费尔马点

费尔马点

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2023年3月17日发(作者：天翼4g)

费尔马小定理及其应用

费马尔（Fermat）小定理是初等数论中的一个重要定理，数学竞赛中

经常需要用到这个定理.

Fermat小定理设p为质数，a为整数，则).(modpaap特别地，若p

／

a

，则).(mod11pap

例1设

m

、

n

为正整数，

m

是模

m

的一个完系，可知,12,22┄，

m2也是模m的一个完系（完系的定义见1.2节）.所以，由同

余的性质知

nn21),(mod)2(mmn

即m).21)(12(nnnnm

结合（,m1)12n可知结论成立.

说明尽管当

n

为奇数时，对和式nnnm21，可以通过“首

尾配对”，即将nk与nkm)(配对后用因式分解的方法证出

nnnmm21，但在n为偶数时，这种配对就无效了.请仔细体

会证明中“整体处理”的思想.

下面我们将视角换到Fermat小定理的应用上.

例2设n为正整数.证明：337nn的充要条件是1373nn.

证明若337nn，

则7／

n

，

于是，由Fermat小定理，知

),7(mod16n

从而，由337nn，

知33)3(7nnn，

故.1373nn

反过来，若,1373nn

则7∕

n

，

并且33)13(7nnn，

即3637nnn，

利用Fermat小定理知),7(mod16n

故.373nn

命题获证。

说明涉及指数的同余式经常需要用到Fermat小定理，因为由Fermat

小定理得出的结论中，同余式的一边是1，这带来很大的方便.

例3由Fermat小定理知，对任意奇质数p，都有).(mod121pp问：是

否存在合数n，使得)(mod121nn成立？

解这样的合数n存在，而且有无穷多个.其中最小的满足条件的合

数3111341n（它是从两个不同奇质数作乘积去试算出来的）.

事实上，由于11210,3341023

故),341(mod1210

所以),341(mod11234340

故341符合要求.

进一步，设a是一个符合要求的奇合数，则12a是一个奇合数

（这一点利用因式分解可知）。再设,121qaaq为正奇数，则

1212)12(2112aa

122aq

1)2(2qa

112q

).12(mod0a

因此12a也是一个符合要求的数.依此类推（结合341符合要求），可

知有无穷多个满足条件的合数.

说明满足题中的合数

n

称为“伪质数”，如果对任意1),(na都

有)(mod11nan成立，那么合数

n

称为“绝对伪质数”.请读者寻找“绝

对伪质数”.

例4设p为质数.证明：存在无穷多个正整数

n

，使得npn2.

证明如果2p，那么取

n

为偶数，就有npn2，命题成立.

设2p，则由Fermat小定理知

).(mod121pp

因此，对任意正整数k，都有

),(mod12)1(ppk

所以，只需证明存在无穷多个正整数k，使得

)(mod1)1(ppk（这样，令),1(pkn就有)2npn.

而这只需),(mod1pk这样的k当然有无穷多个.

所以，命题成立.

说明用Fermat小定理处理数论中的一些存在性问题有时非常方便、

简洁.

例5设

x

为整数，p是12x的奇质因子，证明：).4(mod1p

证明由于p为奇质数，若p≡／),4(mod1则)4(mod3p，可设

34kp，此时，由),(mod12px得

).(mod1)1()(12122241pxxxkkkp

而由Fermat小定理，应有

),(mod11pxp

结合上式将导出2p.矛盾.

所以，).4(mod1p

说明利用此题的结论，我们可以证明：存在无穷多个模4余1的

正整数为质数.

事实上，若只有有限个质数模4余1，设它们是

n

ppp,,,

21

.考虑

数1)2(2

21



n

ppp的质因子即可导出矛盾.

例6求所有的质数p，使得

p

p121

是一个完全平方数.

解设p是一个满足条件的质数，则显然p是一个奇质数.由Fermat小

定理知

121pp，

而

),12)(12(122

1

2

1

1





pp

p

故122

1



p

p或.122

1



p

p

由于,1)2,12()12,12(2

1

2

1

2

1



ppp

所以，122

1



p

p与122

1



p

p中恰有一个成立.

若122

1



p

p，则由条件及1)12,12(2

1

2

1



pp

可知存在正整数

x

，

使得

2

2

1

12x

p





，

此时,2)1)(1(2

1



p

xx

所以，1x与1x都是2的冥次，而

x

为奇数，故1x与1x是两个相

继的偶数，所以，只能是

,41,21xx

故3x，

此时.7p

若122

1



p

p，则同上知存在正整数x，使得

,122

2

1

x

p





当3p时，导致

),4(mod1122

1

2

p

x

矛盾，故.3p

另一方面，当.3p和7时，

p

p121

分别为1和9，都是完全平方

数.

综上可知3p或7.