阿波罗尼斯圆定理
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2023年3月17日发(作者：送徐无党南归序)第26讲阿波罗尼斯圆
例题精讲
【题目1】动点P(x,y)到定点F1(-c,0),F2(c,o)的距离之比为定值（c,为正数），求
点P（x,y)的轨迹方程。
解：依题意，由距离公式2222)()(ycxycx
化简得
0)1()1(2)1()1(2222222cxcyx······①
（1）当1时，得0x也就是线段F1F2垂直平分线；
（2）当1时，方程①变形得0
1
)1(2
2
2
2
22
cx
c
yx
化成标准形式：2
2
22
2
2
)
1
2
()
1
1
(
cy
ycx，
这是以)0,
1
1
(
2
2
c
为圆心，且半径|
1
2
|
2
cy
r的圆（阿波罗尼斯圆）
【题目2】若在中，，，求面积的最大值。
设，则，根据面积公式得，
······①
根据余弦定理得
阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点A，B,设点P在同一平面上且满足
PB
PA
,当0且1时，
P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆.
当1时P点的轨迹是线段AB的中线.
定理：设)0,(),0,(),,(
21
cFcFyxP若)1(
PB
PA
,则点P的轨迹方程是
2
2
22
2
2
)
1
2
()
1
1
(
cy
ycx，是以)0,
1
1
(
2
2
c
为圆心，半径|
1
2
|
2
c
r的圆（阿波罗尼斯圆）
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆
锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他
的研究成果之一。
将其代入①式得，
，
由三角形三边关系有
xx
xx
22
22
，解得，
故当时，取得最大值
【题目3】
【题目4】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P为侧面BB1C1C内的动点，且PA=2PB，
则P点所形成轨迹图形的长度为（）
以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），
∵P为侧面BB
1
C
1
C内的动点，故点P的纵坐标为1，
设P（x，1，z），则222)01()1(||zxPA
，222)11()1(||zxPB
∵PA=2PB∴22222222))11()1((4))01()1((zxzx
∴点P是以（1,1,0）为圆心，以
3
3
为半径的球与面BB
1
C
1
C内相交的圆面.
∴轨迹圆形的长度为该圆的周长
3
32
3
3
2
巩固练习
1.已知两定点,,如果动点P满足条件,则点P的轨
迹所包围的图形的面积等于()、
A.
B.4C.8D.9
解:已知两定点,,如果动点P满足,设P点的坐标为,
则,即,
所以点的轨迹是以为圆心,2为半径
的圆,
所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于,
2.四棱锥中，平面，底面为梯形，，，
，满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是（）。
A:直线的一部分B:圆的一部分C:椭圆的一部分D:双曲线的一部分
根据题意平面，，所以，，又因为
，所以。于是，
而且点在与垂直的平面内。
设点坐标，，，所以
，化简得，考虑到、、三点构成
三角形，所以。所以点的轨迹为圆的一部分。
3.已知点P到两个定点M(-1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN
的方程.
解：设点P的坐标为(x,y),由题设有=,
即=·,
整理得
x2+y2-6x+1=0.①
因为点N到PM的距离为1,|MN|=2,
所以∠PMN=30°,直线PM的斜率为±
3
3
.
直线PM的方程为y=±
3
3
(x+1).②
将②代入①整理得x2-4x+1=0.
解得x1=2+
3
,x2=2-
3
.
代入②得点P的坐标为(2+
3
,1+
3
)或(2-
3
,-1+
3
);(2+
3
,-1-
3
)或(2-
3,1-3),直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线，设圆的半径
为1，圆心在l上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．