群的定义

群的定义

月下独酌四首其一-百度搜藏

2023年3月17日发(作者：楼市走势)

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第一章群的基本知识

二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein）发现相对论之后，对称性的研究在物理

学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理

学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位

旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等

等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，

它越来越受到物理学工作者的重视。

1.1群

定义1.1设G是一些元素的集合，}{},,{ggG.在G中定义了乘法运算。如果G

对这种运算满足下面四个条件：

（1）封闭性。即对任意Ggf,，若hfg，必有Gh。

（2）结合律。对任意Ghgf,,，都有)(ghfhfg.

（3）有唯一的单位元素。有Ge，对任意Gf，都有ffeef

（4）有逆元素。对任意Gf，有唯一的Gf1，使effff11

则称G为一个群。

e

称为群G的单位元素，1f称为f的逆元素。

例1空间反演群。

设E和I对三维实空间3R中向量



r的作用为



rrIrrE,

即E是保持



r不变的恒等变换，I是使



r反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续

对



r作用。集合IE,构成反演群，其乘法表见表1.1.

例2

n

阶置换群

n

S，又称

n

阶对称群。将

n

个元素的集合},,2,1{nX映为自身的置换

为

,

21

21



















n

m

n

mm

P





其中

n

mmm,,,

21

是n,,2,1的任意排列，P表示把1映为

1

m，2映为

2

m，

n

映为

n

m的

映射。显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如









24

21









31

43

=









23

24









41

13

。

定义两个置换'P和P的乘积PP'，为先实行置换P，再实行置换'P，如

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







12

21









3

3









23

21









1

3

=









13

21









2

3

。

容易看出在这乘法定义下，全部

n

阶置换构成

n

S群。

n

S群共有!n个元素。

例3平面三角形对称群

3

D，又称为6阶二面体群。

考虑重心在原点，底边与

x

轴平行的xy平面上的正三角形ABC，见图1.1（

a

）。保

持正三角形不变的空间转动操作有

:e不转，:d绕z轴转32，:f绕z轴转34，

:a

绕轴1转，:b绕轴2转，

:c

绕轴3转

定义两个转动操作的乘积，如ab为先实行操作b，再实行操作

a

。由图1.1b可看出，实

行操作b和实行操作ab后ABC位置的变化，且可看出，实行操作ab和实行操作d一样，

因此dab。在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成

3

D群。

},,,,,{

3

cbafdeD是6阶群，它的乘法表见表1.2.

例4定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是单位元素，

n

和

n

互为逆元

素。同理，全体实数在加法下也构成一个群。但实数全体在乘法为数乘时，并不构成一个群，

因为0没有逆元素。除去0以外的实数构成一个群。

例5空间平移群3T。设



a是3R中的向量，



r是3R中任意一向量，定义空间平移

a

T为



arrT

a

定义两个平移

a

T和

b

T的乘积

ba

TT，为先实行平移

b

T，再实行平移

a

T，







rTabrbrTrTT

baaba

)(

故

abbaba

TTTTT



3T群的单位元素是平移零向量



T，即不平移，其中是零向量，

a

T和

a

T是互逆元素。

例6三维转动群)3(SO。保持3R中点O不动，设



k是过O点的任一轴，绕



k轴转角的

转动为

)(

k

C。定义两个转动)(

k

C和)('

'

k

C的乘积)()('

'

k

k

CC，为先实行绕



k轴

转角，再实行绕'k轴转'角。则绕所有过O点轴的一切转动构成)3(SO群。)3(SO群的

单位元素是转角0，即不转。绕同一轴



k，转角和2的元素)(

k

C，)('

'

k

C

互为逆元素。

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由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间

平移等操作，也可以是置换等等。

当群G的元素个数有限时，G称为有限群。当G的元素个数为无限时，G称为无限群。

空间反演群、

n

S群、

3

D群是有限群，例4至例6是无限群。

有限群G的元素的个数

n

称为群的阶，有时记为Gn。反演群是二阶群，

3

D是6阶

群，

n

S是!n阶群。

群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续

两次置换等等。有限群的乘法规则，可以列为乘法表。无限群的乘法虽然不能列出乘法表，

但乘法规则总是确定的。

群的乘法一般不具有可交换性。即对任意Ggf,，一般说来fg与gf并不相等。如

果对任意Ggf,，有gffg，则称G是可交换群或阿贝尔(Abel)群。

从前面例子还可以看出，群G的任何元素可以用指标

a

标记。当G是

n

阶有限群时，

指标

a

取n,,2,1，群元用

),,2,1(nag

a

表示。当G是可数的无限群时，如整数加法

群，

a

可以取所有整数值，,2,1,0a。当G是连续的无限群时，如实数加法群，有

时

a

取全体实数，有时

a

取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，

a

是三个无界的有

序实数

),,(

zyx

aaa，



kajaiaa

zyx

又如在转动群中，

a

是3个有界的有序实数,,，其中,是转轴



k的方位角，

是转动角度，而且，0,20,0,综上所述，群G是任一个元素，总

可用在一定范围内变化的一个数

a

标记为

a

g，给出此范围中任一个数

a

，就对应群G的一

个元素。

定理1.1（重排定理）设

GugG

a

},{，当

a

取遍所有可能值时，乘积

a

ug给出并

且仅仅一次给出G的所有元素。

证明先证G中任意元素



g

可以写成

a

ug的形式。因为Gu1，所以

Gggu



1，自然有



ugg

。

再证

a

ug当不同时，给出G中不同的元素。用反证法，设'，而'



ugug

，

两边左乘1u得'



gg

，这与可以唯一标记G中元素矛盾。故'时，

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'



ugug。于是当改变时，

a

ug给出并仅一次给出G的所有元素。定理证毕。

系ug

a

在



取遍所有可能值时，也给出并且仅仅一次给出群G的所有元素。

重排定理是关于群的乘法的重要定理。它指出每一个群元素，在乘法表的每一行（或

每一列）中被列入一次而且仅仅一次。乘法表的每一行（或每一列）都是群元素的重新排列，

不可能有两行（或两列）元素是相同的。

1.2子群和陪集

定义1.2设H是群G的一个子集，若对于与群G同样的乘法运算，H也构成一个群，

则称H为G的子群。常记为GH。

容易证明，群G的非空子集H是G的子群的充要条件为：

(1)若

Hhh

a





,，则Hhh



，

(2)若Hh



，则

Hh1



。

任意一个群G，其单位元素

e

和G本身都是G的子群，这两种子群称为显然子群和平

庸子群。群G的非显然子群称为固有子群。若不特别说明，一般说是指固有子群。

例7在定义群的乘法为数的加法时，整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。

例8在

x

轴方向的平移

}{



iT

x

a

全体构成平移群)3(T的一个子群。

例9绕固定轴



k的转动)(

k

C，20是)3(SO群的一个子群。

定义1.3n

阶循环群是由元素

a

的幂ka组成，nk,,2,1，并且ean，记为

},,,{2eaaazn

n

.

循环群的乘法可以交换，故循环群是阿贝尔群。从

n

阶有限群G的任一个元素

a

出发，

总可以构成G的一个循环子群

,

k

z

称

a

的阶为k，

k

z是由

a

生成的k阶循环群。因为当eea,为G的一阶循环子群，这是显

然子群。当

,,2aaea如ea2，则由

a

生成2阶循环子群。如

,,,,12eaeaeak，用重排定理，知kkaaaa,,,,12为G中不同元素。通过增加

k，再利用重排定理，总可以在nk中达到eak。因此，从阶有限群的任一元素

a

出发，

总可以生成一个G的循环子群。

定义1.4设H是群G的子群，

}{



hH。由固定Gg，Hg，可生成子群H的左

陪集,HhghgH



同样也可生成H的右陪集

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,HhghHg



有时也将陪集称为旁集。当H是有限子群时，陪集元素的个数等于H的阶。

定理1.2（陪集定理）设群H是群G的子群，则H的两个左（或右）陪集或者有完全相

同的元素，或者没有任何公共元素。

证明设Gvu,，Hvu,，考虑由vu,生成的H的两个左陪集，

}{HhuhuH



,}{HhvhvH



设左陪集uH和vH有一个公共元素，



vhuh

则Hhhuv11



根据重排定理，



uhv1当取遍所有可能值时，



uhv1给出群H的所有元素一次，并且仅

仅一次，故左陪集



uhuhvv][1与左陪集



vh

重合。因此当左陪集uH和vH有一个公共

元素时，uH和vH就完全重合。定理证毕。

同样的证法，也适用于右陪集。

定理1.3（拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。

证明设G是

n

阶有限群，H是G的

m

阶子群。取Gu

1

，Hu

1

,作左陪集Hu

1

。如

果包括子群H的左陪集串HuH

1

,不能穷尽整个群G，则取HuuHuGu

1222

,,，作

左陪集Hu

2

。根据陪集定理，Hu

2

与H和Hu

1

完全不重合。继续这种做法，由于G的阶

有限，故总存在

1j

u，使包括子群H的左陪集串

HuHuHuH

j121

,,,,





穷尽了整个G。即群G的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又没有相重合的

元素，故群G的元素被分成j个左陪集，每个陪集有

m

个元素。于是

群G的阶

n

=（子群H的阶

m

）j

定理证毕。

系阶为素数的群没有非平庸子群。

上面把群G的元素，分成其子群H的左陪集串的作法，不仅对证明拉格朗日定理有用，

而且提供了一种把群G分割为不相交子集的方法。这是一种很有用的分割群的方法。同样，

也可以把群G分割成其子群的右陪集串。

例10

3

D有子群},{},,{},,{

321

ceHbeHaeH和},,{

4

fdeH。

3

D可按

1

H分成

左陪集串，},{},,{},,{

111

dccHfbbHaeH。也可按

4

H分成右陪集串，

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},,{},,,{

44

cbaaHfdeH。

1.3类与不变子群

定义1.5设hf,是群G的两个元素，若有元素Gg，使hgfg1，则称元素h与f共

轭。记为fh~。

共轨具有对称性，当fh~，则hf~。且ff~。

共轨还具有传递性，即当,~,~

21

hfhf，则有

21

~ff。因,,1

222

1

111

hggfhggf故

,)()(11

212

1

21

1

122

1

211

ggfggggfggf

定义1.6群G的所有相互共轨的元素集合组成G的一类。

由于共轭关系具有对称性和传递性，因此一个类被这类中任意一个元素所决定。只要给出类

中任意一个元素f，就可求出f类的所有元素，

f类},{1''Ggfggff



。

一个群的单位元素

e

自成一类，因对任意Gg



，有

eegg1



。阿贝尔群的每个元

素自成一类，因对任意Ggf



,，有ffgg1



。设元素f的阶为

m

，即

efm，则

f类所有元素的阶都是

m

，因egfgfggmm11)(



，对任意Gg



成立。

应该指出，当



g取遍群G的所有元素时，1



fgg可能不止一次地给出f类中的元素。

如ef，1



fgg永远给出单位元素

e

。

由共轨关系具有传递性可以知道，两个不同的类没有公共元素。因此可以对群按共轨类

进行分割。这种对群按共轨类进行的分割，每个类中元素个数不一定相同。而按子群的陪集

对群进行的分割，每个陪集元素的个数是相同的。按类和按陪集分割群，是分割群的两种重

要方式。

定理1.4有限群每类元素的个数等于群阶的因子。

证明设G是

n

阶有限群，g是G的任一个元素，看g类元素的个数。作G的子群gH，

},{1ghghGhHg

gH由G中所有与g对易的元素h组成，即ghhg。

对于gHggGgg

2121

,,,，，如果1

22

1

11

gggggg，则

21

,gg必属于gH的同一

左陪集gHg

1

。因为按定义，gHgg

11

。由1

22

1

11

gggggg可得

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gggggg1

2

1

12

1

1

)()(，故ggHggHgg

122

1

1

,。

反之，如果

21

,gg属于gH的同一左陪集gHg

1

，必有gHhhgg,

12

。于是有

1

11

1

1

1

1

1

22

gggghghgggg

因此g类中元素的个数，等于群G按gH分割陪集的个数，也就是群G的阶的因子。

g类元素个数=

的阶

的阶

gH

G

定义1.7设H和K是群G的两个子群，若有Gg，使

}{11HhghgkgHgK

，则称H是K的共轭子群。

由共轭关系的对称性和传递性，知共轭子群也有对称性和传递性。即若H是K的共轭

子群，则K也是H的共轭子群。若

1

H和

2

H是K的共轭子群，则

1

H和

2

H也互为共轭子

群。G的全部子群可分割为共轭子群类。

定义1.8设H是G的子群，若对任意HhGg



,，有Hggh1



。即如果H包含

元素



h，则它将包含所有与



h同类的元素，我们称H是G的不变子群。

定理1.5设H是G的不变子群，对任一固定元素Gf，在



h取遍H的所有群元时，

乘积1ffh



一次并且仅仅一次给出H的所有元素。

证明首先证明H的任意元素



h

具有1ffh



的形式。因为H是不变子群，故

Hfhf



1，令



hfhf1，则1ffhh



。

而且当



hh

时，11ffhffh



，否则必引起矛盾。因此当



h取遍所有可能的H元

素时，1ffh



一次并且仅仅一次给出H的所有元素。

例11以加法作为群的乘法时，整数加法群是实数加法群的不变子群。实事上，阿贝尔群

的所有子群都是不变子群。

不变子群的左陪集和右陪集是重合的。因为对G的不变子群H，由HgGg,，生

成H的左陪集}{HhghgH



和右陪集}{HhghHg



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而由H是G的不变子群知

Hghg



1。由下式可以看出左陪集的元素

)(1ghgg



也是右

陪集的元素。

Hgghghgg



)(1

故H的左右陪集重合。因此对不变子群，就不再区分左陪集和右陪集，只说不变子群

的陪集就够了。

设H是G的不变子群。考虑没有公共元素的H的陪集串，,,,,,,

21

HgHgHgH

i

，

假定陪集串穷尽了群G，两个陪集Hg

i

和

Hg

j

中元素的乘积。必属于另一陪集。因

Hghghgghhgghghggghghg

kkjijijjjiji





1

其中

jikjj

ggghhhghgh,,1



定义1.9设群G不变子群H生成的陪集串为

,,,,,,

21

HgHgHgH

i

，把其中每一个

陪集看成一个新的元素，并由两个陪集中元素相乘的另一个陪集的元素，定义新的元素间的

乘法规则，即陪集串新元素

0

fH

11

fHg

22

fHg

ii

fHg

乘法规则

kjikji

fffhghghg



这样得到的群

},,,,,{

210



i

ffff，称为不变子群H的商群，记为HG。不变子群H对

应商群HG的单位元素

0

f，每一个陪集Hg

i

对应商群HG的一个元素

i

f。陪集Hg

i

和

陪集

Hg

j

的乘积对应

i

f和

j

f

的乘积。事实上，群},,,,,{

210



i

ffff和群

},,,,,{

21

HgHgHgH

i

同构，它们都可以作为商群HG的定义。

例12

3

D群的元素可以分为三类，即

c

类}{e，d类},{fd，

a

类},,{cba。恒等转

动

e

自成一类，绕z轴转32和34是一类，绕角等分线转



角是一类。因此

3

D的子群

},{},,{},,{

321

ceHbeHaeH，是互为共轭的子群，},,{

4

fdeH是不变子群。

4

H

的陪集串和商群

43

HD的元素间有以下对应

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1404

},,{,},,{fcbaaHffdeH

故商群

43

HD是二阶循环群

2

Z。

1.4群的同构与同态

定义1.10若从群G到群F上，存在一个一一对应的满映射，而且保持群的基本运

算规律（乘法）不变；即群G中两个元素乘积的映射，等于两元素映射的乘积，则称群G和

群F同构，记为FG。映射称为同构映射。

同构映射可由图1.2表示：

其中FG:

ii

fg

jj

fg

jiji

ffgg

同构映射，把G的单位元素

0

g映为F的单位元素

0

f，因对任意

iii

fgGf:,。

设'

00

:fg，则有

iiiiii

fffffggggg'

0

'

000

:

故

0

'

0

ff,'

0

f必为F的单位元素

0

f。同构映射，还把G的互逆元素1,

ii

gg映为的互逆

元素1,

jj

ff。

由于同构映射是一一满映射，故逆映射1恒存在，1把F映为G，而且1保

持群的乘法规律不变，即

GF:1

ii

gf

jj

gf

jiji

ggff

所以当群G和群F同构，必有群F与群G同构，GF。

两个同构的群，不仅群的元素间有一一对应关系，而且他们所满足的乘法规律间也有一

一对应关系。因此从数学角度看，两个同构的群具有完全相同的群结构。作为抽象的群来说，

两个同构的群本质上没有任何区别。

例13空间反演群},{IE和二阶循环群

},{2

2

eaaZ同构。

例14三阶对称群

3

S和正三角形对称群

3

D同构。

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例15群G的两个互为共轭的子群H和K是同构的。因为存在Gg，使Hh



与

Kk



有一一对应关系，

ghgkggkh



11,

以上各个同构的群，有完全相同的乘法表。因此作为抽象的数学群来说，它们是一样的。

当然，对同一抽象群，当它用于不同的物理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。

这和初等数学中2+3=5可以代表不同对象相加是同样的。

定义1.11设存在一个从群G到群F上的满映射，保持群的基本规律（乘法）不变；

即G中两个元素乘积的映射，等于两个元素映射的乘积，则称群G与群F同态，记为

FG~。映射称为从G到F上的同态映射。

图1.3表示从G到F上的同态映射:

其中FG:

ii

fg

jj

fg

jiji

ffgg

也有定义从群G到群F中的同态映射，这时保持群的乘法规律不变，但并不是满

映射。以后如不特别说明，我们说同态，是指从群G到群F上的同态。

一般说，同态映射并不是一一对应的。即对群F中的一个元素

i

f，G中可能不止一

个元素

,,,'

ii

gg与之对应。因此群G与群F同态，并不一定有群F与群G同态。

同构是一种特殊的同态，即当同态映射是一一映射时，同态就是同构。因此若群G与

群F同构，则G必与F同态。反之，若群G与群F同态，G与F不一定同构。

任何群G与只有单位元素的群}{

1

eZ同态。这种同态是显然的，一般不考虑这种同

态。

定义1.12设群G与群F同态，G中与F的单位元素

0

f对应的元素集合}{



hH，称

为同态核。

定理1.6（同态核定理）设群G与群F同态，则有

（1）同态核H是G的不变子群；

（2）商群HG与F同构。

同态核定理可以用图1.4表示。

证明先证明同态核H是G的子群。

对任意

Hhh



,

，有

000

,,:fhhfhfh



故

Hhh



。因此同态核中二元素

0

fhh



，的乘积仍在H中。而且由于同态映射把

单位元素映为单位元素，故H含有G的单位元素

0

g，因设'

00

:fg

，则对任意

整理为word格式

Gg

i

，有

ii

fg:,

iiiiii

fffffggggg'

0

'

000

,

0

'

0

ff

于是，如果Hh



，必有

Hh1



。否则，设

Hh1



，

0

'

0

1:ffh



而又有

00

'

00

1:fffghh



这不可能，因此若



h属于H，必有1



h属于H。这就证明了H是G的子群。

再证同态核H是G的不变子群。

对Hh



，与



h同类的元素为1

ii

ghg



，



g是群G的任意元素。同态映射有以

下作用。

0

1

0

1

11,,:

ffffghg

fgfg

iiii

iiii











故所有与



h同类的元素Hghg

ii

1



。H是G的不变子群。

最后证明商群HG与F同构。包括H的陪集串，

},{,},{},{

11

hgHghgHghH

ii

是商群HG的元素。因为同态映射保持

群的乘法规律不变，故只要证明陪集串的元素与F的元素有一一对应，就证明了HG与F

同构。

首先，H的一个陪集

}{



hgHg

ii

对应F的一个元素，设

ii

fg:，则

ii

fhg



:，对任意Hh



。其次H的不同陪集

HgHg

ji

,

，对应F中的不同元素，

因为

Hg

i

和

Hg

j

不同，由陪集定理可知，它们没有公共元素。设

jjii

fgfg,:

，

假设

ji

ff

，则

00

11

0

,:

ffffhgg

fffhg

jiji

iiai









得到Hhgg

ji





1，

Hg

i

和

Hg

j

重合。这与假设矛盾，故

ji

ff

因此H的陪集与F的元素有一一对应关系，商群HG与F同构。定理证毕。

从图1.4可以看到，如群G与群F同态，同态映射为。G中对应F单位元素

0

f的

整理为word格式

元素集合

整理为word格式

}{



h是G的一个不变子群H。H陪集串中的每一个陪集Hg

i

，唯一地对应F中的一

个元素

i

f。F中的一个元素

i

f也唯一地对应H的一个陪集Hg

i

。已知各个陪集中元素数

目相同，故G中与F的每一个元素对应的元素数目是相同的。

同态核定理，说明同态映射保持群的乘法规律不变，它是关于同态性质的重要定理。在

处理各种群的问题中，我们会经常用到它。

例16

3

D群与二阶循环群

2

Z同态。同态核是不变子群},,{fdeH，陪集是

},,{cbaaH。图1.5表示这个同态映射。

定义1.13群G到自身的同构映射

v

，称为G的自同构映射GGv:。

即对任意Gg



。有

Gggv



)(,而且保持群的乘法规律不变，

)()()(



gvgvggv。故自同构映射

v

总是把群G的单位元素

0

g映为

0

g，把互逆元素



g和1



g映为互逆元素



g和1



g。

定义1.14定义两个自同构

1

v和

2

v的乘积

21

vv，为先实行自同构映射

2

v，再实行自同构

映射

1

v。恒等映射

0

v对应单位元素。每个自同构映射v有逆1v存在。于是群G的所有自

同构映射

v

构成一个群，称为群G的自同构群，记为)(GA或)(GAut。)(GA的子群也称

为G的一个自同构群。

如果群G的自同构映射，是由Gu引起，即对任意Gg



，有1)(uugg





则称是G的内自同构映射。

与定义自同构的乘法一样，可以定义内自同构的乘法。于是群G的所有内自同构构

成一个群，称为群G的内自同构群，记为)(GI或)(GIn。内自同构群)(GI是自同构群

)(GA的一个子群，而且是)(GA的不变子群。因为对任意)(GI，与同类的元素为

1vv，其中)(GAv，设



ggv)(1，则

)(

)()()()()()()(

1

1111

GIvvg

uvguvuvgvuvuvuggvgvv















其中Guvv)(，故)(GI是)(GA的不变子群。

例17三阶循环群

},,{2

3

aaeZ

的自同构群)(

3

ZA有两个元素，

整理为word格式

},,,{},,{:

},,,{},,{:

22

22

0

aaeaaev

aaeaaev





故},{)(

03

vvZA与

2

Z同构。显然)(

3

ZA不是内自同构群。

例18三阶对称群

3

S有以下的内自同构映射：

)32()32()(),31()31()(),21()21()(,)(

3210

gggggggg

)321()231()(),231()321()(

54

gggg

因此

3

S群的内自同构群为},,,,,{)(

5432103

SI

内自同构群

)(

3

SI的子群},,{},,{},,{},,{

540302010

，也都是

3

S的内自同构

群。

总之，同构的群作为抽象的数学群来说，是相同的。群的同态映射，是保持群结构的一

种映射，是常用的重要概念。

1.5变换群

前面所讨论的都只涉及到抽象群。而将群论用于物理对称性的研究时，常常借助变换群

来研究被变换对象和变换群之间的关系。因此变换群提供了把群论用到几何和物理问题中的

重要途径。

变换与变换群又称为置换与置换群。对置换群的讨论应包括被变换对象和变换群两部

分。设被变换对象X由元素,,,zyx组成，它是一个非空的集合，},,,{zyxX。X上

的置换f是将X映入自身的一一满映射，XXf:,即对任意Xx，有

Xyxf)(，而且f有逆xyff)(,11。

定义1.15定义X上两个置换f和g得乘积fg为先实行置换g，再实行置换f。即对任

意Xx，有))(()(xgfxfg，X的全体置换在次乘法下构成一个群，称为X上的完全

对称群，记为},,{gfS

X

。恒等置换

e

是

X

S的单位元素，置换f与其逆置1f换为

X

S

的互逆元素。

被置换对象X的元素个数可以是无限的，如X是三维实欧式空间3R中所有的点，或

是希耳伯特空间的所有态矢量等等。X的元素个数也可以是有限的，如平面正三角形的3

个顶点，或正四面体的4个顶点等等。当X有无限多个元素时，

X

S是无限群。当X有

n

个

元素时，X的完全对称群

X

S就是

n

个元素的置换群

n

S。

n

S共有!n个元素。

整理为word格式

X的完全对称群

X

S的任何一个子群，是X的一个对称群。又称为X上的变换群。

同一个数学抽象群，可以对应不同的变换群。如二阶循环群},{2

2

eaaZ，可以对

应转动群的子群，)}(),0({

kk

CC,也可以对应空间反演群},{IE。群)}(),0({

kk

CC和群

},{IE是

2

Z的两个不同的实现。虽然这两个群是同构的，具有完全相同的乘法表，但他们

作用于被变换对象3R中的向量时，引起的后果并不相同。这说明两个同构的群，应用到物

理问题上，若是不同的实现，必须注意它们的区别。

定理1.7(凯莱定理)群G同构于G的完全对称群

G

S的一个子群。特别地，当G是

n

阶

有限群时，G同构于

n

S的一个子群。

证明设},,,{hgfG。将G本身看作被变换对象},,,{hgfX，则任意G的元素

g，把Hh按群G的乘法映入X，即Xghhg)()(。

由重排定理知道，g是把X映入X的一一满映射，故G是将GX映入自身的一个

变换群。因此G是G上完全对称群

G

S的一个子群。

下面将讨论关于变换群的轨道等重要概念。

设},,,{hgfG是},,,{zyxX的一个变换群，如果X中两个元素

x

和y，有

Gg，使ygx，则称元素

x

是G等价于元素y，或称为

x

点与y点等价。记为yx~。

因此等价是指被变换对象X中两个元素

x

和y，可以通过变换群G的作用，从

x

变到y。

显然等价具有对称性，若yx~，必有xy~，因ygx，必有

xyg1。等价也具

有传递性，若yx~，zy~,必有

zx~

，因ygx，zfy，必有zfgx。

由X中全部与

x

等价的点组成的轨道称为含

x

的G轨道，即为}{Gggx。即从点

x

出发，用G中元素g作用于

x

，当g取遍G的所有元素时，gx给出X的一个子集，这个

子集就是含

x

的G轨道。含

x

的G轨道，就是

x

点经群G作用后，可以变到的所有的点。

有时也简称为轨道，不过要注意是过那一点的轨道。

X的G不变子集Y，是指X的子集Y，在变换群G的作用下，不会变到Y外面去，

即对任意YyGg,，有Yyg)(。显然，X中每一个G轨道是G不变的；几个轨道

的和集也是G不变的。当集合Y是G不变时，G也是Y的对称群。

整理为word格式

设G是X的变换群，那么对于X的任意子集Y，XY，总可以找到G的一个子群

H，使任意子集Y是H不变的，即})({YYgGgH。

整理为word格式

Y不变的子群H总是存在的，因为Y对由单位变换}{e构成的显然子群总是不变的。

例19设X是xy二维平面，G是绕z轴转动的二维转动群。

}{},20)({



jyixrXCG

k

,平面X上任意一点



r可写为



















y

x

r



r经)(

k

C作用变到



'r，)

cossin

sincos

()('







yx

yx

rCr

k











'r与



r等价，





rr~',以原点O为圆心，过



r点的圆周上的全部点，是含



r的G轨道。

一般说来，过不同的点的G轨道是不相同的。如含

0

r的G轨道，是以原点O为圆心，

过

0

r点的圆。对绕z轴转动的平面转动群，G轨道如图1.6所示，是一个个同心圆。

从图1.6可以看出，X中G不变的子集有，原点O和以原点为圆心的同心圆的任意和

集，即X中几个G轨道的和集是G不变的。因此，G既是原点O的对称群，又是任意以

原点为圆心的同心圆及其和集的对称群。

例20平面正方形对称群

4

D。设X为xy平面，G是绕原点O的转动群。中心在O的正方

形ABCD是的X子集，XABCD用求正三角形对称群

3

D的同样办法，我们可以求出

下面8个转动使不变：

:e

恒等转动，

:r

绕z轴转2角，

:2r绕z轴转角，:3r绕z轴转23角，

:a

绕对角线1转角，:b绕对角线2转角

:u

绕

x

轴转角，

:v

绕y轴转角，

见图1.7。这8个保持正方形ABCD不变的元素，构成G的一个子群，称为

4

D群。即

},,,,,,,{32

4

vubarrreD

正方形ABCD是

4

D不变的。过A点的

4

D轨道包括DCBA,,,4个点，故正方形ABCD只

有一个

4

D轨道。对正方形ABCD的不同子集Y可以找到

4

D的不同子群H，使Y是H不

变的。如

}{AY或}{CY},{beH

}{BY或}{DY},{aeH

},{CAY或},{DBY},,,{2rbaeH