曲线的法线
-
2023年3月6日发(作者：屈原剧本)空间曲线的主法线曲面的几何性质
目录
第一章绪论.....................................................................................................................................1
第二章空间曲线的主法线曲面的曲率.........................................................................................1
2.1第一基本形式....................................................................................................................1
2.2第二基本形式....................................................................................................................2
2.3法曲率................................................................................................................................2
2.4主曲率................................................................................................................................2
2.5高斯曲率............................................................................................................................3
2.6平均曲率............................................................................................................................3
第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族.........................................................................3
3.1渐近线................................................................................................................................3
3.1.1空间曲线的主法线曲面的渐近线方程.................................................................3
3.1.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件.............................4
3.2曲率线................................................................................................................................5
3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程..................................................................5
3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件.......................5
3.3测地线................................................................................................................................6
3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程..................................................................6
3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件..........................7
3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件..............................7
第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件.................................................................8
4.1空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件........................................................8
4.2空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件............................................................8
第五章特殊曲线的主法线曲面的性质.........................................................................................9
5.1曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质........................................9
5.2正螺面的几何性质...........................................................................................................10
致谢：...........................................................................................................................................11
参考文献：.....................................................................................................................................12
附录：............................................................................................................................................13
第一章绪论
本文主要是对空间曲线的主法线曲面的几何性质进行系统化、全面化、深入
化的研究。通过类比一般空间曲线、曲面的研究方法，将向量、微积分的思想融
入到空间曲线的主法线曲面几何性质的研究中，从而更全面的分析和了解空间曲
线的主法线曲面的几何性质。因此，对于主法线曲面的几何性质的研究首先就是
要了解其度量性质如：曲面上曲线的长度、面积等等这些内蕴性质。了解了曲面
的内蕴性质就是要研究其几何性质包括曲面的弯曲程度。所以我们首先就是要给
出它们的第一基本形式和第二基本形式，进而给出它们的法曲率、主曲率、Gauss
曲率、平均曲率等来刻画曲面的弯曲程度。再通过研究曲面上的特殊曲线：渐近
线、曲率线、测地线并给出参数网是渐近线网、曲率线网、测地线网的充要条件
等等来说明主法线曲面的特殊性质。最后通过研究特殊曲线的主法线曲面来深化
以上的性质，使我们对于主法线曲面有更形象更深刻的认识。
第二章空间曲线的主法线曲面的曲率
2.1第一基本形式
第一基本形式描述了曲面的度量性质，它可以使我们计算出曲面上曲线的长
度与区域的面积。
设任意空间曲线的自然参数表示为()rs，
•
•
为曲线上任意一点P的主法
向量，则曲线()rs的主法曲面为
(,)()()xstrsts
。根据空间曲线的伏雷内
（
Frenet
）公式，即
()
()()
()
ks
kss
s
•
•
•
，则有
()[()()()()](1())()()()
s
xstksssstksstss，()
t
xs，
则曲面的第一基本量22()()(1())(())Ersrstksts•，0F，1G。
因此，空间曲线的主法线曲面的第一基本形式是：
Ⅰ=2222222[(1())(())]EdsFdsdtGdttkstsdsdt。
2.2第二基本形式
正如在研究空间曲线的时候我们不仅仅研究了弧长，还研究了曲线的曲率与
挠率。对于曲面我们也不仅仅要研究该曲面的内蕴性质，即曲面的第一基本形式
所确定的几何性质还应该研究刻画曲面离开切平面的弯曲程度的量。因此，我们
引入第二基本形式来表示空间曲线的主法线曲面的弯曲性。
曲面的单位法向量
222
[1()]()()()
(1())(())
stst
st
xxxx
tksstss
n
xx
EGFtksts
，
22(())()(()(())(()))()()()
ss
xtksskstkstsstss••
，
()()()()
st
xkssss，
0
tt
x
则有第二基本量分别为：
22
22
()()()()()
(1())(())ss
tskststkss
Lrn
tksts
•••
•
，
22
()
(1())(())st
s
Mrn
tksts
•
，
0
tt
Nrn•
因此，空间曲线的主法线曲面的第二基本形式是：
Ⅱ=
22
2
2222
()()()()()2()
(1())(())(1())(())
tskststksss
dsdsdt
tkststksts
•••
。
2.3法曲率
由第二基本形式可以知道曲面在已知点处的弯曲性仍与方向相关，即沿着不
同的方向曲面以不同的速度离开切平面。所以，我们用法曲率
n
k刻画曲面上一点
在方向
ds
dt
上的弯曲性，则空间曲线的主法线曲面的法曲率为：
22
2
2222
22
222222
()()()()()2()
(1())(())(1())(())
2
2[(1())(())]n
tskststksss
dsdsdt
tkststksts
LdsMdsdtNdt
k
EdsFdsdtGdttkstsdsdt
•••
2.4主曲率
曲面上已知点（非脐点）的法曲率是一个随着方向不断变化的变量，在这些
变化的值中存在的最大值和最小值，即曲面在已知点的主曲率
1
k、
2
k。
根据主曲率的计算公式222()(2)()0
NN
EGFkLGMFNEkLNM。
即有空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式为：
222
222
22
22
()()()()()()
[(1())(())][]0
(1())(())
(1())(())NN
tskststksss
tkstskk
tksts
tksts
•••
解之得：
22
4
1
2
LLEM
k
E
，
2
22
4
2
LLEM
k
E
2.5高斯曲率
1
k、
2
k是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则高斯曲率是
22
12
222
()
[(1())(())]
Ms
Kkk
Etksts
，
它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的总的弯曲程度。当曲面的高斯曲率是
常数时，我们就称此曲面是常曲率曲面。
不难发现，曲面上任意一点都有0K，则空间曲线的主法线曲面上的点不
可能是椭圆点。同时，我们也可以知道空间曲线的主法线曲面是一类直纹面。
特别地，当且仅当对于曲面上任意一点
0K
时，有挠率
()0s
，即空间曲
线()rs为平面曲线时，空间曲线的主法线曲面是可展曲面。
2.6平均曲率
1
k、
2
k是空间曲线的主法线曲面上的主法曲率，则平均曲率是：
22
12
223/2
()()()()()
222[(1())(())]
kk
Ltskststkss
H
Etksts
•••
。
它描述了空间曲线的主法线曲面在一点处的平均的弯曲程度。
第三章空间曲线的主法线曲面上的特殊曲线族
3.1渐近线
3.1.1空间曲线的主法线曲面的渐近线方程
空间曲面上渐近曲线的微分方程是2220LdsMdsdtNdt。由空间曲线的
主法线曲面的第二基本量可知，此类空间曲面上的渐近曲线的微分方程是
220LdsMdsdt，
即
22
2
2222
()()()()()()
20
(1())(())(1())(())
tskststksss
dsdsdt
tkststksts
•••
所得渐近线的微分方程为0ds以及
22[()()()()()]2()0tskststkssdssdt•••
（3.1）。
整理（3.1）可得：
2
[()()()()]11
()0
2()2()
skskss
dssdsdt
stst
••
•
。
令
1
u
t
，则有
()()()()()
2()2()
dusskssks
u
dsss
•••
，可以发现上式是一次线性非齐
次方程。因此，根据常微分方程的常数变易法可得到（3.1）的通解为：
11()()()()
()2()
skssks
tds
u
ss
••
。
综上所述，空间曲面上的渐近曲线的方程为
1
sc（其中
1
c为常数），
1()()()()
()2()
skssks
tds
ss
••
。
特别地，空间曲线()rs在它的主法线曲面上是渐进曲线。因为空间曲线的主
法线曲面的法向量是
222
[1()]()()()
(1())(())
stst
st
xxxx
tksstss
n
xx
EGFtksts
，而曲线
()rs的主法向量是()s，故n与()s的夹角是
2
，则曲线上任意一点处沿切方
向的法曲率0
n
k，即空间曲线()rs在它的主法线曲面上是渐进曲线。
3.1.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件
由3.1.1可知空间曲线的主法线曲面的渐近网的方程是220LdsMdsdt，
而曲纹坐标网的方程是0dsdt，即0ds或0dt。因此，若该曲面的曲纹坐标
网是渐近网，则必可推出
0L
。同样的，若
0L
，则曲纹坐标网的方程与渐近网的方程相同，即该曲面
的曲纹坐标网就是渐近网。由此，我们可以知道空间曲线的主法线曲面的曲纹坐
标网是渐近网的充要条件是0L，即
22
22
()()()()()
0
(1())(())
tskststkss
tksts
•••
，
则可以得到
[()()()()]()0tsksksss
•••
，由t的任意性可知：
()0
()()()()0
s
skskss
•
••
，由微分知识可知
()s和
()ks
均为常数。
我们知道常见曲线——一般螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个
定比，即
2
()
()
ks
c
s
（其中
2
c为常数）的空间曲线称为一般螺线。故我们有以下结
论：
定理1空间曲线
()rs
的主法线曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是
()rs
为空间的一般螺线。
3.2曲率线
3.2.1空间曲线的主法线曲面的曲率线方程
空间曲面上曲率线的微分方程是
22()()()0EMLFdsENLGdsdtFNMGdt。
由空间曲线的主法线曲面的第一、二基本量可知，此类曲面上的曲率线的微分方
程是220EMdsLdsdtMdt，即
222222[(1())(())]()[()()()()()]()0tkstssdstskststkssdsdtsdt•••
特别地，由球面的第一、二基本量22cosER，0F，2GR，
2cosLR
，0M，NR可知
1
EG
LM
，且L、M、N不同时为零，
故球面上的每一点都是圆点。同时，平面上每一点处都有0LMN，故平
面上每一点都是平点。因此，我们可以知道平面上和球面上任意曲线都是曲率线。
3.2．2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件
由3.2.1可知空间曲线的主法线曲面的曲率线网的方程是：
220EMdsLdsdtMdt，
而曲纹坐标网的方程是0dsdt，即0ds或0dt。因此，若该曲面的曲纹坐标
网是曲率线网，则必可推出0EM，0M。同样的，若0M，则曲纹坐标网
的方程与曲率线网的方程相同，即该曲面`的曲纹坐标网就是曲率线网。由
此，我们可以知道空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是
0M，即
22
()
0
(1())(())
s
tksts
，解得
()0s。我们知道
()0s
的曲线是
平面曲线。故此充要条件可以表述为：空间曲线
()rs
的主法线曲面的曲纹坐标网
是曲率线网的充要条件是曲线
()rs
为平面曲线。
3.3测地线
3.3.1空间曲线的主法线曲面的测地线方程
因为空间曲线的主法线曲面
(,)xst
的第一基本量中
0F
，所以
(,)xst
上的曲
纹坐标网是正交网,则根据刘维尔（liouville）公式可以得到该曲面上测地线（C）
1
1
()
()
sss
tts
（其中
1
s为（
C
）的自然参数）的一阶微分方程为：
1
1
1
1ln1ln
cossin
22
1
cos
1
sin
dEG
dsts
GE
ds
ds
E
dt
ds
G
。将2.1和2.2中的第一、二基本量带
入可得
22
1
22
1
1
1ln((1())(()))
cos
2
1
cos
(1())(())
sin
dtksts
dst
ds
ds
tksts
dt
ds
，
特别地，我们可以知道空间曲线
()rs
不可能为其主法线曲面
(,)xst
上的测地
线。由于空间曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲线主法向量与曲面的
法向量n共线。所以，如果空间曲线
()rs
是其主法线曲面
(,)xst
上的测地线，则
必有0
s
nx•，0
t
nx•，并且有
0
0
s
t
x
x
•
•
。而对于空间曲线的主法线曲面而
言，0
s
x•，10
t
x•，故空间曲线()rs不可能为其主法线曲面
(,)xst
上
的测地线。
3.3.2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地网的充要条件
半测地坐标网的定义为：曲面上的坐标网，其中一族是测地线，另一族是这
族测地线的正交轨线。因为空间曲线的主法线曲面上0F，即曲纹坐标网是正
交网，那么只要有s-曲线是测地线，则t-曲线必是其正交轨线，此时空间曲线
的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地坐标网。
当s-曲线是测地线时，有s-曲线的方程是0dt。由
1
sin0
dt
ds
得到，
0
。并且由刘维尔公式可知
22ln((1())(()))
0
tksts
t
，即E与t无关，则有
1E。而反过来，如果1E时，那么s-曲线0dt使得
1
sin0
dt
ds
，即0。
代入刘维尔公式可知其测地曲率为零，即s-曲线是测地线。由此，我们可以知
道：
定理2空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是半测地坐标网的充要条件是
1E。
3.3.3空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网的充要条件
如果空间曲线的主法线曲面的曲纹坐标网是测地网，那么就是说s-曲线和t-
曲线都是测地线。又因为0F可以知道该曲纹坐标网是测地网同时也必是半测
地坐标网，即该曲面的第一基本形式是Ⅰ=22dsdt。s-曲线的方程为
0dt
，
由
1
sin0
dt
ds
得到0。代入刘维尔公式可知其测地曲率为零，即s-曲线是测
地线。同样的，t-曲线的方程为0ds，由
1
cos0
ds
ds
得到
2
，则代入刘
维尔方程可得0
g
k，即t-曲线使测地线。由此可知：
定理3对于空间曲线的主法线曲面而言，若其曲纹坐标网是测地线网的充要
条件与是半测地坐标网的充要条件一致，即1E。
第四章主法线曲面是常曲率或极小曲面的充要条件
4.1空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件
若空间曲线的主法线曲面是常曲率曲面，即高斯曲率K是常数，则得方程式
0
0
K
t
K
s
，解之得
()0s
。在学习空间曲线的相关性质时，我们知道挠率恒等
于零的空间曲线是平面曲线。相反地，对于
()0s
的空间曲线()rs而言，其所
对应的主法线曲面
(,)xst
的高斯曲率是恒等于零的，即
(,)xst
是常曲率曲面。即
定理4空间曲线()rs的主法线曲面是常曲率曲面的充要条件是()rs为空间
的平面曲线，即()0s。
4.2空间曲线的主法线曲面是极小曲面的充要条件
定义1当曲面的平均曲率是零时，我们就称此曲面是极小曲面。
极小曲面刻画的是过空间光滑闭曲线（C）的曲面S，使得（C）包围的曲面
区域面积最小。如果空间曲线的主法线曲面
(,)xst
是极小曲面，那么必有
22
223/2
()()()()()
0
2[(1())(())]
tskststkss
H
tksts
•••
，即
[()()()()]()0tsksksss
•••
。
故
()()()()0
()0
skskss
s
••
•
，则
()s和
()ks
均为常数。在3.1.2中我们也提到一般
螺线的一个等价定义为：曲率和挠率之比是一个定比，即
2
()
()
ks
c
s
（其中
2
c为常
数）的空间曲线称为一般螺线。因此有以下结论：
定理5空间曲线
()rs
的主法线曲面是极小曲面的充要条件是
()rs
为空间的
一般螺线。
第五章特殊曲线的主法线曲面的性质
通过以上四章的研究，我们知道了一般曲线的主法线曲面的许多重要的几何
性质。下面我们将通过讨论特殊曲线的主法线曲面的几何性质来深化对主法线曲
面的几何性质的理解。
5.1曲率和挠率均为常数的特殊曲线的主法线曲面的几何性质
因为曲率()ks和挠率()s均为常数，则不妨设
3
()ksc，
4
()sc（其中
3
c、
4
c为常数），那么此特殊曲线必定是一般螺线，并有()0ks
•
和()0s•
。同时，
可以计算得第一基本量是：22
34
(1)()Etctc，0F，1G，第二基本量是：
4
22
34
0,,0
(1)()
c
LMN
tctc
，故有第一、二基本形式分别为：
Ⅰ=222222
34
2[(1)()]EdsFdsdtGdttctcdsdt，Ⅱ=4
22
34
(1)()
c
dsdt
tctc
。
为了研究该类曲面的弯曲性，我们将进一步研究它们的法曲率、主曲率、高斯曲
率以及平均曲率。根据空间曲线的主法线曲面的主曲率计算公式可得：
4
22
34
22
4
1
2(1)()
c
LLEM
k
Etctc
，
4
2
22
34
22
4
2(1)()
c
LLEM
k
Etctc
。
则高斯曲率是
2
4
222
34
[(1)()]
c
K
tctc
，平均曲率是
0H
。由此可知这一类的曲
面都是极小曲面，并且当且仅当
4
()0sc时，即该曲线是平面曲线时，该曲
面才是可展曲面。
下面我们将通过讨论这类主法曲面上的特殊曲线渐近线、曲率线以及测地线
来研究其几何性质。根据空间曲面上的渐近曲线的方程可得sm，tn（其中
,mn为常数），即曲面上的s-曲线和t-曲线都是渐近线，由此也可以推出其曲纹
坐标网一定是渐进网。同样的，根据空间曲面上的曲率线的方程可得：
2222
3444
[(1)()]0tctccdscdt，解得：
22
34
1
[(1)()]
ds
dttctc
或
()0s
。则
由此结果可以知道平面曲线生成的主法线曲面上的所有曲线都是曲率线。如果此
类曲面上的测地网是曲纹坐标网，那么就有22
34
(1)()1Etctc，由t的任意
性可知必有
34
,cc均为零，即()rs为直线的时候此类主法线曲面上的曲纹坐标网才
是测地线网。
5.2正螺面的几何性质
正螺面是微分几何曲面论中重要研究对象，其本身具有很多重要的几何性
质。我们下面就通过考察正螺面上某些特殊曲线的性质，使得正螺面的一些特征
更加形象生动。
正螺面的方程为：(,)cos,sin,ruvuvuvbv，则可以计算得第一、二基本量
是1E，0F，22Gub，
22
0,,0
b
LMN
ub
，故有第一、二基本形
式分别为：Ⅰ=2222222()EduFdudvGdvduubdv，Ⅱ=
22
2b
dudv
ub
。从
第二章的研究中可以知道，高斯曲率和平均曲率可以体现曲面的总体曲率，因此
为了进一步探究正螺面的曲率，我们首先求得主曲率
1
22
b
k
ub
和
2
22
b
k
ub
，则高斯曲率
2
22
b
K
ub
，平均曲率
0H
。由
此可以说明正螺面是一个特殊的直纹面，而Ⅱ=
22
2
0
b
dudv
ub
，即0du或
0dv
是沿着直纹面的直母线。因为
0LN
，由主法线曲面上曲纹坐标网是渐
近网的充要条件可知，正螺面的曲纹坐标网是渐近网，则一族渐近线是
00
cos,sin,ruvuvbv，而另一族渐近线是
000
cos,sin,ruvuvbv，所以正螺
面上一族渐近线是直线，另一族是圆柱螺线。并且由平均曲率
0H
可知正螺面
是极小曲面。
致谢：
本文是在杨明升老师的亲切关怀和精心指导下，在周围同学的热情帮助以及
自己的不懈努力下完成的。
首先我要感谢数学科学学院四年来对我的培养，感谢学院老师和领导，是他
们的谆谆教诲让我在南京师范大学这样好的学习实践的平台成长，使我在这四年
中源源不断的汲取新的知识，不断进步。
然后我要感谢我的论文指导老师杨明升老师，他严谨的治学态度、渊博的知
识、刻苦的钻研精神，开阔了我的眼界，并且鞭策我不断前进使我受益匪浅。
最后我要感谢我的家人，他们一直在我的背后默默的支持和鼓励着我，让我
有了前进的动力。
参考文献：
（1）陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社，1990.
（2）梅向明、黄敬之，微分几何，第四版，高等教育出版社，2008.
（3）陈省身、陈维桓，微分几何讲义，北京大学出版社，1983.
（4）王幼宁，微分几何讲义，北京师范大学出版社，2003.
（5）孟道骥、梁科，微分几何，科技出版社，1999.
（6）苏步青、胡和生等，微分几何，人民教育出版社，1979.
（7）吴大任，微分几何，第三版，高等教育出版社，1979.
（8）虞言林、郝凤歧，微分几何讲义，高等教育出版社，1989
（9）王申怀、刘继志，微分几何，北京师范大学出版社，1988.
（10）宋鸿藻，微分几何及其应用，河南大学出版社,1993.
（11）姜国英，黄宣国，微分几何一百例，高等教育出版社，1992.
（12）Ｈ.霍普夫著.，吴大任译.，整体微分几何，科学出版社,1987
（13）袁媛，刘立会，曲线的主法线曲面，东北大学学报，28（2007），NO.1,145-148.
(14)o,DifferentialGeometryofCurvesandSurfaces,
Prentice-Hall,Inc.1976.
（15）su,Surfaceswithconstantmeancurvature[J],Translations
ofMathematicalMonographs,221(2003),21-65.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您
的好评与关注！）