三点共线向量公式
-
2023年3月17日发(作者：cde药品审评中心)微信公众号：高中数学学习资料
第
1
页
平面向量中三点共线定理的应用
知识梳理
(
一
)
对平面内任意的两个向量babba
//),0(,的充要条件是：存在唯一
的实数,
使ba
由该定理可以得到平面内三点共线定理：
(
二
)
三点共线定理：在平面中
A
、
B
、
P
三点共线的充要条件是：对
于该平面内任意一点的
O,
存在唯一的一对实数
x,y
使得：
OPxOAyOB
且.OPxOAyOB
例题精讲
例1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD
所在平面内任意一点，则
OA
→
＋
OB
→
＋
OC
→
＋
OD
→
等于
()
A.
OM
→
B．2
OM
→
C．3
OM
→
D．4
OM
→
例
2
如图
,
在平行四边形
ABCD
中
,AC,BD
相交于点
O,E
为线段
AO
的
中点.若
BE
→
＝λBA
→
＋μBD
→
(λ,μ∈R),则λ＋μ＝．
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2
页
例3如图所示,在平行四边形ABCD中，
1
3
AEAB
,
1
4
AFAD
,CE与BF相交
于
G
点，记ABa
,
ADb
,
则AG
_______
例4在△ABC中，D是△ABC所在平面内一点,且
AD
→
＝
1
3
AB
→
＋
1
2
AC
→
,延
长AD交BC于点E,若
AE
→
＝λAB
→
＋μAC
→
,则λ－μ的值是．
练习
1．如图,在三角形ABC中,BE是边AC的中线,O是
BE边的中点,若
AB
→
＝a,
AC
→
＝b,则
AO
→
＝()
A.
1
2
a＋
1
2
bB.
1
2
a＋
1
3
bC.
1
4
a＋
1
2
bD.
1
2
a＋
1
4
b
2
．
(2019·
济南调研
)
在△
ABC
中
,
AN
→
＝
1
4
NC
→
,
若
P
是直线
BN
上的一点
,
且满足
AP
→
＝mAB
→
＋
2
5
AC
→
,则实数m的值为()
A．-4B．-1C．1D．4
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页
3．在△ABC中,
1
3
ANNC
,点P是BC上的一点,若
2
11
APmABAC
,则实数m的值为()
A．
9
11
B．
5
11
C．
3
11
D．
2
11
4．如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O
的直线分别交直线
AB,AC
于不同的两点
M,N,
若
AB
→
＝mAM
→
,
AC
→
＝nAN
→
,则m＋n的值为()
A．1B．2C．3D．4
5．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且
EC
→
＝2
AE
→
，
则向量
EM
→
＝()
A．
1
2
AC
→
＋
1
3
AB
→
B．
1
2
AC
→
＋
1
6
AB
→
C．
1
6
AC
→
＋
1
2
AB
→
D．
1
6
AC
→
＋
3
2
AB
→
6
．
(2019·
衡水中学调研
)
一直线
l
与平行四边形
ABCD
中的两边
AB
，
AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若
AB
→
＝2
AE
→
，
AD
→
＝
3
AF
→
，
AM
→
＝λAB
→
－μAC
→
(λ,μ∈R),则
5
2
μ－λ＝()
A
．－
1
2
B
．
1C.
3
2
D
．－
3
7．在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点,若
AC
→
＝λAE
→
＋
μAF
→
,
其中
λ,μ
∈
R,
则
λ
＋
μ
＝
________
．
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8．在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点,若
AC
→
＝λAE
→
＋μAF
→
,其中λ,μ∈R,则λ＋μ＝________．
9．(2019·中原名校联考)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N
在边
AC
上，且
AN
＝
2NC
，
AM
与
BN
相交于点
P
，则
AP
PM
＝
________
．
10．点G
是△
OAB
的重心,P、Q分别是边
OA
、
OB
上的动点,且P、
G
、Q三点共线．设
OAxOP
,
OByOQ
,证明：
yx
11
是定值；
11
．在三角形
ABC
中
,AM
﹕
AB=1
﹕
3,AN
﹕
AC=1
﹕
4,BN
与
CM相交于点P,且aAB
,bAC
,试用a
、b
表示
AP.
12．已知
P
是ABC的边BC上的任一点,且满足RyxACyABxAP.,,求
yx
41
的最小值
.
P
AB
C
M
N
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答案
例1答案：D解析：
OA
→
＋
OB
→
＋
OC
→
＋
OD
→
＝(
OA
→
＋
OC
→
)＋(
OB
→
＋
OD
→
)＝2
OM
→
＋2
OM
→
＝4
OM
→
例2解：因为E为线段AO的中点，
所以BE
→
＝
1
2
BA
→
＋
1
2
BO
→
＝
1
2
BA
→
＋
1
2
2
1
(BD
→
)=
1
2
BA
→
＋
1
4
BD
→
＝λBA
→
＋μBD
→
，
所以λ＋μ＝
1
2
＋
1
4
＝
3
4
.
例
3解：,,EGC三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对
实数x使得
(1)AGxAExAC
,
11
33
AEABa
,ACab
12
(1)()(1)(1)
33
x
AGxaxabaxb
…………………①
又,,FGB三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使
得
(1)AGABAF
11
44
AFADb
，，
1
(1)
4
AGab
……………………………②
由①②两式可得：
2
1
3
1
1
4
x
x
6
7
3
7
x
31
77
AGab
例4解：设
AE
→
＝xAD
→
，因为
AD
→
＝
1
3
AB
→
＋
1
2
AC
→
，
所以
AE
→
＝
x
3
AB
→
＋
x
2
AC
→
.
由于
E
，
B
，
C
三点共线，
所以
x
3
＋
x
2
＝1，解得x＝
6
5
.
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又
AE
→
＝λAB
→
＋μAC
→
.
所以λ＝
x
3
＝
2
5
，μ＝
x
2
＝
3
5
，因此λ－μ＝－
1
5
.
练习
1、答案：D解析：因为在三角形ABC中，BE是AC边上的中线，所以
AE
→
＝
1
2
AC
→
.
因为O是BE边的中点，
所以AO
→
＝
1
2
(AB
→
＋AE
→
)＝
1
2
AB
→
＋
1
4
AC
→
＝
1
2
a＋
1
4
b.
2
、答案：
B
解析：根据题意设
BP
→
＝
nBN
→
(n
∈
R)
，则
AP
→
＝
AB
→
＋
BP
→
＝
AB
→
＋
nBN
→
＝
AB
→
＋n(
AN
→
－
AB
→
)＝
AB
→
＋n
1
5
AC
→
－AB
→
＝(1－n)
AB
→
＋
n
5
AC
→
，
又AP
→
＝mAB
→
＋
2
5
AC
→
，
由平面向量基本定理得
1
－
n
＝
m
，
n
5
＝
2
5
，
解得
n＝2，
m＝－1.
3、答案：C解析：
,,BPN
三点共线，又
228
4
111111
APmABACmABANmABAN
8
1
11
m
3
11
m
4
、答案：
B
解析：因为
O
为
BC
的中点，
所以
AO
→
＝
1
2
(
AB
→
＋
AC
→
)
＝
1
2
(mAM
→
＋
nAN
→
)
＝
m
2
AM
→
＋
n
2
AN
→
，
因为M，O，N三点共线，所以
m
2
＋
n
2
＝1，所以m＋n＝2.
5
、答案：
C
解析：如图，
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因为
EC
→
＝
2AE
→
，
所以
EM
→
＝
EC
→
＋
CM
→
＝
2
3
AC
→
＋
1
2
CB
→
＝
2
3
AC
→
＋
1
2
(
AB
→
－
AC
→
)
＝
1
2
AB
→
＋
1
6
AC
→
.
6
、答案：
A
解析：
AM
→
＝
λAB
→
－
μAC
→
＝
λAB
→
－
μ(AB
→
＋
AD
→
)
＝
(λ
－
μ)AB
→
－
μAD
→
＝
2(λ
－μ)
AE
→
－3μAF
→
，
因此
E
，
M
，
F
三点共线．
所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，则2λ－5μ＝1.
因此
5
2
μ
－
λ
＝－
1
2
.
7、答案：
4
3
解析：选择
AB
→
，
AD
→
作为平面向量的一组基底，
则
AC
→
＝
AB
→
＋
AD
→
，
AE
→
＝
1
2
AB
→
＋
AD
→
，
AF
→
＝
AB
→
＋
1
2
AD
→
，
又
AC
→
＝
λAE
→
＋
μAF
→
＝
1
2
λ＋μ
AB
→
＋
λ＋
1
2
μ
AD
→
，
所以
1
2
λ＋μ＝1，
λ＋
1
2
μ＝1，
解得
λ＝
2
3
，
μ＝
2
3
，
所以λ＋μ＝
4
3
.
8、答案：
4
3
解析：选择
AB
→
，
AD
→
作为平面向量的一组基底，
则
AC
→
＝
AB
→
＋
AD
→
，
AE
→
＝
1
2
AB
→
＋
AD
→
，
AF
→
＝
AB
→
＋
1
2
AD
→
，
又
AC
→
＝
λAE
→
＋
μAF
→
＝
1
2
λ＋μ
AB
→
＋
λ＋
1
2
μ
AD
→
，
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所以
1
2
λ＋μ＝1，
λ＋
1
2
μ＝1，
解得
λ＝
2
3
，
μ＝
2
3
，
所以λ＋μ＝
4
3
.
9、答案：4解析：设
AB
→
＝a，
AC
→
＝b，
因为A、P、M三点共线，
所以存在唯一实数
λ
，使得
AP
→
＝
λAM
→
.
又知
M
为
BC
的中点，
所以
AP
→
＝
1
2
λ(a＋b)．
因为B、P、N三点共线，
所以存在唯一实数μ，使得
BP
→
＝μBN
→
，
又
AP
→
＝
AB
→
＋
BP
→
＝
AB
→
＋μBN
→
＝
AB
→
＋μ(
AN
→
－
AB
→
)＝
AB
→
＋
μ
2
3
AC
→
－
AB
→
＝
(1
－
μ)a
＋
2
3
μb
，
所以
1
2
λ(a＋b)＝(1－μ)a＋
2
3
μb，
所以
1
－
μ
＝
1
2
λ
，
2
3
μ＝
1
2
λ，
解得λ＝
4
5
，μ＝
3
5
.
所以
AP
→
＝
4
5
AM
→
，
PM
→
＝
1
5
AM
→
.
所以|
AP
→
|∶|
PM
→
|＝4∶1，即
AP
PM
＝4.
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10、证明：
因为G是OAB的重心，
分析：
211
()()
323
OGOAOBOAOB
1
OPxOAOAOP
x
1
OQyOBOBOQ
y
111111
()()
3333
OGOAOBOPOQOGOPOQ
xyxy
又,,PGQ三点共线，
11
1
33xy
11
3
xy
11
xy
为定值3
11、解：
,,NPB
三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对
实数x,y使得,1APxAByANxy
,
AN﹕AC=1﹕4,
bACAN
4
1
4
1
1
444
yyx
APxABACxabxab
……①
又
,,CPM
三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数,
使得
,1APAMAC
∵AM﹕AB=1﹕3∴aABAM
3
1
3
1
，，
1
33
APabab
……………………………②
由①②两式可得：
1
3
1
4
x
x
3
11
2
11
x
8
1,
11
xyy
32
1111
APab
12.点P落在ABC的边BC上B，P,C三点共线
APxAByAC
1xy 且x>0,y>0
14141444
()1()()145
yxyx
xy
xyxyxyxyxy
x>0,y>0
4
0,0
yx
xy
由基本不等式可知：
44
24
yxyx
xyxy
，取等号
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时
4yx
xy
224yx
2yx0,0xy2yx1xy
12
,
33
xy，符合
所以
yx
41
的最小值为
9