第二类曲面积分
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2023年3月16日发(作者：毕业论文答辩ppt模板)求曲线、曲面积分的方法和技巧
一.曲线积分的计算方法和技巧
计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积
分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积
分转化为曲面积分、利用积分和路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利
用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。
例一．计算曲线积分
L
xdyydx,其中
L
是圆)0(222yxyx上从原点
)0,0(O
到
)0,2(A
的一段弧。
本题以下采用多种方法进行计算。
解1：
AO
的方程为
,2
,
2xxy
xx
L
由
,AO
x
由
,20
.
2
1
2
dx
xx
x
dy
L
xdyydxdx
xx
xx
xx
2
0
2
2]
2
)1(
2[
dx
xx
xx
dx
xx
xx
xxx
2
0
2
2
0
2
2
2
)1(
2
)1(
22
0
.00442
分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，
选用的参变量为.x因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解
法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积
分的下限。
解2：在弧
AO
上取
)1,1(B
点，
BO
的方程为
,11
,
2yx
yy
L
由
,BOy
由
,10.
12
dy
y
y
dx
AB
的方程为
,11
,
2yx
yy
L
由
,ABy
由
,01.
12
dy
y
y
dx
L
xdyydxdyy
y
y
dyy
y
y
0
1
2
2
2
1
0
2
2
2
)11
1
()11
1
(
dy
y
y
1
0
2
2
1
2
dyy1
0
212
dy
y
y
1
0
2
2
1
21
0
212yy
dy
y
y
1
0
2
2
1
2
.0)011(2
分析：解2是选用参变量为,y利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在
方法类型上和解1相同。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示，
因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分
中参数的起始值作为定积分的下限。
解3：
AO
的参数方程为
,sin,cos1yx
L
由
,ABO由
,0
.cos,sinddyddx
L
xdyydx
d]cos)cos1(sin[0
2
d]2coscos[
0
.0)2sin
2
1
sin(
0
解4：
AO
的极坐标方程为
,cos2r
因此参数方程为
,cos2cos2rx,cossin2sinrdy
L
由
,ABO由
,0
2
.)sin(cos2,cossin422ddyddx
L
xdyydx
d)]sin(coscos4cossin8[2222
0
2
2
.0)
22
1
4
3
4
22
1
3(4]cos4cos3[442
2
0
d
分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的
参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用
对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。
解5：添加辅助线段
AO
，利用格林公式求解。因
,,xQyP
,011
y
P
x
Q
于是
AOL
D
dxdyxdyydx,0
而
AO
dxxdyydx0
2
,00
故得
L
xdyydx
AOL
.0
AO
分析：在利用格林公式dxdy
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP
D
L
)(),(),(
将所求曲线
积分转化为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助
曲线,采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但
QP,
必须在补路后
的封闭曲线所围的区域内有一阶连续偏导数。L是D的正向边界曲线。解5中添
加了辅助线段,AO使曲线AOL为正向封闭曲线。
解6：由于
,,xQyP
,1
y
P
x
Q
于是此积分和路径无关，故
L
xdyydx
OA
xdyydx
.00)0,2(
)0,0(
2
0
dxxdyydx
分析：由于
QP,
在闭区域
D
上应具有一阶连续偏导数，且在
D
内,
y
P
x
Q
因此所求积分只和积分路径的起点和终点有关，因此可改变在
L
上的积分为在
OA
上积分，注意O点对应
L
的起点。一般选用和坐标轴平行的折线段作为新的
积分路径，可使原积分得到简化。
解7：由全微分公式
),(xydxdyydx
L
xdyydx
.0)()0,2(
)0,0(
)0,2(
)0,0(
xyxyd
分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。
例二．计算曲线积分
C
dzyxdyzxdxyz,)()()(其中C是曲线
,2
,122
zyx
yx
从z轴正向往z轴负向看
C
的方向是顺时针的。
解1：设表示平面2zyx上以曲线L为边界的曲面，其中的正侧和
L的正向一致，即是下侧曲面，在xoy面上的投影区域
xy
D：.122yx由
斯托克斯公式
C
dzyxdyzxdxyz)()()(
yxzxyz
zyx
dxdydzdxdydz
xy
D
dxdydxdy.222
解2：利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另
一形式求得出
C
dzyxdyzxdxyz)()()(dS
yxzxyz
zyx
coscoscos
,)cos200(dS
而平面：
2zyx
的法向量向下，故取},1,1,1{n,
3
1
cos
于是上式.21)1(1
3
2
3
2
1
2
22
dxdydS
yx
分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积
分计算的。在利用斯托克斯公式
dzRQdyPdx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
L
计算时
首先应验证函数RQP,,在曲面连同边界L上具有一阶连续的偏导数，且L的正
向和的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的。
解3：将积分曲线用参数方程表示，将此曲线积分化为定积分。设
,cosx,siny
则
,sincos22yxz从
.02
C
dzyxdyzxdxyz)()()(
cos)sin2cos2()sin)(cos2[(0
2
d)]cos)(sinsin(cos
2
0
2]2coscos2)cos(sin2[d
.2]2cos1sin2[2
0
d
例三．计算,)2(22dszyx
其中为曲线
)2(.0
)1(,2222
zyx
Rzyx
解1：由于当积分变量zyx,,轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线
积分和弧的方向无关，故有
.
3
)(
3
12
222222ds
R
dszyxdszdsydsx
由曲线是球面2222Rzyx上的大圆周曲线，其长为.2R故
.
3
4
2
3
2
)(3222RRRdsyx
由于关于原点对称，由被积函数为奇函数，得
.0
dsz
于是
.
3
4
)2(322Rdszyx
解2：利用在上，2222Rzyx，
原式
zdsdszdsRdszzzyx2)2(222222
再由对称性可得
R
R
dsz2
3
2
2
（同解1），于是
上式.
3
4
022
3
23
2
2RR
R
RR
分析：以上解1解2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，
当积分变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，
采用此法进行计算常常是有效的。
例四．求,
22
Lyx
xdyydx
其中L为椭圆曲线1
9
)1(
2
2
y
x
上在上半平面内从
)0,4()0,2(BA的弧。
解：添加辅助线l为222yx的顺时针方向的上半圆周以及有向线段
DBAC,，其中
是足够小的正数，使曲线222yx包含在椭圆曲线
1
9
)1(
2
2
y
x
内。由于
222
22
2222)(
)()(
yx
yx
yx
y
y
yx
x
x
，
由格林公式，有
.0DBlACL
设
,cos,sinxy
有
l
yx
xdyydx
22
,
cossin0
2
2222
d
再由
,0
22
AC
yx
xdyydx
.0
22
DB
yx
xdyydx
于是
L
yx
xdyydx
22
.
22
l
yx
xdyydx
分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积
函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在
)0,0(
点附近
,
22yx
y
P
22yx
x
Q
无定义，于是采用在椭圆内部
)0,0(
附近挖去一个小圆，
使被积函数在相应的区域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是
常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须
注意边界曲线取正向。
例五．求八分之一的球面0,0,0,2222zyxRzyx的边界曲线的
重心，设曲线的密度
.1
解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为,,,
321
LLL则L的质量为
.
2
3
4
2
3R
R
dsdsm
LL
设边界曲线L的重心为),,(zyx，则
}0{
11
231
LLLL
xdsdsxds
m
xds
m
x
dx
xR
x
x
m
xds
m
R
L
0
2
22
)(1
22
1
RxR
m
R
dx
xR
R
x
m
R
0
22
0
22
22
.
3
4
2
3
2222
R
R
R
m
R
由对称性可知.
3
4
R
zyx
分析：这是一个第一类曲线积分的使用题。在计算上要注意将曲线L分成三
个部分：
,,0,0:22
1
xRzRxyL,,0,0:22
2
xRyRxzL
.,0,0:22
3
yRzRyxL
另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可
zyx简化计算。
二.曲面积分的计算方法和技巧
计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第
一类曲面积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类
曲面积分转化为求二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围
区域上的三重积分等。
例六．计算曲面积分
,zdS其中为锥面22yxz在柱体xyx222内
的部分。
解：在
xOy
平面上的投影区域为
:Dxyx222，曲面的方程为
.),(,22Dyxyxz
因此
D
yx
D
dxdyyxdxdyzzyxzdS.2)()(1222222
对区域D作极坐标变换
,sin
,cos
y
rx
则该变换将区域D变成),(r坐标系中的区
域
,cos20,
22
:
),(
rD
r
因此
.
9
32
cos
3
8
2
2
3
2
2
cos2
0
222
ddrrddxdyyx
D
分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分
化为二重积分计算的。“一投”是指将积分曲面投向使投影面积不为零的坐标
面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数
代入被积表达式。“三换”是指将dS换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示
的曲面面积元素，即
,)()(122dxdy
y
z
x
z
dS
或
,)()(122dzdx
z
y
x
y
dS
或
.)()(122dxdz
z
x
y
x
x
dS
上解中的投影区域在xOy平面上，因此用代换
,)()(122dxdy
y
z
x
z
dS
由于投影区域是圆域，故变换成极坐标计算。
例七．设半径为R的球面的球心在定球面)0(2222aazyx上，问R
为何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大？
解：不妨设的球心为
),0,0(a
，那么的方程为,)(2222Razyx它
和定球面的交线为
,)(
,
2222
2222
Razyx
azyx
即
.
2
,
4
)4(
2
2
222
22
a
R
az
a
RaR
yx
设含在定球面内部的上那部分球面
1
在
xOy
面上的投影区域为D，那么
,
4
)4(
:
2
222
22
a
RaR
yxD
且这部分球面的方程为
.),(,222DyxyxRaz
则
1
的面积为
DD
yxyxR
dxdy
RdxdyzzdSS
222
22)()(1
1
22
0
224
2
22
4
2
0
22
2
0
)(2Ra
a
R
Ra
a
R
rRR
rR
rdr
dR
.
2
2
22
a
Ra
R
以下只需求函数
)(RS
a
Ra
R
2
2
22
在
]2,0[a
上的最大值。
由令
,0)
2
3
2(2)(
2
a
R
RRS
得唯一驻点
,
3
4a
R
且
.04)
3
4
(
a
S
由问
题的实际意义知)(RS在
3
4a
R处取得最大值。即
3
4a
R时，
1
的面积最大，为
.
27
32
2a
分析：本题是第一类曲面积分的使用题，在计算中关键是利用了球面的对称
性，和确定了含在定球面内部的上那部分球面
1
在xOy面上的投影区域D。
在此基础上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。
例八．计算曲面积分
S
zdxdydydzzx,)2(其中S为有向曲面
),10(22zyxz其法向量和z轴正向的夹角为锐角。
解1：设
xyyz
DD,分别表示S在
yoz
平面，
xoy
平面上的投影区域，则，
S
zdxdydydzzx)2(
dydzzyzdydzzyz
yzyz
DD
)2())(2(22dxdyyx
xy
D
)(22
dydzyz
yz
D
24
.)(22dxdyyx
xy
D
其中
dyydzyzdydydzyz
y
D
yz
3
2
1
0
2
1
1
1
22)1(
3
4
2
令
tysin
，
,
422
1
4
3
3
4
cos
3
4
2
0
42
tdtdydzyz
yz
D
又
,
2
)(2
0
1
0
222
rdrrddxdyyx
xy
D
所以
.
224
4)2(
S
zdxdydydzzx
分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按“一投，二代，三定号”法
则将各单一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面投向单一型中已
指定的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再
将这显函数代入被积表达式。“三定号”是指依曲面的定侧向量，决定二重积
分前的“+”，“-”符号，当的定侧向量指向坐标面的上（右，前）方时，二
重积分前面取“+”，反之取“-”。
解2:利用
coscoscos
dxdydzdxdydz
dS化组合型为单一型.
SS
dxdyzzxzdxdydydzzx.]
cos
cos
)2[()2(
因S的法向量和z轴正向的夹角为锐角,取
},1,2,2{yxn
故有,2
cos
cos
x
于是
原式
S
dxdyzxzx])2)(2[(
1
22222
22
.)]()(24[
yx
dxdyyxyxxx
因为
1
22
22
,0)(2
yx
dxdyyxx
所以
上式
1
222
22
)](4[
yx
dxdyyxx
.
2
)cos4(42
2
0
1
0
22
rdrrrd
分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式
coscoscos
dxdydzdxdydz
dS，先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，
三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。
解3：以
1
S
表示法向量指向z轴负向的有向平面)1(122yxz，
D
为
1
S
在
xoy
平面上的投影区域，则
DS
dxdyzdxdydydzzx.)()2(
1
设
表示由S和
1
S
所围成的空间区域，则由高斯公式得
dvzdxdydydzzx
SS
)12()2(
1
1
0
3
12
0
1
0
)(63
2
drrrdzrdrd
r
.
2
3
]
42
[61
0
42
rr
因此
.
2
)(
2
3
)2(
S
zdxdydydzzx
分析：利用高斯公式
dxdydz
z
R
y
Q
x
P
dxdyRQdzdxPdydz)(，
可将曲面积分化为三重积分求得。但必需满足RQP,,在闭区域上有一阶连续
的偏导数，是边界曲面的外侧。本题中的曲面S不是封闭曲面，故添加了
1
S
，
使
1
SS为封闭曲面，并使
1
SS的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。
例九：计算曲面积分,4)1(2)18(2yzdxdydzdxydydzyxI
其中是由
曲线
0
,31,1
x
yyz
绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量和y轴正向的
夹角恒大于
.
2
解：设
3
,2
:
22
1y
zx
表示
3y
上和y轴正向同侧的曲面，由和
1
所围
立体记为.由高斯公式得
1
,4)1(2)18(2dxdydzyzdxdydzdxydydzyx
因此
.4)1(2)18(
1
2yzdxdydzdxydydzyxdxdydzI
由于在xOz面上的投影区域为.2:22zxD注意到
1
在xOz面，
yOz
面
上的投影不构成区域，且在
1
上
,3y
从而,),(,31:22Dyxyzx
DDDD
dxdzzxdxdzdxdzdxdzzxI)(1816)2(2222
.34236
分析：是旋转曲面31,122yzxy且指向外侧，在上补上曲面
3
,2
:
22
1y
zx
指向和y轴正向相同，那么由高斯公式就可将原式化成三重积分
和
1
上的曲面积分进行计算。
例十．设空间区域由曲面222yxaz和平面0z围成，其中a为正常
数。记表面的外侧为,S的体积为,V证明
.)1(2222Vdxdyxyzzdzdxzxydydzyzx
S
证明：设,),,(22yzxzyxP,),,(22zxyzyxQ),1(),,(xyzzzyxR则
,22xyz
x
P
,22xyz
y
Q
.21xyz
z
R
由高斯公式知
dxdyxyzzdzdxzxydydzyzx
S
)1(2222
xyzdvdvdvxyzxyzxyz2)2122(22
.2xyzdvV
dxdy
yxaxy
dxdyxyzdzxyzdv
ayxayx
yxa
222222
222
2
)(
][
222
0
,
2
)(cossin2
00
2223
dr
rar
da
由于
,0cossin
2
0
d
则
,0xyzdv因此
.)1(2222Vdxdyxyzzdzdxzxydydzyzx
S
分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给
出了曲面积分和该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可
用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明。