龙格现象
紫罗兰的花语-加工中心编程软件
2023年3月16日发(作者：青绿山水画)第2章
复习与思考题
1、什么是拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质
答：形如
0
1
()
n
i
n
i
ii
ik
xx
lx
xx
的基函数称为n节点的拉格朗日插值基函数。
主要性质有
1）
,
0,
()
1,nkk
ik
lx
ik
2）()1
n
lx
2、什么是牛顿基函数？它与单项式基2{1,x,x,...,x}n有何不同
答：牛顿差值基函数为
00101
{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}
n
牛顿差值基函数中带有常数项
01
,,...
n
xxx，这有单项式基不同。
3、什么是函数的n阶均差？它有何重要性质
答：形如01n2n01n2n-1
01n
1
[,,...,,][,,...,,]
[,,...]
nn
fxxxxfxxxx
fxxx
xx
称为()fx的k阶均差
具有以下的基本性质
1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用）
K阶均差可以表示为函数值
0
()fx，
1
()fx，…
n
()fx的线性组合，即
k
j
01k
j0
j0jj-1jj+1j
()
[,,...]
-
k
fx
fxxx
xxxxxxxx（）...()()...()
2）由性质1和k阶均差的性质
0101k-1
01
0
[,,...,][,,...,]
[,,...]k
k
k
fxxxfxxx
fxxx
xx
（分子前项多xk）
3）若(x)f在[a,b]上存在n阶导数，且节点
01n2n
,,...,,[a,b]xxxx，则n阶均差与导数的
关系为
1
01
()
[,,...]
!
n
n
f
fxxx
n
4、写出n+1个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异同
答：
n+1个点的拉格朗日插值多项式
00
0
()()
n
nn
i
nkkk
kk
i
ik
ik
xx
Lxylxy
xx
，(j1,2,....,n)
n+1个点的牛顿插值多项式
01
[,,...,]
kk
afxxx,(k1,2,....,n)
两者的主要差异是未知数不一致。
拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。
牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。与一般多项式基本相同。
5、插值多项式的确定相当于求解线性方程组Axy，其中系数矩阵A与使用的基函数有
关。y包含的是要满足函数值
01
(,,...)T
n
yyy，用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵A中
非零元素的分布。
1）单项式基底
2）拉格朗日基底
3）牛顿基底
答：
1）单项式基底为2{1,x,x,...,x}n
，已知数为012
{,,,...,}
n
xxxx
则未知数为012
{,,,...,}
n
aaaa
，则系数矩阵为
12
000
12
111
12
222
12
1...
1...
1...
...............
1...
n
n
n
n
nnn
xxx
xxx
A
xxx
xxx
，无非零元素。
2）拉格朗日基底为01
{(),(),...,()}
n
lxlxlx
，已知数为012
{,,,...,}
n
yyyy
未知数为01
{(),(),...,()}
n
lxlxlx
，则系数矩阵为
未找到相关资料。
3）牛顿基底为
00101
{1,(xx),(xx)(xx),...,(xx)(xx)...(xx)}
n，已知数为
012
{,,,...,}
n
xxxx
，未知数为012
{,,,...,}
n
aaaa
，则系数矩阵为
10
202021
1
001
0
100...0
10...0
1()()...0
...............
1()()...()
n
nnnnj
j
xx
xxxxxx
A
xxxxxxxx
，为下三角矩阵，矩阵的上三角元
素为0。
6、用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低至
高给出排序
答：按照计算工作量，排序如下：
牛顿插值、拉格朗日插值、多项式插值
7、给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差
答：拉格朗日插值多项式余项
1
1
()
()()()()
(n1)!
n
nnn
f
RffxLxx，进行误差估计时，对1()nf进行适当缩放即可。
牛顿插值多项式余项
011
()()()[,,...,]()
nnnn
RffxPxfxxxx，可以直接求出。
8、埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值
公式？
答:埃尔米特插值最显著的特征是：即要求节点上的函数值相等，同时也要求节点上的到数
值相等，甚至高阶导数值相等。
泰勒公式
2
00
00000
()()
()()()()()...()
2!!
n
n
n
fxfx
Pxfxfxxxxxxx
n
就是牛顿插值公式具有n重根
0
()xx时的特殊形式，即
0
()xx的极限形式。
也是n阶导数值相等的埃尔米特插值公式。
9、为什么高次多项式插值不能令人满意？分段地刺插值与单个高次多项式插值相比有何优
点？
答：根据龙格（Ronge）发现的现象，发现高次多项式插值()
n
Lx近似()fx的效果并不好。
产生的主要原因是计算时的舍入误差引起。
10、三次样条插值三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由。
答：三次埃尔米特插值要求给出节点上的函数值和导数值，只有一阶导数连续。
三次样条插值要求给出各节点的函数值和区间的边界值，具有二阶导数连续。
从上可以看出，三次样条插值更优越，对节点的要求较低，具有二阶导数连续（插值函
数更光滑）。
11、判断下列命题是否正确？
（1）对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多。
（2）如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。
（3）l
i
(x)(i=0,1,„,n)是关于节点x
i
(i=0,1,„,n)的拉格朗日插值基函数，则对任何次
数不大于n的多项式P(x)都有
0
()()()
n
ii
i
lxPxPx。
（4）当f(x)为连续函数，节点x
i
(i=0,1,„,n)为等距节点，构造拉格朗日插值多项式
L
n
(x)，则n越大L
n
(x)越接近f(x).
（5）同上题，若构造三次样条插值函数S
n
(x)，则n越大得到的三次样条函数S
n
(x)越
接近f(x).
（6）高次拉格朗日插值是很常用的。
（7）函数f(x)的牛顿插值多项式P
n
(x)，如果f(x)的各阶导数均存在，则当x
i
x
0
(i=1,
2,„,n)时，P
n
(x)就是f(x)在x
0
点的泰勒多项式。
答：
1）错，因为插值函数唯一
2）对
3）对，因为余项等于0
4）错，典型的例子是龙格现象
5）对，n越大，说明步长0h，此时S（X），S’(X)和S’’（X）均一致收敛于f（X），f’(X)
和f’’（X）。
6）错。典型的例子是龙格现象
7）对。
习题
1、当1,1,2x时，()0,3,4fx，求)(xf的二次插值多项式。
1）用单项式基底
2）用拉格朗日插值基底
3）用牛顿插值基底
解：
1）用单项式基底，设
2
210
axaxay，则范德蒙系数矩阵
12
00
12
11
12
22
1111
1111
1124
xx
Axx
xx
行列式化简有
11101110
|y11130203
12440134
11101110
01340134
02030065
A
解得
0
1
2
7/3
1.5
5/6
a
a
a
所以
2
5
1.57/3
6
xxy
2）使用拉格朗日插值计算
0201
12
012
22
()()()()
()()
()
()()()()()()
(1)(2)(1)(2)(1)(1)
0(3)4
(11)(1)(2)(3)(1)(3)
(1)(2)4(1)(1)
0
23
324(
2
n
xxxxxxxx
xxxx
Lxyyy
xxxxxxxxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxx
22
2
2
1)
3
3968(1)
66
537
623
57
1.5
63
xxx
xx
xxy
3）使用牛顿插值计算
2001001201
()()[,]()[,,]()()Pxfxfxxxxfxxxxxxx
均差表
k
x()
k
fx
一阶均差二阶均差
10
01
[,]fxx=3/2
012
[,,]fxxx
=
5/6
-1-3
12
[,]fxx
=
7/3
24
所以
2
2
2
5
()01.5(1)(1)(1)
6
5
=1.5(1)(1)
6
57
1.5
63
Pxxxx
xx
xx
从三种插值方法得出的插值函数一致，得证。
2、给出()lnfxx的数值表用线性插值及二次插值计算
54.0ln
的近似值。
X0.40.50.60.70.8
xln-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144
解：
由于未限制插值函数的类型，可以使用单项式插值、拉格朗日插值和牛顿插值。
计算方法同题1.
本题线性插值选用拉格朗日插值方法。
选择接近0.54值的两个插值节点x0=0.5和x1=0.6,则y0=0.693147,y1=0.510826
0
1
01
0110
()
()
()
()()
(0.6)(0.5)
(0.693147)(0.510826)
0.10.1
1.82321-1.604752
n
xx
xx
Lxyy
xxxx
xx
x
从而(0.54)1.823210.54-1.604752=-0.620278
n
L
本题二次插值选用牛顿插值方法
选择接近0.54值的三个插值节点
x0=0.4,x1=0.5和x2=0.6,则y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826
则有均差表
k
x()
k
fx
一阶均差二阶均差
0.4
-0.916291
01
[,]fxx=2.23144
012
[,,]fxxx
=
-2.04115
0.5
-0.693147
12
[,]fxx
=
1.82321
0.6
-0.510826
2
2
()(0.4)(0.4)(0.5)
2.041154.0444452.21709
0.9162912.231442.04
7
115Pxxxx
xx
2
(0.54)-0.61531984P
3、给出cosx
,
090x的函数表，步长1(1/60)h，若函数具有5位有效数字，
研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。
解：拉格朗日插值余项表达式为
1
1
()
()()()()
(n1)!
n
nnn
f
RffxLxx
线性插值时n=1，
总误差界
1()cos1
|()||()||()|
(n1)!22
nf
xxx
由于步长取
1(1/60)h
，换算成弧度有
41(/10800)=2.908910h
所以
4()=0.510x
因此，总误差界
1
4
()cos1
|()||()||()|=0.2510
(n1)!22
nf
xxx
此题解法错误，原因是
①使用的方法错误
②理解题意错误，“函数具有5位有效数字”，表示5
00
1
10
2
yy
正确解法如下：
总误差=函数本身的误差（5位有效数字产生的误差）+使用插值方法带来的误差。
设插值节点为
010
xxxxh，对应的xcos值为
10
,yy，函数表值为
10
,yy，则由题意
可知，5
00
1
10
2
yy，5
11
1
10
2
yy，近似线性插值多项式为
0
1
101
0110
()
xx
xx
Lxyy
xxxx
，所以总误差为
1111
()()()()()()()RxfxLxfxLxLxLx
111
2
0
1
010011
0110
0
1
010011
0110
()|()()()()|
()
=|()()(()())|
2
cos()
|()()||()||||()|||
2
RxfxLxLxLx
xx
xx
f
xxxxyyyy
xxxx
xx
xx
xxxxyyyy
xxxx
所以
0
1
010011
0110
55
0
1
01
0110
1
()cos()()
2
111
()()1010
222
xx
xx
Rxxxxxyyyy
xxxx
xx
xx
xxxx
xxxx
其中
①01
()()xxxx
的最值求解如下：
令
01
()()()fxxxxx
则当
1001
()()()2()0fxxxxxxxx时，即
100
()/2
2
h
xxxx
2
01
()()()
4
h
fxxxxx取最大值。
③利用基函数之和等于1的性质
55
0
1
0110
55
0
1
0101
11
1010
22
11
10()10
22
xx
xx
xxxx
xx
xx
xxxx
④
2
27
1
1()=/10800
60180
/466560000=0.2115410
4
h
h
所以
2
5755
111
()100.1057710100.501057710
2422
h
Rx
总误差限5()0.501057710Rx
本题的关键在于，三角函数的变量是弧度，因此角度必须使用弧度来计算。
有一种解法（我认为不对），将角度未换算成弧度，计算结果为
2
555
11111
()10103.4710
2422144002
h
Rx
4、设
(0,1,,)
j
xjn
为互异节点，求证：
1）
0
()(0,1,,)
n
kk
jj
j
xlxxkn；
2）
0
()()0(1,2,,)
n
k
jj
j
xxlxkn；
1）
证：
当
()kfxx时，利用拉格朗日插值余项公式有
1
11
()0
()()()()()0
(n1)!(n1)!
n
nnnn
f
RffxLxxx
所以()()
n
fxLx
即
0
()(0,1,,)
n
kk
jj
j
xlxxkn
2）
证：
利用式1，有
0
00
()()
=-)()
-,(=0,2....)
-(=01,2....)
n
k
jj
j
nk
iikii
kjj
ji
iiiki
k
iik
k
xxlx
Cxxlx
Cxxik
Cxik
（1）
（1），，
（1），，，
现在的问题是如何证明-=1(=01,2....)ii
k
Cik（1），，，
当
k
为基数时，
1
(1)(1)0,(0,1,....)
2
iikiki
kk
k
CCi
所以
0
()()0
n
k
jj
j
xxlx
当K为偶数时，（书上第28页有例题，但是该如何证明？？）
即得证：0
()()0
n
k
jj
j
xxlx
证法2：
令()()kfyyx，
0
()()
n
k
jj
j
xxlx是()fy的拉格朗日插值多项式，令yx
0
()()()()0
n
kkk
j
j
yxlxyxxx。
这种证法难以理解，感觉理论依据不明细。
5、设2(),fxCab且()()0fafb，求证2
1
max()()max()
8axbaxb
fxbafx。
解：利用拉格朗日插值
1
111
1
1
()
()()()()()()
(1)!
()
()
(1)!
n
n
n
n
f
fxlafalbfbx
n
f
x
n
()1
|()||(-)(-)||()||(-)(-)|
22
f
fxxaxbfxaxb
其中，
令
()=(-)(-)
()=2()
fyyayb
fyyab
当()=0fy时，
a+b
=
2
y，|()|fy取最大值
2()
4
ba
所以有
22
()1
max|()||(-)(-)||()||(-)(-)|
22
()()
=|()|max|()|
88
axb
axb
f
fxxaxbfxaxb
baba
ffx
得证。
6、在
44x
上给出
xexf)(
的等距节点函数表，若用二次插值求
xe
的近似值，要使
截断误差不超过
610
，问使用函数表的步长h应取多少？
解：根据拉格朗日插值余项
4
3
012
()()
|()||()()()||(1)(2)||||(1)(2)|
3!66
ffe
Rxxxxxxxttthttth令
2
()(1)(2)
()(1)(2)(2)(1)
362
ftttt
fttttttt
tt
当()=0ft时，
3
=1
3
t，|()|ft取最大值
23
9
要使其不超过
610
，则有
4
436
233
|()|||||=10
6927
e
Rxheh
如是
34666931015.5880.018315100.28550410he
22
30.28550410=0.65810h
7、证明n阶均差有下列性质：
1）若(x)=()Fcfx，则
],,,[],,,[
1010nn
xxxcfxxxF
；
2）若
)()()(xgxfxF
，则
],,,[],,,[],,,[
101010nnn
xxxgxxxfxxxF
。
依据均差性质第1条证明
证：
1）
01
0
0
0
0
0
0
01
()
[,,...]
()
()
()
()
()
[,,...]
n
j
n
n
j
jk
k
kj
n
j
n
j
jk
k
kj
n
j
n
j
jk
k
kj
n
Fx
Fxxx
xx
cfx
xx
fx
c
xx
cfxxx
2）
01
0
0
0
0
00
00
0101
()
[,,...]
()
()()
()
()()
()()
[,,...][,,...]
n
j
n
n
j
jk
k
kj
n
jj
n
j
jk
k
kj
nn
jj
nn
jj
jkjk
kk
kjkj
nn
Fx
Fxxx
xx
fxgx
xx
fxgx
xxxx
fxxxgxxx
8、13)(47xxxxf，求]2,,2,2[710f，018[2,2,,2]f
。
解：
依据均差性质第3条证明
(n)
01
()
[,,...]
!n
f
fxxx
n
(7)
017
(8)
018
()7!1
[2,2,...,2]1
7!7!
()8!0
[2,2,...,2]0
8!8!
f
f
f
f
9、证明：
1
()
kkkkkk
fgfggf
根据题意，此为1阶差分公式证明。使用前插公式证明
证：根据差分公式定义（书第33页）
1kkk
fff
于是有
1
111
1111
11
()()
()
kkkk
kkkkkk
kkkkkkkk
kkkk
kk
fggf
fgggff
fgfgfgfg
fgfg
fg
10、
11
001
00
nn
kknnkk
kk
fgfgfggf
解：利用上题的结论
对公式进行变换，有
11
1
00
1
1
0
1
0
100
00
()
()()...()
nn
kkkk
kk
n
kkkk
k
n
kk
k
nnnnnnnnnn
nn
fggf
fggf
fg
fgfgfgfgfgfgfgfg
fgfg
11、证明
1
2
0
0
n
jn
j
yyy
根据n阶差分的定义
证：
n阶差分的公式为
11
1
nnn
kkk
yyy
因此，对公式左端展开，有
1
2
11221100
0
()()...()
n
jnnnnnn
j
yyyyyyyyyyy
12、若n
n
n
n
xaxaxaaxf
1
110
)(
有n个不同实根
n
xxx,,,
21
，证明
1,
20,0
)(1
1
nka
nk
xf
x
n
n
j
j
k
j。
利用均差性质1和性质3
证：
根据题意，对()fx改写
01
()()()...()
nn
fxaxxxxxx
则1
0
()()=()
n
nkjnn
k
kj
fxaxxax
根据均差性质1
令()k
jj
Fxx
有
01
0
1
0
0
()
[,,...]
()
()
=
1
()
()
n
j
n
j
nj
n
j
j
j
n
k
n
j
n
j
j
Fx
Fxxx
x
Fx
fx
a
x
a
fx
根据均差性质2
令()k
jj
Fxx
有
01
()
[,,...],[,]
!
n
n
F
Fxxxab
n
即
01
0
()
[,,...],[,]
()!
k
n
n
j
nn
j
j
x
F
Fxxxaab
fxn
当
02kn
时，
()0nF
当
=n1k
时，
()!nFn
所以
1,
20,0
)(1
1
nka
nk
xf
x
n
n
j
j
k
j
13、求一个次数小于等于3的多项式)(xP，使它满足
00
()()Pxfx，
00
()()Pxfx
，
00
()()Pxfx
，
11
()()Pxfx
根据题意，由于涉及到了节点函数值、节点函数导数值相等，故应该使用埃尔米特插值公式
进行求导
解：由已知条件，此插值多项式节点为2，已知条件数为4，埃尔米特插值次数不超过3。
需要构造一个3次多项式，但一只节点只有2个，设另一个节点为A，次数为3的变量系数
为B，有
001010
()()[,]()()()()PxfxfxxxxBxAxxxx
当
0
xx时
0001001
'()'()[,](A)()PxfxfxxBxxx
0001
()()(2A)PxfxBxx
所以
01
01
2
01
2
[,]
()
Axx
fxx
B
xx
即所求多项式为
01
00100110
2
01
[,]
()()[,]()(2)()()
()
fxx
Pxfxfxxxxxxxxxxx
xx
14、求一个次数小于等于3的多项式)(xP，使它满足
(0)0P，(0)1P
，(0)1P，(1)2P
根据题意，由于涉及到了节点函数值、节点函数导数值相等，故应该使用埃尔米特插值公式
进行求导
解：由已知条件，此插值多项式节点为2，已知条件数为4，埃尔米特插值次数不超过3。
需要构造一个3次多项式，但一只节点只有2个，设另一个节点为A，次数为3的变量系数
为B，有
001010
()()[,]()()()()
0()(1)
PxfxfxxxxBxAxxxx
xBxxAx
当
0x
时
'(0)1A1PB
当
1x
时
'(1)1(1)2PBA
所以
2
0.5
B
A
32()2(0.5)(1)232Pxxxxxxxx
15、证明2点3次埃尔米特插值余项是
(4)
22
311
()
()()(),[,]
4!kkkk
f
Rxxxxxxx
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限
两点三次插值是埃尔米特插值的典型例子，书上第37页～39页有证明。在此不在证明。
16、求一个次数不高于4次的多项式()Px，使它满足(0)(0)0PP
，(1)(1)1PP
，
(2)1P。
由题意可知，一只函数节点的导数值，使用埃尔米特插值求解。
解：由已知条件，此插值多项式节点为3，已知条件数为5，埃尔米特插值次数不超过4。
需要构造一个4次多项式，但已知节点只有3个，设另一个节点为A，次数为4的变量系数
为B，有
001001201
012
001012
()()[,]()[,,]()()
()()()()
01()0.5()()()()()()
0.5(1)()()(1)(2)
Pxfxfxxxxfxxxxxxx
BxAxxxxxx
xxxxxxBxAxxxxxx
xxxBxAxxx
()10.5(21)(()()(1)(2))PxxBxAxxx
当
0x
时
'(0)1.5(3)0PBA
当
1x
时
'(1)0.5(1)1PBA
解得：
3
0.25
A
B
22
()0.5(1)0.25(3)()(1)(2)
(3)
4
Pxxxxxxxx
xx
17、设)1/(1)(2xxf，在
55x
上取
10n
，按等距节点求分段线性插值函
数)(xI
h
，计算各节点中点处的)(xI
h
与
)(xf
的值，并估计误差。
题目考核的是分段线性插值公式及其误差估计
解：
5(5)
1
10
h
设将,ab划分为长度为h的小区间
01n
axxxb，则当1
,
kk
xxx
，
0,1,2,,1kn
时
1
1
11
11
()
()()
kk
hkk
kkkk
kkkk
xxxx
Ixff
xxxx
xxfxxf
则1
1
1
()()
22
kk
hkk
xx
Iff
误差估计为
11
2
1
max|()()|max|()()|
2kkkk
hkk
xxxxxx
M
fxIxxxxx
取1
2
kk
xx
x
有
111
2
2
1
222
()
max|()()|max||max||
2488kkkkkk
kk
h
xxxxxxxxx
xx
MMM
fxIxh
区中
2
55
max|()|
x
Mfx
而
)1/(1)(2xxf
求其3阶导数，令其等于零。解得x，进而解得2阶导数的最大值。
则
22
22223
2323324
()2/(1)
()2(1)8(1)
()8(1)16(1)48(1)0
fxxx
fxxxx
fxxxxxxx
解题麻烦，不再进行。
18、求2()fxx在[a，b]上的分段线性插值函数()
h
Ix,并估计误差。
题目考核的是分段线性插值公式及其误差估计，解法与上题一致
解：
设将,ab划分为长度为h的小区间
01n
axxxb，则当1
,
kk
xxx
，
0,1,2,,1kn
时，有
1
1
11
1
1
()
()()
kk
hkk
kkkk
kk
kk
xxxx
Ixff
xxxx
xxxx
ff
hh
其误差估计：
111
2
22
1
222
()
max|()()|max||max||
2488kkkkkk
kk
h
xxxxxxxxx
xx
MMM
fxIxhh
2
max|()|max|2|
axbaxb
Mfx
所以
1
2
1
max|()()|
4kk
h
xxx
fxIxh
19、求4()fxx在[a，b]上的分段埃尔米特插值，并估计误差。
由已知条件，4()fxx，则3()4fxx
为连续可导函数，对任何一个节点，其函数值和
函数导数值均可认为已知。因此可以使用第2个典型的埃尔米特插值公式进行计算。
解：
设将,ab划分为长度为h的小区间
01n
axxxb，则当1
,
kk
xxx
，
0,1,2,,1kn
时，令
1
01
max()
kk
kn
hxx
，有
22
11
1
1111
22
1
11
11
()()(12)()(12)
()()()()
kkkk
hkk
kkkkkkkk
kk
kkkk
kkkk
xxxxxxxx
Ixff
xxxxxxxx
xxxx
xxfxxf
xxxx
其误差估计为
1
4
(4)max|()()|max|()|
384kk
h
xxxaxb
h
fxIxfx
(4)()4!fx
所以
1
444!
max|()()|
38416kk
h
xxx
hh
fxIx
20、给定数据表如下
j
x
0.250.300.390.450.53
j
y
0.50000.54770.62450.67080.7280
试求三次样条函数()Sx，并满足条件：
1）
6868.0)53.0(,0000.1)25.0(
SS
；
2）
0)53.0()25.0(
SS
。
本题做了一部分，在使用矩阵求解M时未往下做。直接使用网上的答案。
[解]由
0
0.05h，
1
0.09h，
2
0.06h，
3
0.08h，及（8.10）式
1
1
1
11
,(1,,1)
6[,,]
j
j
jj
j
j
jj
jjjj
h
hh
h
jn
hh
dfxxx
可知，
1
9
14
，
2
2
5
，
3
4
7
，
1
5
14
，
2
3
5
，
3
3
7
，
1
2.111d，
2
2.413d，
3
1.7871d
从而
1）矩阵形式为：
7871.1
413.2
1112.2
6868.0
7
3
0814.2
413.2
0000.1
14
9
7541.2
2
7
4
0
5
3
2
5
2
0
14
5
2
3
2
1
m
m
m
，解得
6570.0
8278.0
9078.0
3
2
1
m
m
m
，从而
n
j
jjjj
xmxyxS
0
)]()([)(
。
下题直接使用网上答案
2）此为自然边界条件，故
862.2
500
477
3
25.030.0
5000.05477.0
3
)()(
3],[3
01
01
100
xx
xfxf
xxfg
；
145.2
800
572
3
45.053.0
6708.07280.0
3
)()(
3],[3
1
1
1
nn
nn
nnnxx
xfxf
xxfg
，
矩阵形式为：
145.2
0814.2
413.2
7541.2
862.2
2
7
4
000
7
3
2
7
4
00
0
5
3
2
5
2
0
00
14
5
2
14
9
00012
4
3
2
1
0
m
m
m
m
m
，可以解得
4
3
2
1
0
m
m
m
m
m
，从而
n
j
jjjj
xmxyxS
0
)]()([)(
。
21、若2()[,]fxCab，()Sx是三次样条函数，证明
1）
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxSxfxSdxxSxfdxxSdxxf)]()()[(2)]()([)]([)]([222
；
2）若()()(0,1,,)
ii
fxSxin，式中i
x
为插值节点，且
01n
axxxb
则
()[()()]()[()()]()[()()]
b
a
SxfxSxdxSbfbSbSafaSa
。
本题未做，直接使用网上的答案。
解：1）
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxSdxxf
dxxSxfdxxSxfxSxf
dxxSxfxSxSxf
dxxSxfxSxSxf
dxxSxfxSdxxSxf
22
22
2
2
)]([)]([
)]([)]([)]()()][()([
)]()()}[(2)]()({[
)]()()[(2)]()([
)]()()[(2)]()([
。
2）由题意可知，baxAxS,,)(
，所以
)]()()[()]()()[(
)]()([)]()()[()]()()[(
)]()([)]()()[()]()()[(
)()]()([)]}()()[({)]()()[(
aSafaSbSbfbS
xSxfAaSafaSbSbfbS
dxxSxfAaSafaSbSbfbS
dxxSxSxfxSxfxSdxxSxfxS
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
。