超级画板
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2023年3月16日发(作者：爱国现代诗)探照灯原理及其推广
张继茂
探照灯(Searchlight)是借助反射镜或透镜使射出光束集中在很
小的一个立体角内(一般小于2度)，从而获得较大光强的灯具。它的
内部为一个抛物曲面，我们可以将其看成由一条抛物线旋转得来。探
照灯原理即是过抛物线焦点的光线经抛物线反射后，所得的射线平行
于抛物线的对称轴。这样从探照灯发射出去的光线就是平行光线，从
而灯的照明效果最好。
我们将其抽象为一个数学模型，使用超级画板软件来研究。启动
超级画板软件，用文本作图画出探照灯的一个截面，即抛物线
2y2。做出焦点A（p/2,0）,再做出一条过焦点的直线，取直线
与抛物线的交点，进而做出过交点切线。这样光线经抛物线反射即相
当于经该切线反射，做出反射直线。可以看到反射直线好像平行于x
轴，那么到底是不是这么回事呢？我们来测量一下。如图，∠ABC+
∠BAE=180°。这样我们就可以严格地说反射直线平行于x轴了。
我们在书上做作业的时候，通常题目都会告诉我们一条具体的抛
物线，即知道抛物线的表达式。那么我们在上面得到的结果会不会因
为p的值的变化而发生变化呢？其实不会的。在超级画板中，p是一
个变量，我们做出了它的变量尺，可以将p的值改变。通过拖动变
量尺改变p的值，我们可以看到∠ABC+∠BAE恒等于180°，也即反
射直线总是平行于x轴。
这样我们就从直观上认识了反射光线平行于x轴这一事实，接下
来就是严格地证明这一结论。我们可以先设定一个p的值，因为这样
我们计算就要方便许多，而又不改变结果。比如x4y2，则焦点坐标
是（1,0）。做一条过（1,0）的直线，其斜率为k（斜率不存在时单
独考虑），则直线的方程可以写出来。与抛物线方程联立后，可以得
到交点B的坐标。再根据直线AB、BC与切线的关系可以求出直线的
斜率。这样就可以判断直线BC与x轴的关系了。
为了清楚表达起见，这里还做了一个动画。直线BC的图像会随
着点B的变化而变化。我们做一个点B的动画。按一下按钮，可以看
到直线BC的轨迹，全部都平行于x轴。
其实这种现象还不止于抛物线，可以推广一下。我们知道椭圆、
双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，那么在椭圆、双曲线中是不是也有
类似的情况呢？同理，我们做出一个椭圆1
x
2
2
2
2
b
y
a
，然后做出它的
两个焦点。做出椭圆上的一点C及过该点的切线，接着可以做出切线
的垂线及反射直线。最后，我们看到该反射直线过另一个焦点B。惊
叹之余，我们不仅感慨：为什么就这么巧呢？刚好过焦点吗？同上面
一样，我们测量一下∠CBD。再做一个点C的动画，按一下按钮，结
果点C椭圆上在不断变化，可是∠CBD却一直等于0°。可以相信，
这不是巧合。再改变a，b的值，这一结论仍然成立。当然按照上面
的证明方法，我们同理可以证明这一结论。
双曲线中也是完全一样。做一条双曲线，把焦点做出来。在图像
上去一点C，做出过它的切线、垂线及反射直线，结果同样发现反射
直线过另一焦点B。做出C的动画，改变a，b的值，结论都不改变。
按照上面的证明方法同理可证。
至此，我们得到以下结论：1.从焦点出发的光线经抛物面镜后以
平行于其对称轴的方向射出。2.从抛物线上一点出发的两条射线，一
条经过焦点另外一条（位于抛物线外部）平行于对称轴，则这个角的
平分线所在直线必定经过该点的抛物线的切线。3.一焦点发出的光线
经椭圆面镜反射会聚另外一个焦点，这也就是椭圆镜面的光学性质。
使用超级画板软件探究这些题目很简单，这源于该软件的易学易
操作性。如果在高中初中的教学的过程中能够让学生亲自动手使用这
一软件，相信能够极大地增强他们的学习兴趣，进而会提高他们学习
的主动性。
这学期我们选修了动态几何课程，其中大部分人都觉得这门课很
好玩并且很实用，一不小心谁就画出了一个很好看的图形出来。彭翕
成老师上课有特别的幽默，表情还特别可爱，虽然有时用词会比较大
胆，但还是获得了同学们的喜爱。这个学期的结束并不意味着对这门
课程学习的结束，掌握了这一软件的基本技巧之后，我们的探究之路
才刚刚开始。