根轨迹法
-
2023年3月6日发(作者：一年制自考本科)习题
4.1已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)
A
*(2)
(1)
Ks
ss
B
*
(1)(5)
K
sss
C
*
2(31)
K
sss
D
*(1)
(2)
Ks
ss
4.2若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)
A闭环零点和极点B开环零点C闭环极点D阶跃响应
4.3己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为
*
()()
(6)(3)
K
GsHs
sss
(1)绘制系统的根轨迹图(*0K
)；
(2)求系统临界稳定时的*K
值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为
1
0p
、
2
3p
、
3
6p
。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为,6
、3,0
。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
36
3
3a
，
(0)
3
21
(1)
3
(2)
3
a
k
k
k
k
求分离点方程为
111
0
36ddd
经整理得2660dd
，解方程得到
1
4.732d
、
2
1.268d
。显然分离点位于实轴上
3,0
间，故取
2
1.268d
。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为
32*()9180DssssK
令
js
，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有
2*
3
Re(j)(j)190
Im(j)(j)1180
GHK
GH
解之得
*
0
0K
、
*
32
162K
显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为j32s，对应的根
轨迹增益*162K
为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第
三个闭环极点可由根之和法则求得
1233
036j32j32
解之得
3
9。即当*162K
时，闭环系统的3个特征根分别为
1
j32、
2
j32、
3
9。系统根轨迹如图4.1所示。
0
-3
-6
1
j32
2
j32
*162K
j
图4.1题4.3所示系统根轨迹图
4.4系统结构如下图所示
2)(ss
9
)s(R
)s(C
sK
绘制系统的根轨迹(0K)，并确定系统欠阻尼状态下的K值。
解：系统闭环传递函数为
2
9
2
9
()
99
299
1
22
ss
s
Ks
ssKs
ssss
。
特征方程为22990ssKs
。
等效开环传递函数为
2
9
()()
29
Ks
GsHs
ss
。
系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点
1,2
1j22p，1条终止于开环零点0z，
另一条沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为,0
。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
1j221j22
2
1a
，
21
0,
2a
k
实轴上分离点方程为
229
0
9
dss
dsKs
。解方程得到
1
3d、
2
3d(弃去)，对应
4
9
K
。根轨迹与虚轴在有限范围内无交点，根轨迹如图4.2所示。
0
-3
j
图4.2题4.4所示系统根轨迹图
由根轨迹可知当
4
0
9
K
时，系统有两个闭环极点，为欠阻尼响应。
4.5已知负反馈控制系统的闭环特征方程为
*2(14)(22)0Ksss
(1)绘制系统的根轨迹(*0K
)；
(2)确定使复数闭环主导极点的阻尼系数
0.5
的*K
值。
解：系统开环传递函数为
*
2
()()
(14)(22)
K
GsHs
sss
开环极点为
1
14p
、
2,3
1jp。
实轴上根轨迹区段为,14。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
1411
5.3
3a
jj
，
(0)
3
21
(1)
3
(2)
3
a
k
k
k
k
实轴上分离点方程为
111
0
1411ddjdj
，解之得9.63d。
求与虚轴交点，闭环特征方程为*2()(14)(22)DSKsss。令
js
，然后代入
特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有
2*
3
Re(j)(j)116280
Im(j)(j)1300
GHK
GH
，解得
*
5.4
438.6K
。
因
cos0.5
，故
60
，作过原点与负实轴夹角为60的直线，在s上半平面交P、
Q两点，如图4.3所示。P点坐标为
0.94j1.62s
，则对应
*
0.94j1.62
(14)(0.94j1.62)(0.94j1.62)
21.6
1s
sss
K
0
-14
*438.6K
j5.4
P
Q
j
图4.3题4.5所示系统根轨迹图
4.6已知单位反馈系统的开环传递函数为
*
()()
(1)(1)
2.56
K
GsHs
ss
s
(1)绘出K由0变化时系统的根轨迹(根轨迹的分离点、渐近线、与虚轴交点的数
值要求精确算出)。
(2)用根轨迹法分析：能否通过调整K使系统的阶跃响应超调量%25%，为什么?
(3)能否通过调整K使系统的静态误差系数15K，为什么?
解：系统开环传递函数为
*
()()
(1)(1)
2.56
K
GsHs
ss
s
化成根轨迹形式为
*
()()
(2.5)(6)
K
GsHs
sss
，其中*15KK
。
(1)开环极点为
1
0p
、
2
2.5p
、
2
6p
。
实轴上根轨迹区段为2.5,0、,6。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
2.56
2.83
3a
，
(0)
3
21
(1)
3
(2)
3
a
k
k
k
k
实轴上分离点方程为
111
2.56ddd
，解出
1
1.1d、
2
4.56d(弃去)。
求与虚轴交点，闭环特征方程为
*()(2.5)(6)DSKsss
令
js
，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有
2*
3
Re(j)(j)18.50
Im(j)(j)1150
GHK
GH
解得
*
3.87
127.5K
。
做出根轨迹如图4.4所示。
3
-3
0
-2.5-6
*127.5K
-2.83-1.1
P
Q
j
j3.87
图4.4题4.6所示系统根轨迹图
(2)当21%%25%e时，即
0.403
，或
cos66.2ar
。作过原点与负
实轴夹角为66.2的直线，与根轨迹有交点为P、Q两点，如图3.35所示。P点坐标为
0.8j1.7s
，使用幅值条件计算此点对应的*K
，即
*
8j1.7
(2.5)(6)24.6
s
Ksss
*151.64KK
(3)从根轨迹曲线可知，当*127.5K
即8.54K，系统是不稳定的，故无法通过调整K
使系统的静态误差系数15K。
4.7应用根轨迹法确定下图所示系统在阶跃信号作用下无超调响应的K值范围。
)15.0(
1)(0.25s
ss
K
)s(R
)s(C
解:系统开环传递函数为
(0.251)
()()
(0.51)
Ks
GsHs
ss
，化成根轨迹形式为
*(4)
()()
(2)
Ks
GsHs
ss
，其中*0.5KK
。
系统开环极点为
1
0p、
2
2p，开环零点为4z。
实轴上根轨迹区段为2,0、,4。
渐近线与实轴的夹角为
21
21a
k
实轴上分离点方程为
111
24ddd
，解出
1
1.172d、
2
6.828d，根轨迹如图4.5
所示。
j
-4
-2-1.172
6.828
图4.5题4.7所示系统根轨迹图
系统无超调即特征根全部为负实数，从根轨迹图中看出，分离点
1
1.172d
与会和点
2
6.828d
为临界点，需求出此两点所对应的K值。系统的特征方程为
20.5(10.25)0sKsK
分别将
1
1.172sd
、
2
6.828sd
代入上式可解得
1
0.686K
、
2
23.31K
。由此
求得系统无超调响应的K值范围是
00.686K、23.31K
4.8设正反馈系统的开环传递函数为
2
(2)
()()
(3)(22)
Ks
GsHs
sss
画出K变化时系统的根轨迹.
解：开环极点为
1,2
1pj、
3
3p，开环零点为2z。
实轴上根轨迹区段为2,、,3。
渐近线与实轴的夹角为
2
0,
31a
k
实轴上分离点方程为
2322
0
2
sss
d
dss
，解出
1
0.8d、
2,3
2.35j0.77d。
其中
1
0.8d是根轨迹上的分离点。
出射角方程为
1111213
0
=0459027
=72
pzpppp
2
72
1
d
处的分离角方程为
11113
11
2=(200)
22d
kdzdsk
当
1
0,0
d
k；当
1
1,
d
k，即
1
d处的分离角为0、
。
1
d处的会合角方程为
1111213
11
1
21
2
1
=2100
2
d
kdpdpds
k
当
1
0,
2d
k
；当
1
1,
2d
k
，即
1
d处的会合角为
2
。
根轨迹与虚轴交点为0，根轨迹如图4.5所示。
0
-1
-2
72
72
1
p
2
p
3
p
-3
1
z
j
-1
1
图4.6题4.8所示系统根轨迹图
4.9设单位反馈系统的开环传递函数为
10(1)
()
(0.51)(1)
s
Gs
sTs
画出T变化时系统的根轨迹。
解：系统的特征方程为
(0.51)(1)10(1)0sTss
。
对上式变换为
(0.51)9.5110Tsss
。
等效闭环传递函数为
*(2)
()1
11
9.5
Tss
s
s
。
等效开环传递函数为
*(2)
()()
11
9.5
Tss
GsHs
s
，其中*
29.5
T
T
。可知该系统根轨迹应使
用0根轨迹绘制方法。
渐近线与实轴的夹角为
2
12a
k
，解之得
0,
a
。
实轴上的根轨迹为2,0、1.16,。
分离点为方程为
*
11
9.5
0
(2)
s
d
dsTss
，解之得
1
0.75d
、
2
3.07d
，代入到特征方程
中得到1.71T与38.76T。
由劳斯判据得到与虚轴交点为
1,2
j1.5s，对应*0.5T
，*29.59.5TT
。根轨迹
如图4.7所示。
0
1.16-2
-0.75
3.07
9.5T
38.76T
1.71T
j
图4.7题4.9所示系统根轨迹图
4.10由题4.9所示的根轨迹求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的T值；以及当20T
时，闭环系统的单位阶跃响应。
临界稳定点，即为根轨迹与虚轴交点，对应*0.5T
，9.5T。
临界阻尼点，即为根轨迹的分离点与会和点，将
1
0.75d
、
2
3.07d
代入等效开环传
递函数后，使用幅值条件得*
1
0.09T、*
2
2.04T，对应
1
1.71T
、
2
38.76T
。
20T时，系统的闭环传递函数为
10(1)
()
(0.51)(201)10(1)
s
s
sss
2
110(1)11
()()()
(0.51)(201)10(1)10.51.1
ss
CssRs
sssssss
单位阶跃响应为
5.25
10
()1.86cos(0.908240)
11
tcset
4.11证明题4.9所作出的根轨迹为正圆。
证明：题4.9所示系统的等效开环传递函数为
*(2)
()()
11
9.5
Tss
GsHs
s
，使用0根轨迹绘
制方法。
令
js
代入相角条件有
11
j2jj2
9.5
k
变换为
arctanarctanarctan2
11
2
9.5
k
得
2
2
1.16
1
2
整理为2
221.161.91，即表示复平面上根轨迹是以极点1.16s为圆心，以
1.91r为半径的圆。
可以证明：有两个极点(或零点)和一个实数零点(或极点)构成的开环系统，只要零点(或
极点)不在这两个极点(或零点)之间，则复平面上的根轨迹是一个以零点(或极点)为圆心，
零点(或极点)到分离点的距离为半径的圆或圆弧。
4.11设单位反馈系统的开环传递函数为
20
()
(1)(4)20
Gs
sssKs
要求系统的闭环极点有一对共轭复极点，其阻尼比为0.4，确定K值，并求出时域指标。
解闭环系统特征方程为
32()5420200DssssKs
等效开环传递函数为
*
3232
20
()
54205420
KsKs
Gs
ssssss
开环极点为
1,2
j2p、
3
5p，开环零点为0z。
实轴上根轨迹区段为5,0。
渐近线与实轴的交点与夹角为
5
2a
、
2a
。
出射角方程为
1121311
180
=1809021.890158.2
pppppz
2
158.2
因
cos0.4
，
66.4
，故作过原点与负实轴夹角为66.4的直线，在s上半平面交
P、Q两点，如图3.35所示。P点坐标为
1.049j2.406s
，则对应
*
1.049j2.406
(j2)(j2)(5)
8.9801
s
sss
K
s
解之得
*
0.449
20
K
K
。
由于2mn，根据
33
11
ji
ji
sp
，求出第三个闭环极点
3
2.9021s
。
闭环传递函数为
20
()
(1.049j2.406)(1.049j2.406)(2.902)
s
sss
闭环主导极点为P点的一对复数极点，系统可以简化为二阶系统传递函数，闭环主导
极点的传递函数为
6.89
()
(1.049j2.406)(1.049j2.406)
s
ss
因为
0.4
，
2.62
n
则
21%%25%e
33
2.62
0.42.62s
n
ts
Q点坐标为
2.1589j4.9652s
，则对应
*
2.1589j4.9652
(j2)(j2)(5)
28.260
s
sss
K
s
，
*
1.413
20
K
K
第三个实数极点为0.6823s，系统的主导极点是实数极点，闭环传递函数为
20
()
(2.1589j4.9652)(2.1589j4.9652)(0.6823)
s
sss
主导极点是0.6823s，于是
0.68231
()
0.68231.461
s
ss
34.39
s
tTs
图4.6题4.8所示系统根轨迹图
0
1
-1
66.42
Q
P
-5
j
图4.8题4.11所示系统根轨迹图
4.12已知控制系统的开环传递函数为
432
()
527
K
Gs
ssss
用MATLAB绘制此系统的根轨迹和根轨迹的渐进线。
解：
程序一
num=[1];
den=[15270];
rlocus(num，den);%绘制系统的根轨迹图
title('Root-locusplotofG(s)');
xlabel('Re');
ylabel('Im');
程序二
num=[1];
den=[15270];
[r,K]=rlocus(num,den);%产生特征根矩阵
v=[-1010-1010];axis(v);%设置坐标范围
plot(r,”);%画根轨迹图
gridon;%加网格线
title('Root-locusplotofG(s)');
xlabel('Re')
ylabel('Im');
4.13系统的开环传递函数为
*
2
(1)
()
(9)
Ks
Gs
ss
试用MATLAB绘制该系统的根轨迹。
num=[10];
den=[1900];
[r,K]=rlocus(num,den);%产生特征根矩阵
v=[-1010-1010];axis(v);%设置坐标范围
plot(r,”);%画根轨迹图
gridon;%加网格线
title('Root-locusplotofG(s)');
xlabel('Re')
ylabel('Im');
4.14已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为
*
2
(1)
()
(2)(4)
Ks
Gs
sss
用MATLAB绘制系统根轨迹，并求系统根轨迹与虚轴交点处的频率和相应的增益。
num=[10];
den1=[100];
den2=[12];
den3=[14];
den=conv(den1,den2,den3)
rlocus(num，den);
v=[-1010-1010];axis(v);%设置坐标范围
plot(r,”);%画根轨迹图
gridon;%加网格线
title('Root-locusplotofG(s)');
xlabel('Re')
ylabel('Im');