平行线的定义
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2023年3月17日发(作者：托管协议)相交线与平行线
第一节相交线
一：相交线
1相交线的定义两条直线交于一点,我们称这两条直线相交．相对的,我们称这两条直
线为相交线．2两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角
和邻补角两类．3在同一平面内,两条直线的位置关系有两种：平行和相交重合除外．
对顶角与邻补角
1对顶角：有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,
具有这种位置关系的两个角,互为对顶角．2邻补角：只有一条公共边,它们的另一边
互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角．3对顶角的性质：对顶角相
等．4邻补角的性质：邻补角互补,即和为180°．5邻补角、对顶角成对出现,在相交
直线中,一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言,是指的两个
角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
二：垂线
1垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线
互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足．2垂线的性质
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．注意：“有且只有”中,“有”指“存在”,“只有”
指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
垂线段最短
1垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做垂线段．2
垂线段的性质：垂线段最短．正确理解此性质,垂线段最短,指的是从直线外一点到这
条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．3实际
问题中涉及线路最短问题时,其理论依据应从“两点之间,线段最短”和“垂线段最短”这
两个中去选择．
点到直线的距离
1点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离．2点
到直线的距离是一个长度,而不是一个图形,也就是垂线段的长度,而不是垂线段．它
只能量出或求出,而不能说画出,画出的是垂线段这个图形．
第二节平行线及其判定
一：平行线
平行线
在同一平面内,两条直线的位置关系有两种：平行和相交重合除外．
1平行线的定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
2同一平面内,两条直线的位置关系：平行或相交,对于这一知识的理解过程中要注
意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说,指的是它们所在的直线．
平行线公理及推论
1平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行．
2平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说,它是“能但只能画出一
条”的意思．3推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平
行．4平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法,在解题中要注意该结论在
证明直线平行时应用．
二：平行线的判定
同位角、内错角同旁内角
1同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且
在第三条直线截线的同旁,则这样一对角叫做同位角．2内错角：两条直线被第三条
直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线截线的两旁,则
这样一对角叫做内错角．3同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两
个角都在两直线的之间,并且在第三条直线截线的同旁,则这样一对角叫做同旁内
角．4三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角,完全由那两个角在
图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时,应从角的两边入手,具有上述
关系的角必有两边在同一直线上,此直线即为截线,而另外不在同一直线上的两边,它
们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形,内错角的边构成“Z“形,同旁内角
的边构成“U”形．
平行线的判定
1定理1：两条直线被第三条所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行．简单说
成：同位角相等,两直线平行．
2定理2：两条直线被第三条所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行．简单说成：
内错角相等,两直线平行．
3定理3：两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行．简单说
成：同旁内角互补,两直线平行．4定理4：两条直线都和第三条直线平行,那么这两
条直线平行．5定理5：在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这
两条直线平行．
第三节平行线的性质
平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等．简单说成：两直线平行,同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补．．简单说成：两直线平行,同旁内角互
补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等．简单说成：两直线平行,内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等
平行线的判定及性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关
系来寻找角的数量关系．2应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,
切莫混淆．3平行线的判定与性质的联系与区别区别：性质由形到数,用于推导角的
关系并计算；判定由数到形,用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论
正好相反,都是角的关系与平行线相关．4辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线
或作出联系两直线的截线,构造出三类角
平行线之间的距离
（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度
叫两条平行线之间的距离．2平行线间的距离处处相等
第四节平移
生活中的平移现象
1、平移的概念在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移
变换,简称平移．2、平移是指图形的平行移动,平移时图形中所有点移动的方向一致,并
且移动的距离相等．3、确定一个图形平移的方向和距离,只需确定其中一个点平移的方
向和距离
平移的性质
1平移的条件
平移的方向、平移的距离
2平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形
状和大小完全相同．
②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点．连接各组
对应点的线段平行且相等
作图----平移变换
1确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．2作图时要先找到图形
的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对
应点即可得到平移后的图形．