矩阵的算法
听见天堂-我的早年生活
2023年3月15日发(作者：机械工程师培训)动态规划矩阵连乘算法
问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依
此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输⼊数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和
最少数乘次数。
问题解析：由于矩阵乘法满⾜结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以⽤加括号的⽅式来
确定。若⼀个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调⽤2个矩阵相乘的标
准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表⽰为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)
例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的⽅式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，
((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每⼀种完全加括号的⽅式对应于⼀个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计
算量。
看下⾯⼀个例⼦，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100,100*5,5*50按此顺序计算需要的次数
((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最⼩
化。
算法思路：
例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是：
A1：30*35;A2：35*15;A3：15*5;A4：
5*10;A5：10*20;A6：20*25
递推关系：
设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
当i
综上，有递推关系如下：
构造最优解：
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值
m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳⽅式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，
即最优的加括号⽅式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号⽅式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1]
[n]+1:n])，进⼀步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号⽅式为
(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号⽅式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推
下去，最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号⽅式，及构造出问题的⼀个最优解。
1、穷举法
列举出所有可能的计算次序，并计算出每⼀种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出⼀种数乘次数最少的计算次序。
对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号⽅式都可以分解为两个⼦矩阵的加括号问题：(A1...Ak)(A
k+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是⼀个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有⼦问题重叠性的递归代码实现：
//3d1-1重叠⼦问题的递归最优解
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"stdafx.h"
#include
usingnamespacestd;
constintL=7;
intRecurMatrixChain(inti,intj,int**s,int*p);//递归求最优解
voidTraceback(inti,intj,int**s);//构造最优解
intmain()
{
intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];
for(inti=0;i
{
s[i]=newint[L];
}
cout<<"矩阵的最少计算次数为："<
cout<<"矩阵最优计算次序为："<
Traceback(1,6,s);
return0;
}
intRecurMatrixChain(inti,intj,int**s,int*p)
{
if(i==j)return0;
intu=RecurMatrixChain(i,i,s,p)+RecurMatrixChain(i+1,j,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(intk=i+1;k
{
intt=RecurMatrixChain(i,k,s,p)+RecurMatrixChain(k+1,j,s,p)+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t
{
u=t;
s[i][j]=k;
}
}
returnu;
}
voidTraceback(inti,intj,int**s)
{
if(i==j)return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
cout<<"MultiplyA"<
cout<<"andA"<<(s[i][j]+1)<<","<
}
1.⽤算法RecurMatrixChain(1,4,s,p)计算a[1:4]的计算递归树
如下图所⽰：
2.
3.
4.从上图可以看出很多⼦问题被重复运算。可以证明，该
算法的计算时间T(n)有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T(n)的递归不等
式：
5.
6.⽤数学归纳法可以证明，因此，算法
RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。
7.3、备忘录递归算法
8.备忘录⽅法⽤表格保存已解决的⼦问题答案，在下次需要
解决此⼦问题时，只要简单查看该⼦问题的解答，⽽不必重
新计算。备忘录⽅法为每⼀个⼦问题建⽴⼀个记录项，初始
化时，该记录项存⼊⼀个特殊的值，表⽰该⼦问题尚未求
解。在求解的过程中，对每个带求的⼦问题，⾸先查看其相
应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存⼊的特殊值，
则表⽰该问题是第⼀次遇到，此时计算出该⼦问题的解，并
将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。若记录项中存
储的已不是初始化时存⼊的特殊值，则表⽰该⼦问题已被计
算过，相应的记录项中存储的是该⼦问题的解答。此时从记
录项中取出该⼦问题的解答即可，⽽不必重新计算。
//3d1-2矩阵连乘备忘录递归实现
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"stdafx.h"
#include
usingnamespacestd;
constintL=7;
intLookupChain(inti,intj,int**m,int**s,int*p);
intMemoizedMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p);
voidTraceback(inti,intj,int**s);//构造最优解
intmain()
{
intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];
int**m=newint*[L];
for(inti=0;i
{
s[i]=newint[L];
m[i]=newint[L];
}
cout<<"矩阵的最少计算次数为："<
cout<<"矩阵最优计算次序为："<
Traceback(1,6,s);
return0;
}
intMemoizedMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p)
for(inti=1;i<=n;i++)
{
for(intj=1;j<=n;j++)
{
m[i][j]=0;
}
}
returnLookupChain(1,n,m,s,p);
}
intLookupChain(inti,intj,int**m,int**s,int*p){
if(m[i][j]>0)
{
returnm[i][j];
}
if(i==j)
{
return0;
}
intu=LookupChain(i,i,m,s,p)+LookupChain(i+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(intk=i+1;k
{
intt=LookupChain(i,k,m,s,p)+LookupChain(k+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t
{
u=t;
s[i][j]=k;
}
}
m[i][j]=u;
returnu;
}
voidTraceback(inti,intj,int**s)
{
if(i==j)return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
cout<<"MultiplyA"<
cout<<"andA"<<(s[i][j]+1)<<","<
算法通过数组m记录⼦问题的最优值，m初始化为0，表明相应的⼦问题还没有被计算。在调⽤LookupChain时，若m[i][j]>0，
则表⽰其中存储的是所要求⼦问题的计算结果，直接返回即可。否则与直接递归算法⼀样递归计算，并将计算结果存⼊m[i][j]中
返回。备忘录算法耗时O(n^3)，将直接递归算法的计算时间从2^n降⾄O(n^3)。
3、动态规划迭代实现
⽤动态规划迭代⽅式解决此问题，可依据其递归式⾃底向上的⽅式进⾏计算。在计算过程中，保存已解决的⼦问题的答案。每
个⼦问题只计算⼀次，⽽在后⾯需要时只需简单检查⼀下，从⽽避免了⼤量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。
//3d1-2矩阵连乘动态规划迭代实现
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"stdafx.h"
#include
usingnamespacestd;
constintL=7;
intMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p);
voidTraceback(inti,intj,int**s);//构造最优解
intmain()
{
intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];
int**m=newint*[L];
for(inti=0;i
{
s[i]=newint[L];
m[i]=newint[L];
}
cout<<"矩阵的最少计算次数为："<
cout<<"矩阵最优计算次序为："<
Traceback(1,6,s);
return0;
}
intMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p)
{
for(inti=1;i<=n;i++)
{
m[i][i]=0;
}
for(intr=2;r<=n;r++)//r为当前计算的链长（⼦问题规模）
{
for(inti=1;i<=n-r+1;i++)//n-r+1为最后⼀个r链的前边界
{
intj=i+r-1;//计算前边界为r，链长为r的链的后边界
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//将链ij划分为A(i)*(A[i+1:j])
s[i][j]=i;
for(intk=i+1;k
{
//将链ij划分为(A[i:k])*(A[k+1:j])
intt=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t
{
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
returnm[1][L-1];
}
voidTraceback(inti,intj,int**s)
{
if(i==j)return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
cout<<"MultiplyA"<
cout<<"andA"<<(s[i][j]+1)<<","<
上述迭代算法的运⾏过程如下图所⽰：
如图所⽰：
当R=2时，先迭代计算出：
m[1:2]=m[1:1]+m[2:2}+p[0]*p[1]*p[2]；
m[2:3]=m[2:2]+m[3:3]+p[1]*p[2]*p[3];
m[3:4]=m[3:3]+m[4][4]+p[2]*p[3]*p[4];
m[4:5]=m[4:4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];
m[5:6]=m[5][5]+m[6][6]+p[4]*p[5]*p[6]的值；
当R=3时，迭代计算出：
m[1:3]=min(m[1:1]+m[2:3]+p[0]*p[1]*p[3],m[1:2]+m[3:3]+p[0]*p[2]*p[3]);
m[2:4]=min(m[2:2]+m[3:4]+p[1]*p[2]*p[4],m[2:3]+m[4:4]+p[1]*p[3]*p[4]);
......
m[4:6]=min(m[4:4]+m[5:6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:5]+m[6:6]+p[3]*p[5]*p[6]);
......
依次类推，根据之前计算的m值，迭代计算最优解。与备忘录⽅法相⽐，此⽅法会将每个⼦问题计算⼀遍，⽽备忘录⽅法则更
灵活，当⼦问题中的部分⼦问题不必求解释，⽤备忘录⽅法较有利，因为从控制结构可以看出，该⽅法只解那些确实需要求解
的⼦问题