极化恒等式向量公式
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2023年3月17日发(作者：预习琥珀)1
极化恒等式
1.公式推导
2
22
22
2
22
2
1
4
2
abaabb
ababab
abaabb
在△ABC中，D是边BC的中点，则
22ABACADDB
如图，由
222
22
2111
222
ABACABACABACADCBADDB
得证
类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”
2.几何意义
向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
1
4
2
【例1】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA
→
·CA
→
＝4，BF
→
·CF
→
＝－1
则BE
→
·CE
→
的值是____
【解法1】(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系xoy
如图：设A(3a，3b)，B(－c，0)，C(－c，0)
则有E(2a，2b)，F(a，b)
BA
→
·
CA
→
＝(3a＋c，3b)·(3a－c，3b)＝9a
2
－c
2
＋9b
2
＝4
BF
→
·
CF
→
＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a
2
－c
2
＋b
2
＝－1，则a
2
＋b
2
＝
5
8
，c
2
＝
13
8
BE
→
·
CE
→
＝
(
2a－c，2b
)
·
(
2a－c，2b
)
＝4a
2
－c
2
＋4b
2
＝
7
8
.
【解法2】(基向量)BA
→
·CA
→
＝(
DA
→
－
DB
→)(
DA
→
－
DC
→)＝
4AD
→
2
－
BC
→
2
4
＝
36FD
→
2
－
BC
→
2
4
＝4
BF
→
·CF
→
＝(
DF
→
－DB
→)
·
(
DF
→
－DC
→)＝
4FD
→
2
－BC
→
2
4
＝－1
因此FD
→
2
＝
5
8
，BC
→
＝
13
2
BE
→
·CE
→
＝(
DE
→
－
DB
→)
·
(
DE
→
－
DC
→)＝
4ED
→
2
－
BC
→
2
4
＝
16FD
→
2
－
BC
→
2
4
＝
7
8
3
【例2】如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，点B，
C分别在m，n上，|AB
→
＋AC
→
|＝5，则AB
→
·AC
→
的最大值是___
【解法1】(坐标法)以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy
如图则A
(
0，3
)
，C
(
c，0
)
，B
(
b，2
)
，则AB
→
＝
(
b，－1
)
，AC
→
＝
(
c，－3
)
从而
(
b＋c
)2
＋
(
－4
)2
＝5
2
，即
(
b＋c
)2
＝9
又AC
→
·AB
→
＝bc＋3≤
(
b＋c
)2
4
＋3＝
21
4
，当且仅当b＝c时，等号成立
【解法2】(极化恒等式)连接BC，取BC的中点D，AB
→
·AC
→
＝AD
2
－BD
2
又AD＝
1
2
|
AB
→
＋
AC
→|＝
5
2
故
AB
→
·AC
→
＝
25
4
－BD
2
＝
25
4
－
1
4
BC2
又BC
min＝3－1＝2
所以(
AB
→
·AC
→)
max＝
21
4
4
巩固1.在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若AB
→
·AD
→
＝－7，则BC
→
·DC
→
的值是____
【解析】因为AB
→
·AD
→
＝AO
→
2
－
1
4
BD
→
2
＝9－
1
4
BD
→
2
＝－7⇒
1
4
BD
→
2
＝16，所以BC
→
·DC
→
＝CO
→
2
－
1
4
BD
→
2
＝25－16＝9
巩固2.在△ABC中，M是边BC的中点AM＝3，BC＝10，
AB
→
·
AC
→
＝____
【解析】AB
→
·AC
→
＝
1
4
[(
AB
→
＋
AC
→)2
－(
AB
→
－
AC
→)2]＝AM
→
2
－
1
4
BC
→
2
＝9－
1
4
×100＝－16
巩固3.在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则PB
→
·PC
→
＋BC
→
2
的最小值是____
【解析】取BC边的中点M，连接PM，设点P到BC边的距离为h
则S
△
ABC
＝
1
2
·
|
BC
→|
·2h＝2⇒
|
BC
→|＝
2
h
，PM≥h
所以
PB
→
·
PC
→
＋
BC
→
2
＝
PM
→
2
－
1
4
BC
→
2
＋
BC
→
2
＝
PM
→
2
＋
3
4
BC
→
2
＝
PM
→
2
＋
3
h2
≥h2
＋
3
h2
≥2
3
当且仅当|
PM
→|＝h，h
2
＝
3
时，等号成立
巩固
4.
在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP
→
＝AB
→
＋λAC
→
，且BP
→
·CP
→
＝1，则实数λ
的值为__
【解析】因为AP
→
＝AB
→
＋λAC
→
⇒BP
→
＝AP
→
－AB
→
＝λAC
→
所以
BP
→
·
CP
→
＝λAC
→
·
(
AP
→
－AC
→)＝λAC
→
·[(
AB
→
＋λAC
→
)－
AC
→
]＝λ
(
λ－1
)
AC
→
2
＋λAB
→
·
AC
→
＝4λ
(
λ－1
)
＋λ＝1
5
故λ＝1或－
1
4
巩固
5.
在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，OP
→
·BP
→
最小值是____
【解析】如图取OB的中点D，连结PD
OP
→
·BP
→
＝PD
2
－OD
2
＝PD
2
－
1
4
，即求PD的最小值
由图可知：当PD⊥AB时，PD
min＝
3
4
，则OP
→
·BP
→
的最小值是－
1
16
巩固
6.
已知AB为圆
O
的直径，M为圆
O
的弦
CD
上一动点，
8AB
，
6CD
，则MAMB
的范围是
【解析】如图
2221
16
4
MAMBMOBAMO
749,0OCOMOGOMMAMB
巩固
7.
如图，在四边形ABCD中，
4AC
，12BABC
，E为AC的中点
（1）若
12
cos
13
ABC，求ABC的面积
ABC
S
（2）若2BEED
，求DADC
的值
6
【解析】（1）
12
cos
13
ABC，0,ABC
，
2125
sin1
1313
ABC
12
12cos
13
BABCBABCABCBABC
13BABC，
1155
sin13
22132ABC
SBABCABC
22222
22111
122412
444
422
2BABCBABCBABCBECABECABE
BEBEEDED
，
（）
222
211
20
44
DADCDADCDADCDEAC
巩固
8.
如图，在ABC中，已知
4,6,60ABACBAC
，点
,DE
分别在边
,ABAC
上，且
2,3ABADACAE
，若F为DE的中点，则BFDE
的值为________.
【解析】取BD的中点N，连接
,NFEB
，则23BEAEBE
在DEB中，
1
//3
2
FNEBFN
2221
22214
4
BFDEFBFDFNDBFNBFDE
7
8
巩固
9.
（2019·苏州模拟）如图，在平面四边形ABCD中，
ABBC
，
ADCD
，
60BCD
，23CBCD.
若点
M
为边
BC
上的动点，则AMDM
uuuruuuur
的最小值为
【解析】设E是AD的中点，作ENBC于N，延长CB交DA的延长线于F
由题意可得：36,243FDCDFCCD
232,4BFABFA
2AD
5
4
ENEF
ABFA
5
2
EN
则
2
222
2
521
111
24
AMDMMAMDMEEAMEEN
所以
min
21
4
AMDM
9
巩固
10.
在△ABC中，已知3AB，
3
C
，则CACB
的最大值为
【解析】设D是AB的中点，连接CD，点O是△ABC的外心，连接DO并延长交圆O于'C
由△'ABC是等边三角形，
33
'
22
ADCD
则
2
2
222233333
'
24242
CACBCDDACDCD
所以
max
3
2
CACB
巩固11.在ABC中，点
,EF
分别是线段
,ABAC
的中点，点P在直线EF上，若ABC的面积为2，则
2PBPCBC
的最小值是____________
【解析】取BC中点O
2222222133
23
444
PBPCPOBCPBPCBCPOBCPOBCPOBC
13
3323
22ABC
POhPOBChBCS
2
min
23PBPCBC