求极限lim的典型例题

求极限lim的典型例题

休假条-一年级好词

求极限的经常使用方法典型例题之勘阻及广创作

掌握求简单极限的经常使用方法。求极限的经常使用方法有

(1)利用极限的四则运算法则；

(2)利用两个重要极限；

(3)利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷

小量）；

(4)利用连续函数的定义。

例求下列极限：

（1）x

x

x

33sin9

lim

0



（2）1

)1sin(

lim

2

1



x

x

x

（3）

x

x

x

1

0

)21(lim

（4）2

22

)sin(

1cos

lim

xx

xx

x





（5）

)

1

1

e(lim

0



x

xx

x

解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运

算法则和第一重要极限计算，即

=

)33sin9(

)33sin9)(33sin9(

lim

0



xx

xx

x

=

33sin9

1

lim

3sin

lim

00



x

x

x

xx

=2

1

6

1

3

（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即

（3）利用第二重要极限计算，即

x

x

x

1

0

)21(lim

＝

2

2

1

0

])21[(lim





x

x

x

2e。

（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是

无穷小量）计算，即

2

2

2

2

2

2

2

22

)

sin

1(lim

]

1cos

1[lim

)

sin

1(

1cos

1

lim

)sin(

1cos

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x

x

xx

























=1

注：其中当x时，

x

xx

x

sin

1sin



，

)1(cos

11cos

2

22

2





x

xx

x

都是无穷

小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。

（5）利用函数的连续性计算，即

)

1

1

e(lim

0



x

xx

x＝

1

10

1

e00



