线性代数课本
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2023年3月6日发(作者：英语音标分类)1
——《线性代
数》学习感悟
何为“线性代数”？
实际上，十七世纪，由于费马和笛卡尔的钻研，线性代数已经基
本发现了。而“线代”一词在清朝才传入中国，当时还被人翻译成“阿
尔热巴拉”。
最初，我只知道一次方程被叫做线性方程，那么以此类比，讨论
线性方程和线性运算的代数就叫做线性代数。除此之外，对于这门新
来的科目，还处于云里雾里。
直到第一次翻看大学线性代数的课本，意外发现了熟识的内容。
“太棒了！”这是我的直觉反应。由于上学期学习高数的经历，高中
毫无导数积分基础的我，一度沮丧。现在，线代中三个基本单元：矩
阵、行列式、向量组有点基础，是否意味着我有学习的优势？
回忆高中老师曾经这样介绍道：矩阵是一个矩形数表；行列式是
一个特定算式。它们不仅仅是讨论方程组解的工具，而且是数学广阔
领域中一类常用的记号。
虽说如此，当初对矩阵与行列式主要的学习是依赖于计算器，为
此高考时，我特地带Casiofx-991ESPLUS，具有矩阵、行列式、向
量等高级运算的工具，以防遇到这样的题型。可是，在真正接触线代
的时候，我才发现这曾经的“好帮手”，却无用武之地。
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套用一句现在很流行的话——“线性代数”还真是“没那么简单”。
大学的“线代”是这样被叙述：线性代数是一门将n维世界与m
维世界连接起来的学问。尽管它是高中解析几何的自然延伸，但是，
在知识结构方面却显得抽象许多。再加上符号表徵的复杂度，无形中
让人望之却步。
然而，无论如何，基础都是最重要的。
大一线代的第一课，教授的就是关于行列式的内容。起初，我还
是自信满满的。尤其是对于行列式的计算，高中时，为了方便记忆，
我自己发明了记忆的口诀“主二勾减副二勾”，请见下图：
)(ahfbdicegbfgdhcaei
ihg
fed
cba
A
自编一些口诀能更印象深刻的，就像记难读的英语单词，我喜欢
用“中文谐音”来标注。因此，在学习的线代的过程中，我认为找到
每个人合适的方法是成功的关键。
知识是不断更新的，我知道遇到高阶行列式的时候，除了应用行
列式按行/列展开定理外，还可以化为上下三角行列式，往往只需要
寥寥几步就得出答案，真是神奇!
随着学习的深入，我对于大学线代的学习有些力不从心。因为所
含的代数不再是有限个，而是让人心慌的……，和无数代N的结果，
连公式也不得不用上∑。那就不是靠死记硬背能结局的了，而是要融
会贯通地运用。
古希腊数学家,毕达哥拉斯道：“在数学的天地里,重要的不是我
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们知道什么,而是我们怎么知道什么。”
因此，第一步入手的就是概念，行列式最早出现在解线性方程组
的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列
式来确定线性方程组解的个数以及形式。它的特性可以被概括为一个
多次交替线性形式。
行列式分为数字行列式和字母行列式，往往后者常出现在概念
中，更令我头疼。因为很难从源头证明结论，从而不知所以然。渐渐
我发现，可以模仿熟悉的“数学归纳法”，从特殊到一般，由局部来
总结整体。虽然不符合科学精神的严谨作风，但亲身体验下来，着实
为我解决了不少复杂，令我困扰的题目。例如：讲到逆序数的时候，
简单的利用1,2,3→1,3,2的对换，1次调换使得逆序数由0变为了1，
让我对于“换奇数次，逆序数发生变换”有了更深的体会与记忆，比
生涩带N的定理生动多了。
“特殊”的要点也要牢记：像是行列式互换两行（列），行（列）
式要变号；某行（列）同乘K，等于K乘以行列式；某行乘以K加到
另一行，行列式不变等等，必要谨记，不要“千丈之堤，以蝼蚁之穴
溃”。还有当两行（列）相等，则D为零。这类能提高计算效率的好
定理要“适时运用”，考试时，省时也是关键之一。
聊完行列式，怎能不谈谈同样重要、又有某种联系的兄弟“矩阵”
呢？
矩阵出现得比行列式晚，这个词由十九世纪西尔维斯特首先使
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用，然而两者在本质上仍然有密切关系。正是矩阵概念的引入使得更
多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的
意义和作用。
开始时，我质疑用矩阵来表示一次方程组是否画蛇添足？在逐步
地学习中，我发现矩阵可以言简意赅地表示方程组。所以学习矩阵，
我认为是需要整理出一套清晰的思路，遇到相应的题目时，可以“对
症下药”。
首先，当然是矩阵概念：矩阵是线性空间中的线性变换的一个描
述。因此，在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何
一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。
其次，矩阵的运算，加减法可以忽略，乘法的公式可比行列式要
复杂些。要对于元素所在的行列有清晰的理解。我简括一下：两矩阵
相乘，要满足ab和bc，得到ac的矩阵。而且通常不满足交换
律，因为交换后两个矩阵有可能不能相乘。矩阵乘法给经后的推导、
演算、发展提供了很大的空间和便利。由矩阵的乘法的定义，为用矩
阵的运算来研究线性变换提供了方便。
接下来，学习逆矩阵重点在于求解方法和确认是否存在逆矩阵。
逆矩阵求解的方法有代数余子式和消元法。比较下来，我发现代数余
子式的方法计算逆矩阵十分麻烦，不实用。与此相比，消元法要简单
得多。判断可逆矩阵，则可以借助行列式，当det≠0时，逆矩阵存
在。
以上看似理得很顺，可“学海无涯”，我遇到了学线代以来最纠
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结的阶段：初等变换。对于何时用行（列）变换心存疑惑。翻阅了不
同的参考书，却得到了百家说法，无法明确。想起韩愈《师说》中所
提：“惑而不从师，其为惑也，终不解矣。”最终，我把疑惑总结在笔
记本中，在上课时一并提出，得到了老师的解答，课后整理为：
求：秩→最好用行变换
标准形→行列变换皆可
线性方程、逆矩阵→行变换
AX=B→行变换（A,B）
XA=B→列变换
嘿，真可谓“山穷水尽义无路，柳暗花明又一村。”不仅如此，
老师还教授了我们如何更快速地找到矩阵的秩。仔细听老师清晰的讲
解，有助于我以后的解题。
再进一步，当熟悉的矩阵与向量结合时，就新接触了向量组的线
性组合。还接触到了线性无关相关性的判断，对于线性二字有了更具
体的体会。更甚能把齐次或非齐次方程组的解情况与矩阵向量的知识
来判断解决，而线性方程组是线性代数的核心，近期也是我需要多多
联练习的重点。
此外，不得不提的是老师让我自学的“分块矩阵”，这无非是最
有体会的。我简单概括：一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。此法可
用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计
等。这点运用于高科技的线代理论，不由令我想起——
线代课本的前言上说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数
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是应用最广泛的数学学科了。”我开始怀疑是过于“浮夸”了，相信
每个被圈养在“象牙塔”里，在灌输式“被学习”模式下的学生都会
有同样的质疑。
其实，在日常生活中我们会遇到一些问题需要借助线性代数的知
识来对其进行求解。线代在实际生活中的训练，潜移默化下对培养学
生的抽象和逻辑思维能力有重要的意义。
不只是从事数学专业才需要，例如：建筑工程业，像奥运场馆鸟
巢的受力分析需要线代的工具；软件工程业，我们喜欢的3D游戏的
数学基础以图形的矩阵运算为基础；从事电子工程，电路分析、线性
信号系统分析等都需要线代，因为线代就是研究线性网络的重要工
具。又如，你的职业生涯最终目标是当领导，必要学会运筹学，其中
最重要的议题就是线性规划。
看来线性代数比其他大学的数学课程更具有潜在的应用价值。
经过一学期的学习后，我体会到线性代数中的概念比较多，比较
抽象，公式比较多，要记的结论也比较多，再有就是前后知识的联系
特别紧密，这正是这门学科的特点。
也由于此，我感觉知识点很容易遗忘，所以温故而知新是通往成
功彼岸的“浆”。依照庞加莱所言：“人生就是持续的斗争，如果我们
偶尔享受到宁静，那是我们先辈顽强地进行了斗争。假使我们的精神，
我们的警惕松懈片刻，我们将失去先辈为我们赢得的成果。”为了保
证复习效果，我认为复习线性代数时不要隔断时间看，要每天坚持看，
每天坚持练，哪怕只练一两道题也可以，这样就可以保证这些琐碎的
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知识点不容易忘记，做题时才能运用自如。
除此之外，我还纠正了一个不好的习惯，之前我喜欢把上课笔记
翻阅后再做作业。实际上先试着做作业，不会时看书，做完作业后再
看书。这样作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是要点是自己回
忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业找出真正未掌握的部
分。慢慢发现“熟能生巧”，当看到题目的条件和结论、推测出其中
涉及到的知识点时，立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从
而大大提高解题效率、增加得分胜算。直到考试时，遇题能“条件反
射”，迎刃而解。
知否？此乃吾之“线代”奥义……