济南市12345

济南市12345

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2023年3月17日发(作者：盘龙峡旅游)

纪博士数数12345于特讲题

学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！

数学解题五境界

第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行

了，其实这只是最低境界．

第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做

完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的

合理解释．

第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一

些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．

第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律

都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库．

第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手

拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个错

误，他也能够很快地纠正纠偏．

如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点

水式浏览一遍．

1

一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当

我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我

觉得更加重要和有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方

的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、

容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕

数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材

的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数

学大格局，适合自己的就是最好的！

版块一引入问题

1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝

图1-1图1-2

2．如图1-2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD的长为_________．

版块二“123”+“45”的来源

一般化结论：若45则有tan

a1

a1

，

tan

1

a

（a1），

当a

3

2

时

，

则

得

到

t

a

n







21

35

（了解）

当a=2时，则得到tan

11

23

（重要）

当a

5

2

时，则得到tan

23

57

（了解）;

tan=

tan=

tan=

tan=

当a4时，则得到tan

13

45

（次重要）

2



【例1】（济南市中考题）如图2-1，AOB是放置在正方形网络中的一个角，则cosAOB的值是．

图2-1

【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=35，

且∠ECF=45°，则CF的长为（）

A．210B．35C．

5

10D．

10

5

图2-2

倍角与半角构造

当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“顶角底角顶角”解题依据“90

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．

1

－

2

顶角＝底角

”．

⑴若tanBCA2，则tanBAC．⑵若tanBAC



4

3

，则tanABC．

3

33

【例3】如图2-3，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，

折痕为MN．若tanAEN

1

，DC＋CE＝10．

3

⑴求△ANE的面积；⑵求sinENB的值．

图2-3

【例4】如图2-4，已知正方形ABCD的边长为10，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE=2BE，

过B点作BFAE于点F，连接OF，则线段OF的长度为。

图2-4

【例5】（2011•武汉）如图2-5，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，

交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．

⑴求证：PB为⊙O的切线；

⑵若tan∠ABE=，求sin∠E．

图2-5

【例6】如图2-6，正方形ABCD中，点P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE,过C作

CF⊥DE交DE延长线于点F，若CF=2，则DF=．

图2-6

4

（2002•盐城）已知：如图2-7，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC

上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE＝45°．

⑴求证：BD•BC＝BG•BE；⑵求证：AG⊥BE；⑶若E为AC的中点，求EF：FD的值．

【例7】（江苏省竞赛题）如图2-8，等腰Rt△ABC中，C90，D为BC中点，将△ABC折叠，使

A点与D点重合，若EF为折痕，则sinBED的值为．

图2-8

【例8】（全国初中数学联赛试题）如图2-9，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的

点，且NMBMBC，则有tanABM．

图2-9

【例9】（天津市竞赛试题）如图2-10，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD

上一点，∠ABE＝450，则tanAEB的值等于（）

A．

2

3

B．2C．

5

2

D．3

图2-10

5

【例10】如图2-11，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AD，点E在对角线AC上，且AE=AB,连接

BE，tan∠ABE=2．若∠DAC=60°，CD=19，则线段BE的长为．

图2-11

【例11】（2010•上海）如图2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与

边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．

⑴若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

⑵若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．

图2-12

【例12】如图2-13，在平面坐标系中，点A(3，0),B(0，4),点C在x轴的负半轴上，且∠OAB=2∠BCO，

求点C的坐标．

图2-13

【例13】如图2-14，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB与点F，

若AB=4，BE=3，则BF的长为．

图2-14

6

【例14】如图2-15，在矩形ABCD中，AB=10，BC=20，若在BC、BD上分别取一点M、N，使得MN+NC

的值最小，则这个最小值为．

图2-15

【例15】如图12-16，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在点G处，若DE=1，CE=2，BC=6，则AF

的长为．

图2-16

版块三12345拓展

若定义符号“2”表示正切值为2的锐角，其余类似，则

"1""1"

⑴．"2"90；

⑵．

"1"



"1"

3

45,"2""3"135；

"1""1"

⑶．2=45；

7

90,"3"

23



2

+45,"3"

32

