxax有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数

a

是否为0，

其次若0a，则一定有042acb。对于多项式方程、不等式、函数的最高

次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？

（1）222210axax对一切Rx恒成立，则

a

的取值范围是_______

（答：(1,2]）；

（2）关于

x

的方程()fxk有解的条件是什么？(答：kD，其中D为()fx的值域)，

特别地，若在[0,]

2



内有两个不等的实根满足等式

cos23sin21xxk

，则实数k的

范围是_______.

（答：[0,1)）

十四．一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)fxaxbxca在),(k上有两

根、在(,)mn上有两根、在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？

0

()0

()0

2

fm

fn

b

m

a

n























、()0fk）。根的分布理论成立（

0

()0

2

fk

b

k

a





















、

的前提是开区间，若在闭区间],[nm讨论方程0)(xf有实数解的情况，可先利用在开区

间),(nm上实根分布的情况，得出结果，再令

nx

和

mx

检查端点的情况．

如实系数方程220xaxb的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则

1

2





a

b

的

取值范围是_________

（答：（

4

1

，1））

十五．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc

y

(a>0)

Okx

1

x

2

x

可编辑

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的两个根即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数

2yaxbxc的图象与

x

轴的交点的横坐标。

（1）不等式

3

2

xax的解集是(4,)b，则

a

=__________

（答：

1

8

）；

（2）若关于

x

的不等式02cbxax的解集为),(),(nm，其中0nm，则

关于

x

的不等式02abxcx的解集为________

（答：),

1

()

1

,(

nm

）；

（3）不等式23210xbx对[1,2]x恒成立，则实数b的取值范围是_______

（答：）。

..