未来应用

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2023年3月17日发(作者：2014世界杯赛程)

线性代数的简单介绍

线性代数是高等代数的一大分支。线性代数是最古老的数学分支之一，是研

究数学的最基础的工具，但是线性代数理论的研究目前仍然十分活跃，许多新成

果不断涌现。线性代数已渗透到数学的众多分支和其它学科的许多分支，是应用

最广泛的数学分支之一。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性

运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行

列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意,而且写了成千篇关于这两个课题的文

章。向量的概念,从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合,然而它

以力或速度作为直接的物理意义,并且数学上用它能立刻写出物理上所说的

事情。向量用于梯度,散度,旋度就更有说服力。同样,行列式和矩阵如导数

一样（虽然dy/dx在数学上不过是一个符号,表示包括△y/△x的极限的长式

子,但导数本身是一个强有力的概念,能使我们直接而创造性地想象物理上发

生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它

的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数

学物理上高度有用的工具。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量

是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物

理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一

个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向

量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到

这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即

n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的

“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，

在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值（GNP）。

当所有国家的顺序排定之后，比如(中国,美国,英国,法国,德国,西

班牙,印度,澳大利亚)，可以使用向量(v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8)

显示这些国家某一年各自的GNP。这里，每个国家的GNP都在各自的位置

上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象

代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不

可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学

分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可

交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空

间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量

空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个

向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为

一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和

特征向量）也被认为是线性代数的一部分

高维问题研究是目前许多数学领域的热点，也是代数表示论和非交换代数/几何

的一个重要方向。由于高维代数表示型是野的，其表示分类是不可能的。有限复

杂度自入射代数是表示中高维问题研究的一类重要代数，我们发现它具有驯化代

数的一些特征。外代数及其上斜群代数不仅是有限复杂度自入射代数的典型例

子，也有着非常深刻的背景和应用，也是我们有限复杂度自入射代数的起点。我

们提出了循环维数向量概念，建立了外代数Koszul模的循环滤的方法，推广了

遗传代数表示的一些结果，并证明外代数的斜群代数以McKay箭图为其箭图。

本年度的主要突破是对McKay箭图的研究，我们将Cartan矩阵推广到高维，建

立了McKay箭图与半正定而次型的联系而推广了Euclid图的性质。刻画了一般

循环群和Abel群的McKay箭图。。

我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题

——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实

践中与非线性问题的差异是很重要的。

线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述

它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主

要的应用之一。

主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解

法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。

①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因

而它在各种代数分支中占居首要地位；

②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码

学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。

③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象

出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人

们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；

④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一

步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，

而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解

决这些问题的有力工具。

线性代数的发展史

讲到线性代数的发展史必须提及代数的发展史

一、代数学的形成和发展历史

从代数学的发展历史看，大体上分为三个时期。而在这三个时期中，人们将

三个很不相同的东西都理解为代数学，也就是说这三个时期中说的代数学有很大

差异。因此也就很难给“什么是代数学”下一个统一的定义。下面我们从三个不

同时期的内容来了解代数学，了解代数学的形成和发展历史。

1.第一个时期

这一时期大约从古代一直到十七世纪的样子。在九世纪时，中亚地区(约783

－850)，他在公元820年写了一本书，其阿拉伯书名为“ilmal-Jabrwal

Mugabalah”。al-Jabr意为“整理”－－即把负项移到方程另一边变成正项；

Mugabalah意为“对消”或“化简”－－即指方程两边也可消去相同项或合并

同类项。因此，该书若直译应为“整理与对消的科学”。在12世纪该书译成拉

丁文时书名为《Ludusalgebraeetalmugrabaeque》.后来简称为Algebra。

这样，Algebra作为代数学的名称，从那时起在欧洲一些国家使用。在我国，最

早把Algebra音译为“阿尔热巴拉”，到1859年清数学家李善兰棣么根

(an)的书《ElementsofAlgebra》才正式把Algebra定名为“代数学”，

一直沿用至今。花拉子米的《代数学》内容由三部分组成：①讲述现代意义下的

初等代数，其中有特殊的数学方程及解法，代数式的运算等；②讨论各种实用算

术问题；③列举大量有关继承遗产的应用问题。《代数学》传入欧洲后，对欧洲

数学的代数产生了重大影响。

应该指出，公元一世纪编著而在公元263年又被我国数学家刘微的注译《九

章算术》中就已经有一元二次方程，到七世纪，中国已能解三次、四次方程的正

根，十一世纪能求数学系数高次方程的近似根，即秦九鞘方法。中国在代数学上

的辉煌成就，可以说是当时世界上最先进的代数学。

在古代，为了解决某些数学问题而找到的定理和法则都是用语言把它写下，因为

那时字母表示法还没有发明，后来渐渐意识到字母表示数的重大意义，即不仅用

字母表示未知数，也用字母表示已知数和给定量。这样一来，就使得代数学中一

个定理和法则描述和表达极其明确和简洁，这对于代数学的发展产生重大影响，

是数学史上一个划时代的伟大事件。从此开始，人们把代数学实际看成是关于字

母计算、关于由字母所构成的公式的变换和代数方程的科学。它与算术的不同在

于算术永远是对具体数字的运算，仅仅从这以后，甚至很复杂的数学法都易于观

察和了解。在用字母代表数的变迁中作出贡献的首推韦达，而笛卡尔对此也作了

不少工作。

这一时期代数学的另一特点是整个数学，无论是几何学还是无穷小分析，都

叫做代数学。这特别明显表现在十七世纪欧拉所著的有名的《代数学引论》一书

中，他当时把代数学定义为各种量的计算的理论，他的书包含有：整数、分数、

二、三次方根计算、对数、级数、多项式的计算、二项式定理及应用、线性方程

组理论、一二三四次方程解法以及整数不定方程解法等等。

一般二次方程的求根公式最早出现在花拉子米的《代数学》一书中，这是花拉子

米的最重要的贡献。一直到十六世纪，三、四次方程的求根公式相继被意大利数

学家菲洛、塔尔塔里亚和费拉里(1522－1565)所找到。

2.第二个时期

在十八世纪和十九世纪初，代数学的问题之一，即代数方程的解法被认为是

中心问题。因为在十六世纪意大利数学家在求得三、四次方程的一般解法后，人

们就全国来求五次或五次以上一般方程的代数解法，当时一些最伟大的数学家如

卡丹、笛卡儿、牛顿、欧拉、达朗贝尔、拉各朗日、高斯、阿贝尔、伽罗华以及

斯图母等等，创造了与这个问题有关的大规模的复杂理论。如高斯在1799年证

明了有名的代数学基本定理，笛卡儿特别是斯图母于1835年给出了关于实根个

数的判定法，等等，对代数学的发展产生重要影响。但是，虽然经过大多数数学

家的顽强努力，而用根号解高于四次方程的问题仍悬而未决。当1824年一个年

青的有天才的挪威数学家阿贝尔(1802－1829)的著作出版时，使当时所以数学家

都大为惊奇，他证明了如果方程的次数大于等于5，且系数看出字母，那么任何

一个由这些系数组成的根式都不可能是该方程的根。原来一切国家的最伟大的数

学家三个世纪以来用根号解五次或更高次的方程，之所以不能获得成就，只因为

这个问题根本就没有解。

但是，这并不是问题的全部，代数、方程理论的最关键之处仍留在面，阿

贝尔只是证明了一般的五次或五次以上的方程不能用根号解，但并不排除特殊的

方程可用根号解。于是关于用根号解方程的问题又在新的基础上提出来了：一个

方程究竟可用根号解的充分必要条件是什么？这个问题于1830年竟被一个不满

20岁的法国青年数学家伽罗华(Calios1811-1832)所彻底解决。他的工作是开

创性的，他在方程解方面的卓越成就现在已发展成数学中一个新的分支――群

论，它广泛应用于数学、物理、化学等学科中去。

在十九世纪中叶，即欧拉的《代数学引论》出版一百年的时候，谢尔的两卷《代

数学》问世了，该书把代数定义为代数方程理论的科学，书中第一次序数了代数

方程理论的顶峰――伽罗华理论。

在这一时期，作为与代数方程解法相关联的行列式与矩阵的理论，二次型及线性

变换等线性代数理论也发展起来了。

3.第三个时期

随着数学特别是代数学的发展，使人们逐渐认识到，我们遇到的许多研究对

象如多项式、矩阵和线性变换、函数以及力、向量等等，虽然它们都不是数，但

也类似与数那样遵循一定的运算规则进行运算。从这样一个觉悟出发，于是近一

百年特别是本世纪以来代数学的研究对象和研究方法发生了巨大变革。一系列新

的代数领域被建立起来，大大地扩充了代数学的研究范围，形成了所谓的近世代

数学，它与以代数方程的根的计算与分布为研究中心的古典代数学有所不同，它

是研究数字、文字和更一般元素代数运算的规律以及各种代数结构的性质为其中

问题的。由于代数运算贯穿在任何数学理论和应用问题里，也由于代数结构及其

中元素的一般性，近世代数学的研究在数学中是最具有基本性的，它的方法和结

果渗透到那些与它相接近的各个不同的数学分支中，成为一些有着新面貌和新内

容的数学领域――代数数论、代数几何、拓扑代数、李氏代数、代数拓扑、泛函

分析等，这样，近世代数学就对于全部现代数学发展有着显著的影响，并且对于

其它一些科学领域如理论物理、计算机原理等也有较直接的应用。

历史上，近世代数学可以说是从19世纪之初发生的，Galois应用群的概念对于

高次方程是否可以用根号解给出彻底回答，他可以说是近世代数学的创始人。从

那时起，近世代数学由萌芽而成长发达，大概由十九世纪开始，群以及相联系的

不变量概念在几何上、分析上以及理论物理上，都发生了重要影响。后来环、理

想、域、线性空间代数、模以及同调代数等等，形成了代数学中的诸多重要分支。

自1920年起，以Noether和Artin和他的学生们为中心，近世代数学的发展极

为灿烂。

数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科

的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；

研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，

属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一

核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而

出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情

况。“代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文

学家阿尔.花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书

名的阿拉伯文是‘ilmal-jabrwa’lmuqabalah，直译应为《还原与对消的

科学》．al-jabr意为“还原”，这里指把负项移方程另一端“还原”为正

项；muqabalah意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或

合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文

“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。数学发展

到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和

国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，

属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范

围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由

于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘

学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。"代数

"(algebra)一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔.花拉

子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是

‘ilmal-jabrwa’lmuqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr

意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah

意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在

翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后

来被许多国家采用，英文译作“algebra”。

了解了代数的发展史，那么线性代数的发展史就能衔接上了。

二、线性代数的形成和发展历史

由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所

研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个

问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的

矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部

分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代

数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也

促使了线性代数的进一步发展。

矩阵和行列式

行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在

已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关

孝和发明的。1693年4月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给

出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学

家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750年，瑞士数学家克莱姆(,1704-1752)在其著作《线性

代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的

阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学

家贝祖(,1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系

统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。

总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具

使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论

加以研究。

在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，

即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙

(monde,1735-1796)。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，

但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给

出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这

一点来说，他是这门理论的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文中证

明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。

继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另

一位法国大数学家柯西。1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第

一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。

另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列

式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展

开定理并给出了一个证明等。

19世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹

姆士·西尔维斯特(ter,1814-1894)。他是一个活泼、敏感、兴

奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大

学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重

要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去x的方法，他称

之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分

必要条件这一结果，但没有给出证明。

继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比

(,1804-1851)，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指

出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数

公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理

论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理

论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整

个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许

多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。

矩阵

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，

也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首

先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大

量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有

关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发

展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历

史上次序正好相反。

英国数学家凯莱(,1821-1895)一般被公认为是矩阵论的创

立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了

关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首

先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文

《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩

阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，

指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征

方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个

古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，

三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表

了大量的数学论文。

1855年，埃米特(e,1822-1901)证明了别的数学家发现的

一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(h,1831-1872)、布克海姆(im)等

证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯()引入矩阵的迹的概念并给

出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(ius,1849-1917)的贡献

是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和

初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的

形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的

一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。1892年，

梅茨勒(r)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级

数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这

主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具

经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而

矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理

论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。

线性方程组

线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中

已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增

广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，

线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个

未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究

了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的

结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对

线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的

条件是系数行列式等于零。

19世纪，英国数学家史密斯()和道奇森(n)继

续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概

念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和

增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。

大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方

程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取

得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重

要地位。

二次型

二次型也称为“二次形式”，数域？上的？元二次齐次多项式称为

数域？上的？元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了

我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型

的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类

问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为

坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作

中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。

然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正

项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性

定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。1801年，高

斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特

征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方

程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值

的实性则是由阿歇特(te)、蒙日和泊松

(n,1781-1840)建立的。

柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明

了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了个变数

的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。

1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要

考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等

因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变

量的完全集”这一结论。

1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般

的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，

这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将

其推广到双线性型。

从解方程到群论

求根的问题是方程理论的一个中心课题。16世纪，数学家们解决了三、

四次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的

数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和

精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。

到了18世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入

研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预

解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程

问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼(Ruffini,1765-1862)也做了许多努力，但

都以失败告终。高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里

取得了很大进展。阿贝尔(,1802-1829)只活了27岁，他一生

贫病交加，但却留下了许多创造性工作。1824年，阿贝尔证明了次数大

于四次的一般代数方程不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有

些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，

是需要进一步解决的问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予

解决。

伽罗瓦(,1811-1832)仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，

建立了方程的根的“容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程

用根式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解。从这种意义上，我们

说伽罗瓦是群论的创立者。伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时

受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝，1832年5

月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅21岁。

置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源。抽象群产

生的第二个主要来源则是戴德金(nd,1831-1916)和克罗内克

(ker,1823-1891)的有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱

(,1821-1895)关于有限抽象群的研究工作。另外，克莱因

(,1849-1925)和庞加莱(re,1854-1912)给出了无限

变换群和其他类型的无限群，19世纪70年代，李(,1842-1899)

开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群

论的第三个主要来源。

1882-1883年，迪克(k,1856-1934)的论文把上述三个主要

来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到19世

纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。

20世纪80年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中

最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛

函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如

拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓

扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、

自动机理论等方面，都有重要作用。

三、线性代数的应用

线性代数的应用充斥着生活中的每一个角落。

作为学生，线性代数的应用对于不同的想法的人也有不同的作用，比如：你

就是一个想拿到学位的毕业生，那么线性代数在学校的作用就仅限于你学好拿到

学分就可以了。但对于你是一个想考研的学生来说，必须学好线代。因为它是必

考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。例如，泛函

分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。

当你走出校园，步入社会的时候，线性代数又将发挥不一样的作用，如果你

想找一个好工作，就必学要学好线性代数。例如：想搞电子工程，好，电路分析、

线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网

络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需

要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是

向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不

开矩阵运算。想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为

基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的

图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作

没有线代的数学工具简直难以想象。想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily

Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万

条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数

学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方

程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年

的诺贝尔经济学奖。相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性

规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识

就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及

机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理

的安排各种商品的进货，以达到最大利润。对于其他工程领域，没有用不上线代

的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘

探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；

飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，

在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行

LU分解；作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知

道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性

方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、

化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个

随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。另外，

矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离

散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会

造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被

用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘

拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程

（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现

在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如

效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容

易转化为对对称矩阵的研究。

线性代数中的某些具体部分在现实中的应用：

二次型的应用应该说是处于一个比较重要的地位,利用二次型可以把任何

一个方阵JORDAN标准化,对研究矩阵非常有用!线性代数起源于对二维和三维

直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同

时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。

这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空

间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维

空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）

用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大

多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的

一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映

射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要

角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元

素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和

标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个

线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩

阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的

一部分。

我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是

最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性

问题的差异是很重要的线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数

的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中

最主要的应用之一。

矩阵的应用矩阵图法就是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列

成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因

素综合思考，探索问题的好方法。在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的

质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联

的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。

按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以探索问题的所在和

问题的形态，也可以从中得到解决问题的启示等。质量管理中所使用的矩阵图，

其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合

格品时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把

所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因

之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。矩

阵图的最大优点在于，寻找对应元素的交点很方便，而且不遗漏，显示对应元素

的关系也很清楚。矩阵图法的用途矩阵图法的用途十分广泛．

在质量管理中．常用矩阵图法解决以下问题：

①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或

改进老产品的切入点；

②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量

保证体制更可靠；

③明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求

强化质量评价体制或使之提高效率；

④当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希

望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除；

⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。

矩阵图法还具有以下几个点：

①可用于分析成对的影响因素；

②因素之间的关系清晰明了，便于确定重点；

③便于与系统图结合使用。

二、矩阵图法的用途矩阵图法的用途十分广泛．在质量管理中．常用矩阵

图法解决以下问题：

①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改

进老产品的切入点；

②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保

证体制更可靠；

③明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强

化质量评价体制或使之提高效率；

④当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望

搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除；

⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。以上为矩

阵的一些应用方面，可能矩阵的应用方面不只是在这些地方，应该在各个领域都

会用到。

下面仅以线性代数在数学建模中的应用做以介绍.

线性代数在数学建模中的应用举例

1基因间“距离”的表示

在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把

四种等位基因A

1

，A

2

，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。

表1.1基因的相对频率

爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4i

A

1

0.29140.10340.20900.2208

A

2

0.00000.08660.06960.0000

B0.03160.12000.06120.2069

O0.67700.69000.66020.5723

合计1.0001.0001.0001.000

问题一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基

因的“距离”的合宜的量度。

解有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一

个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记

kiki

fx.由于对这四种群

体的每一种有1

4

1



i

ki

f，所以我们得到





4

1

21

i

ki

x.这意味着下列四个向量的每个都

是单位向量.记

.

44

43

42

41

,

34

33

32

31

,

24

23

22

21

,

14

13

12

11

4321









































































































x

x

x

x

a

x

x

x

x

a

x

x

x

x

a

x

x

x

x

a

在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.

现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.

如果我们把a

1

和a

2

之间的夹角记为θ，那么由于|a

1

|=|a

2

|=1，再由内只公式，得

21

cosaa

而

.

8307.0

3464.0

2943.0

3216.0

,

8228.0

1778.0

0000.0

5398.0

21

















































aa

故9187.0cos

21

aa

得2.23°.

按同样的方式，我们可以得到表1.2.

表1.2基因间的“距离”

爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人

爱斯基摩人0°23.2°16.4°16.8°

班图人23.2°0°9.8°20.4°

英国人16.4°9.8°0°19.6°

朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°

由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而

爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.

2Euler的四面体问题

问题如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧

拉）提出的.

解建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a

1

,b

1

,c

1

）,(a

2

,b

2

,c

2

)

和（a

3

,b

3

,c

3

），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为.,,,,,rqpnml由立体几何知

道，该四面体的体积V等于以向量



OCOBOA,,

组成右手系时，以它们为棱的平行

六面体的体积V

6

的

1

6

.而

.

333

222

111

6

cba

cba

cba

OCOBOAV

于是得

.6

333

222

111

cba

cba

cba

V

将上式平方，得

.

36

2

3

2

3

2

3323232323131

323232

2

2

2

2

2

212121

3

2

1

2

1

2

1

333

222

111

333

222

111

2

2

cbaccbbaaccbbaa

ccbbaacbaccbbaa

ccbbaaccbbaacba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

V











根据向量的数量积的坐标表示，有

.,

,

,,

2

3

2

3

2

3323232

2

2

2

2

2

2313131

212121

2

1

2

1

2

1

cbaOCOCccbbaaOCOB

cbaOBOBccbbaaOCOA

ccbbaaOBOAcbaOAOA







于是

.362

OCOCOCOBOCOA

OCOBOBOBOBOA

OCOAOBOAOAOA

V







（2.1）

由余弦定理，可行

.

2

cos

222nqp

qpOBOA





同理

.

2

,

2

222222lrq

OCOB

mrp

OCOA









将以上各式代入（2.1）式，得

.

22

22

22

36

2

222222

222

2

222

222222

2

2

r

lrpmrp

lrp

p

nqp

mrpnqp

p

V







（2.2）

这就是Euler的四面体体积公式.

例一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为

l=10m,m=15m,n=12m,

p=14m,q=13m,r=11m.

则

.95

2

222

,46

2

222

,5.110

2

222











lrpmrpnqp

代入（2.1）式，得

.75.1369829

1219546

951695.110

465.110196

236V

于是

.)195(82639.38050223mV

即花岗岩巨石的体积约为195m3.

古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的

体积.

3动物数量的按年龄段预测问题

问题某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个

年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二

年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和

3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为

1

2

和

1

4

.假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物

各有多少头？

问题分析与建模因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年

后就经过了3个时间周期.设)(k

i

x表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数

量（k=1，2，3；i=1，2，3）.

因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期

上一年龄组存活下来动物的数量，所以有

).3,2,1(

4

1

,

2

1

)1(

2

)(

3

)1(

1

)(

2

kxxxxkkkk

又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出

生的动物的数量，所以有

).3,2,1(34)1(

3

)1(

2

)(

1

kxxxkkk

于是我们得到递推关系式：































.

4

1

,

2

1

,34

)1(

2

)(

3

)1(

12

1

3

)1(

2

)(

1

kk

kk

kkk

xx

xx

xxx

用矩阵表示

).3,2,1(

0

4

1

0

00

2

1

340

)1(

3

)1(

2

)1(

1

)(

3

)(

2

)(

1



















































































k

x

x

x

x

x

x

k

k

k

k

k

k

则

).3,2,1()1()(kLxxkk

其中

.

1000

1000

1000

,

0

4

1

0

00

2

1

340

)0(























































xL

则有

),3,2,1(

)(

3

)(

2

)(

1

)(





















k

x

x

x

x

k

k

k

k

,

250

500

7000

1000

1000

1000

0

4

1

0

00

2

1

340

)0()1(











































































Lxx

,

125

3500

2750

250

500

7000

0

4

1

0

00

2

1

340

)1()2(











































































Lxx

.

875

1375

14375

125

3500

2750

0

4

1

0

00

2

1

340

)2()3(











































































Lxx

结果分析15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的

有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875

头，占5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为

13625/3000=454.16%.

注要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(xLLxxkkk中当趋于

无穷大时的极限状况得到.

关于年龄分布的人口预测模型我们将人口按相同的年限（比如5年）分成

若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑

女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基

本年龄组间距（如先例的5年），令)(k

i

x是在时间周期k时第i个年龄组的（女性）

人口，i=1,2,…,n.用1表示最低年龄组，用n表示最高年龄组，这意味着不考虑

更大年龄组人口的变化.

假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第i个年龄组的成员将全部转移到

i+1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系

数所衰减.于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：

),1,,2,1()1(

)(

1





nixbxk

ii

k

i



其中

i

b是在第i个年龄组在一个周期的存活率，因子

i

b可由统计资料确定.

惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(

1

kx其中的成员是在后面的周期内出生的，他们

是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其

人数.

于是有方程

,)1(1

22

)1(

11

)(

1

k

nn

kkkxaxaxax（3.1）

这里),,2,1(nia

i

是第i个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i个年龄

组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.

于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是

,

0000

0000

0000

)1(

)1(

3

)1(

2

)1(

1

1

2

1

1321

)(

)(

3

)(

2

)(

1















































































































k

n

k

k

k

n

nn

k

n

k

k

k

x

x

x

x

b

b

b

aaaaa

x

x

x

x















或者简写成

.)1()(kkLxx（3.2）

矩阵





































0000

0000

0000

1

2

1

1321

n

nn

b

b

b

aaaaa

L











称为Leslie矩阵.

由（3.2）式递推可得

)0()1()(xLLxxkkk

这就是Leslie模型.

4企业投入产生分析模型

问题某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采

一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，

发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运

输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额

为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没

有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？

数学模型设x

1

为煤矿本周内的总产值，x

2

为电厂本周的总产值，x

3

为铁路

本周内的总产值，则

















,0)005.025.0(

,25000)10.005.025.0(

,50000)55.065.00(

3213

3212

3211

xxxx

xxxx

xxxx

（4.1）

即

.

0

25000

50000

005.025.0

10.005.025.0

55.065.00

3

2

1

3

2

1





















































































x

x

x

x

x

x

即

.

0

25000

50000

,

005.025.0

10.005.025.0

55.065.00

,

3

2

1

































































YA

x

x

x

X

矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则方程组（4.1）

为

,YAXX

即YXAE)(，（4.2）

其中矩阵E为单位矩阵，（E-A）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异

矩阵.

投入产出分析表设

,

00

00

00

,)(

3

2

1

1























x

x

x

ACEAEB

D=（1，1，1）C.

矩阵B称为完全消耗矩阵，它与矩阵A一起在各个部门之间的投入产生中起平

衡作用.矩阵C可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的

投入产出关系.向量D称为总投入向量，它的元素是矩阵C的对应列元素之和，

分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.

由矩阵C，向量Y，X和D，可得投入产出分析表4.1.

表4.1投入产出分析表单位：元

煤矿电厂铁路外界需求总产出

煤矿

11

c

12

c

13

c

1

y

1

x

电厂

21

c

22

c

23

c

2

y

2

x

铁路

31

c

32

c

33

c

3

y

3

x

总投入

1

d

2

d

3

d

计算求解按（4.2）式解方程组可得产出向量X，于是可计算矩阵C和向

量D，计算结果如表4.2.

表4.2投入产出计算结果单位：元

煤矿电厂铁路外界需求总产出

煤矿

036505.9615581.515.48

电厂

25521.872808.152833..02

铁路

25521.872808.150028330.02

总投入

51043.7442122.2718414.52

5交通流量的计算模型

问题图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.

假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一

个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知

部分的具体流量.

建模与计算由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：























































.1000

,600

,200

,400

,1000

,800

,800

,200

,500

,300

638

10

910

9

87

51

21

67

54

432

xxx

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

xx

xxx

系数矩阵为

.

1000000000

1100000000







































































A

增广矩阵阶梯形最简形式为

.

6

4

10

8

5

2

8



































































B

其对应的齐次方程组为











































.0

,0

,0

,0

,0

,0

,0

,0

10

9

87

86

54

3

52

51

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

取（x5,x8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程

组基础解系中两个解向量

,',0,0,0,0,0,1,1,0,1,1

1



,'0,0,1,1,1,0,0,0,0,0

2



其对应的非齐次方程组为











































.600

,400

,1000

,800

,500

,200

,0

,800

10

9

87

86

54

3

52

51

x

x

xx

xx

xx

x

xx

xx

赋值给自由未知量（x5,x8）为（0,0）得非齐次方程组的特解

'.600,400,0,1000,800,0,500,200,0,800x

于是方程组的通解,*

2211

xkkx其中k

1

，k

2

为任意常数，x的每一个分量即为交

通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.

6小行星的轨道模型

问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建

立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地

球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m）.在5个不同的时间对小行星作了5次

观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.

表6.1坐标数据

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

X坐标

5.7646.2866.7597.1687.408

y

1

y

2

y

3

y

4

y

5

Y坐标

0.6481.2021.8232.5263.360

由Kepler（开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方

程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为

01222

54

2

32

2

1

yaxayaxyaxa.

问题分析与建立模型天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道

上五个点的坐标数据：

（x

1

,y

1

）,（x

2

,y

2

）,（x

3

,y

3

）,（x

4

,y

4

）,（x

5

,y

5

）.

由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲

线的一般方程为01222

54

2

32

2

1

yaxayaxyaxa.为了确定方程中的五个待定

系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得





























.1222

1222

1222

1222

1222

5554

2

53552

2

51

4544

2

43442

2

41

3534

2

33332

2

31

2524

2

23222

2

21

1514

2

13112

2

11

yaxayayxaxa

，yaxayayxaxa

，yaxayayxaxa

，yaxayayxaxa

，yaxayayxaxa

这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵













































































































1

1

1

1

1

222

222

222

222

222

5

4

3

2

1

55

2

555

2

5

44

2

444

2

4

33

2

333

2

3

22

2

222

2

2

11

2

111

2

1

a

a

a

a

a

yxyyxx

yxyyxx

yxyyxx

yxyyxx

yxyyxx

求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一

些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:

1

2

2

2

2



b

Y

a

X

由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a和

短半轴b计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L.

根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:



.02

2

2

1



C

D

YX

所以,椭圆长半轴:

C

D

a

1





;椭圆短半轴:

C

D

b

2





;椭圆半焦

矩:22bac.

计算求解首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵



































7200.69600.142896.112656.509504.55

0520.53360.143807.62127.363802.51

6460.35180.133233.36433.246841.45

4040.25720.124448.11115.155138.39

292.1528.114199.04701.72237.33

A

使用计算机可求得

).2165.0,6351.1,6942.0,3440.0,6143.0(),,,,(

54321

aaaaa

从而





































6942.03440.0

3440.06143.0

32

21

aa

aa

C

CC,3081.0的特征值.0005.1,3080.0

21



.

12165.06351.1

2165.06942.03440.0

6351.13440.06143.0

1

54

532

321



















































aa

aaa

aaa

D

.8203.1D

于是,椭圆长半轴1834.19a,短半轴9045.5b,半焦距2521.18c.小行星近日

点距和远日点距为.4355.37,039313caHcah

最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值

为84.7887.

7人口迁移的动态分析

问题对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:

每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城

镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后

住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?

解设开始时,令乡村人口为,

0

y城镇人口为,

0

z一年以后有

乡村人口,

100

1

1000

975

100

yzy

城镇人口,

100

99

1000

25

100

zzy

或写成矩阵形式















































0

0

1

1

100

99

1000

25

100

1

1000

975

z

y

z

y

.

两年以后,有

.

100

99

1000

25

100

1

1000

975

100

99

1000

25

100

1

1000

975

0

0

2

1

1

2

2

















































































z

y

z

y

z

y

.

十年以后,有

.

100

99

1000

25

100

1

1000

975

0

0

10

10

10















































z

y

z

y

事实上,它给出了一个差分方程:

kk

Auu

1

.我们现在来解这个差分方程.首先

,

100

99

1000

25

100

1

1000

975





















A

k年之后的分布(将A对角化):

.

7

5

7

5

7

2

7

5

10

0

200

193

11

5

2

1

0

0

0

0

















































































































z

y

z

y

A

z

y

k

k

k

k

这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极

限状态

.

7

5

7

2

)(

00





































zy

z

y

总人口仍是

00

zy,与开始时一样,但在此极限中人口的

7

5

在城镇,而

7

2

在乡村.无论初始分

布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A的属于特征值1的特征向量.上述

例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质

反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后

一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地

0

y和

0

z也是非负的,从而

1

y和

21

,yz和

2

z等等也是这样.

8常染色体遗传模型

为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生

下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.

在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的

基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因

A和

a

控

制.基因对是AA和Aa的人,眼睛是棕色,基因对是

aa

的人,眼睛为蓝色.由于AA和Aa都表

示了同一外部特征,或认为基因A支配

a

,也可认为基因

a

对于基因A来说是隐性的(或称A

为显性基因,

a

为隐性基因).

下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.

某植物园中植物的基因型为AA,Aa,

aa

.人们计划用AA型植物与每种基因型植物相

结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?

我们假设),2,2,0(,,ncba

nnn

分别代表第

n

代植物中,基因型为AA,Aa和

aa

的植

物占植物总数的百分率,令),,()(



nnn

ncbax为第n代植物的基因分布,),,(

000

)0(

cbax

表示植物基因型的初始分布,显然,我们有

.1

000

cba(8.1)

先考虑第n

代中的AA型，第1n代AA型与AA型相结合，后代全部是AA型；第

1n代的Aa型与和与AA相结合，后代是AA型的可能性为

2

1

；1n代的

aa

型与AA型

相结合，后代不可能是AA型。因此，我们有

.0

2

1

1

111

••

nnnn

cbaa（8.2）

同理,我们有

,

2

1

11



nnn

cbb（8.3）

.0

n

c（8.4）

将(8.2),(8.3),(8.4)式相加,得

.

111



nnnnnn

cbacba（8.5）

将(8.5)式递推,并利用(8.1)式,易得

.1

nnn

cba

我们利用矩阵表示(8.2),(8.3)及(8.4)式,即

,2,1,)1()(nMxxnn(8.6)

其中

.

000

1

2

1

0

0

2

1

1

































M

这样,(8.6)式递推得到

.)0()1(2)1()(xMxMMxxnnnn(8.7)

(8.7)式即为第

n

代基因分布与初始分布的关系.下面,我们计算nM.

对矩阵M做相似变换,我们可找到非奇异矩阵P和对角阵D,使

,1PDPM

其中

.

100

210

111

,

000

1

2

1

0

001

1











































PPD

这样,经(8.7)得到

.)()0()1()0()(

1xPPDxPDPxnnn





































































































0

0

0

100

210

111

000

0

2

1

0

001

100

210

111

c

b

a

n

.

0

2

1

2

1

2

1

2

1

0

1

0

0

1

0000











































cb

cbcba

nn

nn

最终有



























.0

,

2

1

2

1

,

2

1

2

1

1

0

1

0

0

1

0

n

nn

n

nn

n

c

cbb

cba

显然,当n时,由上述三式,得到

.0,0,1

nnn

cba

即在足够长的时间后,培育出的植物基本上呈现AA型.

通过本问题的讨论,可以对许多植物(动物)遗传分布有一个具体的了解,同时

这个结果也验证了生物学中的一个重要结论:显性基因多次遗传后占主导因素,这

也是之所以称它为显性的原因.