差比数列求和公式
北京到太原-雨天文案
2023年3月17日发(作者：体检报告单模板)公式法
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等差数列求和公式:
（首项+末项）×项数÷2
举例：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2=45
等比数列求和公式：
差比数列求和公式：
a:等差数列首项
d:等差数列公差
e:等比数列首项
q:等比数列公比
其他
数列求和错位相减法
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适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相
乘）
{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
例如：
______①
Tn=上述式子/(1-q)
此外.①式可变形为
Sn为{bn}的前n项和.
此形式更理解也好记
数列求和倒序相加法
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这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），
再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn=a1+a2+a3+......+an
Sn=an+an-1+an-2......+a1
上下相加得S
n=(a1+an)n/2
数列求和分组法
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有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几
个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：a
n=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
数列求和裂项相消法
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适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即a
n=f(n+1)－f(n)，
然后累加时抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（当a≠b时）
（5）
[例]求数列an=1/n(n+1)的前n项和.
解：a
n=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）
则S
n
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相
抵消了。只剩下有限的几项。
注意：余下的项具有如下的特点
1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
数列求和数学归纳法
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一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题
也成立。
例：
求证：
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+.……+n(n+1)(n+2)(n+3)=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
证明：
当n=1时，有：
1×2×3×4=24=2×3×4×5/5
假设命题在n=k时成立，于是：
1×2x3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+.……+k(k+1)(k+2)(k+3)=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
则当n=k+1时有：
1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+……+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=1×2×3×4+2×3×4*5+3×4×5×6+……+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5+1)
=[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证
数列求和通项化归法
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先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用
分组等方法求和。
数列求和并项求和法
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（常采用先试探后求和的方法）
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
方法三：
构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。
an=n(-1)^（n+1）