抛物线焦点弦

抛物线焦点弦

教师岗位-惯性指数

2023年3月16日发(作者：小英雄雨来的故事简介)

[很全]抛物线焦点弦的有关结

论

2

x

B

A

y

o

F

B

A

y

o

F

[很全]抛物线焦点弦的有关结论

知识点1：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦。设,,

11

yxA

22

,yxB

，则

（1）

4

2

21

p

xx；（2）2

21

pyy

证明：如图，

（1）若AB的斜率不存在时，

依题意

,

221

p

xx

4

2

21

p

xx

若AB的斜率存在时，设为

,k

则















2

:

p

xkyAB，与pxy22联立，得

0

4

22

2

22

222

2

2















pk

pxkxkpx

p

xk

.

4

2

21

p

xx

综上：

.

4

2

21

p

xx

（2）

p

y

x

p

y

x

2

,

2

2

2

2

2

1

1



，,2

21

4

2

2

2

1

pyypyy

但2

2121

,0pyyyy

（2）另证：设

2

:

p

myxAB与pxy22联立，得2

21

22,02pyyppmyy

知识点2：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦。设,,

11

yxA

22

,yxB

，则

（1）;

21

pxxAB（2）设直线AB的倾斜角为



，则

2sin

2p

AB。

证明：（1）由抛物线的定义知

3

4

B

A

o

y

FK

C

F

B

A

o

y

知识点5：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，抛物线的准线与

x

轴相交

于点K，则.BKFAKF

证明：过点BA、分别作准线的垂线，垂足分别为

.

11

BA、

11

////BBKFAA

BBBFAAAF

FB

AF

KB

KA

11

1

1,而

BB

AA

KB

KA

1

1

1

1

BB

KB

AA

KA

1

1

1

1

，而0

11

90KBBKAA

KAA

1



∽

KBB

1

KBBKAA

11



BKFAKF

知识点6：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，

o

为抛物线的顶点，连接

AO并延长交该抛物线的准线于点

,C

则.//OFBC

证明：设,,

11

yxA

22

,yxB

，则



















1

1

1

1

2

,

2

,:

x

py

p

Cx

x

y

yAB

1

2

2

1

1

1

1

2

2

2y

p

p

y

py

x

py

y

C







由知识点1知2

21

pyy

2

2

2

2

y

y

p

p

y

C





OFBC//

5

B

A

o

y

F

B

A

o

y

F

逆定理：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，过点B作OFBC//交抛物

线准线于点

,C

则OCA、、三点共线。

证明略

知识点7：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，设,,nBFmAF则

.

211

pnm



证法：（1）若xAB轴，则AB为通径，而,2pAB

pnm.

211

pnm



（2）若AB与

x

轴不垂直，设,,

11

yxA

22

,yxB

，AB的斜率为k，则















2

:

p

xkyl与

pxy22联立，得0

4

22

2

22

222

2

2















pk

pxkxkpx

p

xk



,

2

2

2

21k

kp

xx



.

4

2

21

p

xx

由抛物线的定义知

2

,

221

p

xBFn

p

xAFm





p

p

xx

p

xx

pxx

mn

nm

nm

2

42

11

2

2121

21











知识点8：已知抛物线022ppxy中，AB为其过焦点F的弦，,,nBFmAF则



















n

m

m

np

S

AOB4

2

证明：设,AFx则

6

BOFAOFAOB

SSS











sin

4

sin

22

1

sin

22

1

nm

p

p

m

p





而

mn

pp

mn

p

n

p

m

2

2

2

sin,

sin

,

cos1

,

cos1















.

44

22



















n

m

m

np

mn

p

nm

p

S

AOB

逆定理：已知抛物线022ppxy中，AB为其弦且与

x

轴相交于点M，若

,,nBMmAM且,

4

2



















n

m

m

np

S

AOB

则弦AB过焦点。

证明：设,,

11

yxA

22

,yxB

，

,AMx0,tM

，则

BOMAOMAOB

SSS



=sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1

tnmtntm

而,sin,sin21

n

y

m

y



mn

yy

21

2sin





mn

yy

21sin







21

21

2

1

2

1

yyt

mn

nm

mn

yy

tnmS

AOB













而



22

1

4

22p

mn

nm

n

m

m

np

S

AOB























2

2

21

p

yyt

①

又可设

022

2

:

2

2













ptpayy

pxy

tayxl

ptyy2

21



②

由①②得

2

p

tAB恒过焦点













0,

2

p

7

抛物线022ppxy

，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成

立。

小结：

（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题

时注意对这个梯形的运用；

（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.