圆的定理
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2023年3月6日发(作者：超市服务员)《圆》知识点及定理
一、圆的概念
集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径
的圆；
（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线
（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离
等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直
线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点
C
在圆内；
2、点在圆上dr点B在圆上；
3、点在圆外dr点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离dr无交点；
2、直线与圆相切dr有一个交点；
3、直线与圆相交dr有两个交点；
d
rd=rr
d
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）无交点dRr
；
外切（图2）有一个交点dRr
；
相交（图3）有两个交点RrdRr
；
内切（图4）有一个交点dRr
；
内含（图5）无交点dRr
；
图1
r
R
d
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2
个即可推出其它3个结论，即：
①
AB
是直径②
ABCD
③
CEDE
④弧
BC弧
BD
⑤弧
AC
弧
AD
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙
O
中，∵
AB
∥
CD
∴弧
AC弧
BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相
等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，
即上述四个结论中，
图3
rR
d
r
d
d
C
B
A
O
图2
r
R
d
图4
r
R
d
图5
r
R
d
O
E
D
C
B
A
O
C
D
A
B
F
E
D
C
B
A
O
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①
AOBDOE
；②
ABDE
；
③
OCOF
；④弧
BA弧
BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵
AOB
和
ACB
是弧
AB
所对的圆心角和圆周角
∴
2AOBACB
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆
周角所对的弧是等弧；
即：在⊙
O
中，∵
C
、
D
都是所对的圆周角
∴
CD
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙
O
中，∵
AB
是直径或∵
90C
∴
90C
∴
AB
是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形
是直角三角形。
即：在△
ABC
中，∵
OCOAOB
∴△
ABC
是直角三角形或
90C
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上
的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙
O
中，
∵四边形
ABCD
是内接四边形
∴
180CBAD180BD
DAEC
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切
线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵
MNOA
且
MN
过半径
OA
外端
∴
MN
是⊙
O
的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知
道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵
PA
、
PB
是的两条切线
∴
PAPB
PO
平分
BPA
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两
条线段的乘积相等。
即：在⊙
O
中，∵弦
AB
、
CD
相交于点P，
∴
PAPBPCPD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分
直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙
O
中，∵直径
ABCD
，
∴2CEAEBE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割
线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长
的比例中项。
即：在⊙
O
中，∵
PA
是切线，
PB
是割线
C
B
A
O
D
C
B
A
O
C
BA
O
C
BA
O
E
D
C
B
A
NM
A
O
P
B
A
O
P
O
D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
D
E
C
B
P
A
O
∴2PAPCPB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条
线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙
O
中，∵
PB
、
PE
是割线
∴
PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆
的的公共弦。
如图：
12
OO垂直平分
AB
。
即：∵⊙
1
O、⊙
2
O相交于A、B两点
∴
12
OO垂直平分
AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：
12
RtOOC
中，2222
1122
ABCOOOCO
；
（2）外公切线长：
2
CO是半径之差；内公切线长：
2
CO
是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙
O
中△
ABC
是正三角形，有关计算在
RtBOD
中进
行：::1:3:2ODBDOB；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在
RtOAE
中进行，
::1:1:2OEAEOA
：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在
RtOAB
中进行，::1:3:2ABOBOA.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：
180
nR
l
；
（2）扇形面积公式：
21
3602
nR
SlR
n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径
l
：扇形弧长
S
：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2SSS
侧
表底
=222rhr
（2）圆柱的体积：2Vrh
（2）圆锥侧面展开图
（1）SSS
侧
表底
=2Rrr
（2）圆锥的体积：2
1
3
Vrh
十六、圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”
间的关系进行证明．
3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．
4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．
6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．
7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
B
A
O1
O2
C
O2
O1
B
A
D
C
B
A
O
E
C
B
AD
O
B
A
O
S
l
B
A
O
母线长
底面圆周长
C1
D1
D
C
B
A
B1
R
r
C
B
A
O
8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结
公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂
线，证明垂线段的长等于圆的半径．
9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶
点．
11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．
12)．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．
13)．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一
条直角边．
十七、圆中较特殊的辅助线
1)．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．
2)．将割线、相交弦补充完整．
3)．作辅助圆．
例1如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那
么∠AOB等于()
A．35°B．90°
C．110°D．120°
例2如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于()
A．B．C．
D．
例3如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M
为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，．
求：EM的长．
例4如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交
AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程
(其中m为实数)的两根．
(1)求证：BE＝BD；
(2)若，求∠A的度数．