1的导数
选官制度-山西注册会计师协会
2023年3月17日发(作者：白云区教育局)1/25
极限与导数
一、复习策略
极限的概念及其渗透的思想在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工
具．
1
、有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数极限的和（或积），在求几个函数的
和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限．
2
、两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不
一定不存在．
3
、对型的极限，要分别通过
“
约去使分母为零的因式、同除以分子、
分母的最高次幂、有理化分子
”
等变形，化归转化后再求极限值．
4
、求函数的极限的几种基本的方法
:
①代入法；②约去分母为零的因式；③分子、分母同除x的最高次幂；④有理化法
5
、函数
f
（
x
）在点
x0处连续必须具备以下三个条件：
函数f（x）在点x=x
0
处有定义;
函数f（x）在点x=x
0
处有极限;
函数f（x）在点x=x
0
处的极限值等于在这一点x0处的函数值，即f（x）=f（x
0
）．
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具．在高中阶段对
于导数的学习，主要是以下几个方面:
1、导数的常规问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微)；
(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线)；
(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于n次多项
式的导数问题属于较难类型．
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2、关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法
快捷简便．
3、导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力
的一个方向，应引起注意．
4、求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；
(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数．
也就是说，首先选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然
后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，
并将中间变量代回为自变量的函数．整个过程可简记为分解——求导——回代．熟练以
后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．
二、典例剖析
例1、在处可导，则________，________．
解：
函数在处可导，则必连续，，
，，∴．
，，∴，．
例2、(08福建)已知函数的导函数的图象如下图，那么
图象可能是()
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解：
从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B答案，再者导函数的
函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出的导函数是减函数，所以原函
数应该增加的越来越慢，排除AC，最后就只有答案D了，可以验证y=g(x)的导函数是
增函数，增加越来越快．
答案：D
例3、若数列{a
n
}的首项为a
1
=1，且对任意n∈N*，a
n
与a
n＋1
恰为方程x2－b
n
x＋cn=0的两
根，其中0＜|c|＜1，当(b
1
＋b
2
＋…＋b
n
)≤3时，求c的取值范围．
解：
首先，由题意对任意n∈N*，a
n
·a
n＋1
=cn恒成立．
∴===c．又a
1
·a
2
=a
2
=c．
∴a
1
，a
3
，a
5
，…，a
2n－1
，…是首项为1，公比为c的等比数列，a
2
，a
4
，a
6
，…，a
2n
，…
是首项为c，公比为c的等比数列．其次，由于对任意n∈N*，a
n
＋a
n＋1
=b
n
恒成立．
∴==c．又b
1
=a
1
＋a
2
=1＋c，b
2
=a
2
＋a
3
=2c，
∴b
1
，b
3
，b
5
，…，b
2n－1
，…是首项为1＋c，公比为c的等比数列，b
2
，b
4
，b
6
，…，
b
2n
，…是首项为2c，公比为c的等比数列，
4/25
∴(b
1
＋b
2
＋b
3
＋…＋b
n
)
=(b
1
＋b
3
＋b
5
＋…)＋(b
2
＋b
4
＋…)
=＋≤3．
解得c≤或c＞1，∵0＜|c|＜1，∴0＜c≤或－1＜c＜0．
故c的取值范围是(－1，0)∪(0，］．
例4、(2006浙江)已知函数=x3＋x2，数列{x
n
}(x
n
＞0)的第一项x
1
=1，以后各项按
如下方式取定：曲线y=f(x)在处的切线与经过(0，0)和(x
n
，f(x
n
))两点的直
线平行(如图)．求证：当n时：
(I)；(II)
证明：(I)∵
∴曲线在处的切线斜率
∵过和两点的直线斜率是
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∴.
(II)∵函数当时单调递增，
而
，
∴，即
因此
又∵
令则
∵∴
因此故
例5、(07山东卷)设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个
极值点，并求出极值．
证明：
6/25
因为，所以的定义域为．
．
当时，如果在上单调递增；
如果在上单调递减．
所以当，函数没有极值点．
当时，
令，得(舍去)，，
当时，随的变化情况如下表：
0
极小值
从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为
．无极大值．
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当时，随的变化情况如下表：
＋
0
－
极大值
从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为
．无极小值．
综上所述：当时，函数没有极值点；
当时，
若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为
，无极大值．
若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为
，无极小值．
例6、(2006湖北)设x=3是函数f(x)=(x2＋ax＋b)e3－x(x∈R)的一个极值点．
(1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；
(2)设＞0，=()．若存在使得||＜1成立，
求的取值范围．
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解：
(1)，
由f′(3)=0得，
所以
，
令f′(x)=0得．
由于x=3是f(x)的极值点，故x
1
≠x
2
，即a≠－4，
当时，，故f(x)在上为减函数，在上为增函数，在
上为减函数．
当a＞－4时，x
1
＞x
2
，故f(x)在(－∞，－a－1]上为减函数，在[－a－1，3]上为增
函数，在[3，＋∞)上为减函数．
(2)当a＞0时，－a－1＜0，故f(x)在[0，3]上为增函数，在[3，＋∞)上为减函数．
因此f(x)在[0，4]上的值域为，
而在[0，4]上为增函数，所以值域为．
注意到，
故由假设知解得．
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故的取值范围是．
例7、定义在(0，＋∞)上的函数，其中e=2.71828…是自然对数
的底数，a∈R.
(1)若函数f(x)在点x=1处连续，求a的值；
(2)若函数f(x)为(0，1)上的单调函数，求实数a的取值范围；并判断此时函数f(x)
在(0，＋∞)上是否为单调函数；
(3)当x∈(0，1)时，记g(x)=lnf(x)＋x2－ax.试证明：对，当n≥2时，有
解：
(1)∵f(1)=1，，
已知f(x)在点x=1处连续，∴有ea－1=1.∴a=1.
(2)当x∈(0，1)时，
此时，，
∵，，∴不可能在(0，1)上恒小于0.
故f(x)在(0，1)上必为增函数.∴－2x2＋ax＋10在(0，1)上恒成立.
在(0，1)上恒成立.
设，x∈(0，1).∵u(x)在(0，1)上是增函数，u(x)＜1.
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∴当a≥1时，f(x)在(0，1)上是增函数.
当a=1时，f(x)在(0，＋∞)上也是增函数；
当a＞1时，∵，
此时，f(x)在(0，＋∞)上不是增函数.
(3)当x∈(0，1)时，g(x)=lnf(x)＋x2－ax=lnx.当n≥2时，
欲证，
即证
需证
即需证
猜想：，其中t∈(0，1).
下面证明之.构造函数，t∈(0，1).
∵，∴h(t)在(0，1)上是减函数，而，
∴h(t)＞0，即有同理，设s(t)=lnt－t＋1，t∈(0，1).
∵，∴s(t)在(0，1)上是增函数，而，
∴s(t)＜0，即有故有，其中t∈(0，1).
分别取，有
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，
，
，
…
相加，得
即
∴
即
∴
冲刺练习
一、选择题
1、[n(1－)(1－)(1－)…(1－)]等于（）
A．0B．1
C．2D．3
2、数列{a
n
}中，a
1
=，a
n
＋a
n＋1
=，n∈N*，则(a
1
＋a
2
＋…＋a
n
)等于（）
12/25
A．B．
C．D．
3、已知的值是（）
A．B．0
C．8D．不存在
4、在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个
数是（）
A．3B．2
C．1D．0
5、设f
0
(x)=sinx，f
1
(x)=f
0
′(x)，f
2
(x)=f
1
′(x)，…，f
n＋1
(x)=f
n
′(x)，n∈N，则f
2005
(x)=（）
A．sinxB．－sinx
C．cosxD．－cosx
6、已知对任意实数，有，，且时，，
，则时（）
A．，
B．，
C．，
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D．，
7、经过原点且与曲线y=相切的方程是（）
A．x＋y=0或＋y=0B．x－y=0或＋y=0
C．x＋y=0或－y=0D．x－y=0或－y=0
8、已知函数f(x)=函数f(x)在哪点连续（）
A．处处连续B．x=1
C．x=0D．x=
9、已知二次函数的导数为，，对于任意实数，都
有，则的最小值为（）
A．3B．
C．2D．
10、设函数，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则
当时，与的大小关系是（）
14/25
A．B．
C．D．与的大小不确定
[提示]
二、填空题
11、=__________．
12、曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积
为=__________．
13、设f(x)=x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)=__________．
14、若直线y=3x＋1是曲线y=x3－a的一条切线，则实数a的值是_______．
15、函数y=f(x)的导函数的图象如下图所示，给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间(－3，－)内单调递增;
②函数y=f(x)在区间(－，3)内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4，5)内单调递增;
④当x=2时，函数y=f(x)有极小值;
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⑤当x=－时，函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是_____________．
16、已知函数f(x)=ax3＋bx2＋cx在点x
0
处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点
(0，1)，(2，0)，如图所示.求：
(Ⅰ)x
0
的值；
(Ⅱ)a，b，c的值.
[答案]
三、解答题
17、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方
程为．
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；
(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间．
[答案]
18、(08江苏卷17)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点
P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的
区域上(含边界)，且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管
道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．
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(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式．
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道
总长度最短．
[答案]
19、设数列a
1
，a
2
，…，a
n
，…的前n项的和S
n
和a
n
的关系是S
n
=1－ba
n
－，其
中b是与n无关的常数，且b≠－1．
(1)求a
n
和a
n－1
的关系式；
(2)写出用n和b表示a
n
的表达式；
(3)当0＜b＜1时，求极限S
n
．
[答案]
20、已知f(x)=ax－ln(－x)，x∈[－e，0)，，其中e=2.71828…是自然对
数的底数，a∈R.
(1)若a=－1，求f(x)的极值；
(2)求证：在(1)的条件下，；
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(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，
说明理由．
1-5CCCDC6-10BADCB
提示：
1、原式=［n××××…×］==2．
2、2(a1＋a2＋…＋an)=a1＋［(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an－1＋an)］＋an=＋[＋
＋…＋]＋an．∴原式=［＋＋an］=(＋＋an)．∵an＋an＋
1=，∴an＋an＋1=0，∴an=0．∴原式＝,选C．
3、，
．
4、=3x2－8，由题意得0＜3x2－8＜1，解之得或，
其中整数x的可取值为0个，选(D)．
5、，
由此继续求导下去，四个一循环，
又2005故选C.
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6、由已知f(x)为奇函数，图像关于原点对称，在对称区间的单调性相同;g(x)为
偶函数，在对称区间的单调性相反，当x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，递增，当x
＜0时，f(x)递增，f′(x)＞0;g(x)递减，g′(x)＜0．
7、设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k=，另一方面，y′=()′=，
故y′(x0)=k，即或x0
2＋18x0＋45=0，得x0(1)=－3，x0(2)=
－15，对应有y0(1)=3，y0(2)=，因此得两个切点A(－3，3)或B(－15，)，从
而得
y′(-3)==－1及y′(-15)=，由于切线过原点，故得切
线：
lA:y=－x或lB:y=－．
8、f(x)=f(x)=f()．
9、＝，依题意，有：，可得，＝
＝＋1≥2＋1≥2＋1＝2，故选(C)．
10、与的图象在轴上有公共点，∴.
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∵，，由题意，∴
令，则
．
∴在其定义域内单调递减，∵，∴当时，，即
.
11、
解析：
12、±1
解析：∵=3x2，∴在(a，a3)处切线为y－a3=3a2(x－a)，令y=0，得切线与x轴交
点()，切线与直线x=a交于(a，a3)，∴曲线处的切线与
x轴、直线所围成的三角形的面积为S=，令S=，解得a=±1.
13、n!
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解析：设g(x)=(x＋1)(x＋2)……(x＋n)，则f(x)=xg(x)，于是f′(x)=g(x)＋xg′
(x)，
f′(0)=g(0)＋0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！．
14、－3或1
解析：设切点为P(x0，y0)，对y=x3－a求导数是=3x2，∴3x0
2=3.∴x0=±1.
(1)当x=1时，∵P(x0，y0)在y=3x＋1上，∴y=3×1＋1=4，即P(1，4).
又P(1，4)也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3.
(2)当x=－1时，∵P(x0，y0)在y=3x＋1上，∴y=3×(－1)＋1=－2，即P(－1，－
2).
又P(－1，－2)也在y=x3－a上，∴－2=(－1)3－a.∴a=1.
综上可知，实数a的值为－3或1.
15、③
解析：当x∈(4，5)时，恒有f′(x)＞0.
16、解法一：
(Ⅰ)由图像可知，在(－∞，1)上f′(x)＞0，在(1，2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)
上f′(x)＞0
故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上递增，在(1，2)上递减，
因此f(x)在处取得极大值，所以．
(Ⅱ)
由f′(1)=0，f′(2)=0，f(1)=5．
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得
解得a=2，b=－9，c=12.
解法二：
(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ)设
又
由f(1)=5，即得m=6．
所以a=2，b=－9，c=12．
17、解：(Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0，2)，知d=2，
所以
由在M(－1，f(－1))处的切线方程是，知
故所求的解析式是
22/25
(Ⅱ)
解得
当
当
故内是增函数，在内是减函数，
内是增函数．
18、(Ⅰ)①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则，故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为．
②若OP=x(km)，则OQ＝10－，所以OA=OB=．
所求函数关系式为．
(Ⅱ)选择函数模型①，
．
23/25
令0得，因为，所以=，
当时，，是的减函数；当时，，是的
增函数，所以当=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，且距
离AB边km处．
19、解：(1)an=Sn－Sn－1=－b(an－an－1)－
=－b(an－an－1)＋(n≥2)．
解得an=(n≥2)．
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20、(1)∵f(x)=－x－ln(－x)，f′(x)=－1，
∴当－e＜x＜－1时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，当－1＜x＜0时，f′(x)
＞0，
此时f(x)单调递增，∴f(x)的极小值为f(－1)=1．
(2)∵f(x)的极小值即f(x)在[－e，0)上的最小值为1，∴|f(x)|min=1，
令h(x)=g(x)＋，又∵，∴当－e＜x＜0时，h′(x)
＜0，且h(x)在x=－e处连续．
∴h(x)在[－e，0)上单调递减，∴h(x)max=h(－e)=
∴当x[－e，0)时，
(3)假设存在实数a，使f(x)=ax－ln(－x)有最小值3，[－e，0)，f′(x)=，
①当a≥时，由于(－e，0)，则f′(x)=a且f(x)在x=－e处连续．
∴函数f(x)=ax－ln(－x)是[－e，0)上的增函数，∴f(x)min=f(－e)=－ae－1=3，
解得a=(舍去).
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②当a＜时，则当－e＜x＜时，f′(x)=a此时f(x)=ax－ln(－x)是
减函数，
当时，f′(x)=a此时f(x)=ax－ln(－x)是增函数，
∴f(x)min=f()=1－ln()=3，解得a=－e2.
由①、②知，存在实数a=－e2，使得当[－e，0)时f(x)有最小值3．