组合数性质

组合数性质

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2023年3月4日发(作者：山梨酸钾的作用与功效)

选修2-3《组合数的性质》辅导与练习

知识方法：

1.组合数的性质1：mn

n

m

n

CC．

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中

取出m个元素的每一个组合，与剩下nm个元素的每一个组合一一对应

．．．．

，所以从n个不同

元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：

mn

n

m

n

CC．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。

证明：∵

)!(!

!

)]!([)!(

!

mnm

n

mnnmn

n

Cmn

n





又

)!(!

!

mnm

n

Cm

n



，∴mn

n

m

n

CC

说明：

①规定：10

n

C；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：

当

2

n

m

时，计算m

n

C可变为计算mn

n

C，能够使运算简化.例如2001

2002

C＝20012002

2002

C＝1

2002

C

=2002；

④y

n

x

n

CCyx或nyx。

2．组合数的性质2：m

n

C

1

＝m

n

C+1m

n

C．

一般地，从

121

,,,

n

aaa这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是m

n

C

1

，这些组合

可以分为两类：一类含有元素

1

a，一类不含有

1

a．含有

1

a的组合是从

132

,,,

n

aaa这n个元

素中取出m1个元素与

1

a组成的，共有1m

n

C个；不含有

1

a的组合是从

132

,,,

n

aaa这n个

元素中取出m个元素组成的，共有m

n

C个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性

质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

证明：

)]!1([)!1(

!

)!(!

!

1









mnm

n

mnm

n

CCm

n

m

n)!1(!

!)1(!







mnm

mnmnn

)!1(!

!)1(







mnm

nmmn

)!1(!

)!1(







mnm

nm

n

C

1

∴m

n

C

1

＝m

n

C+1m

n

C。

说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而

上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算。

同步练习：

1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中

各至少选一门，则不同的选法共有()

A．30种B．35种C．42种D．48种

2．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各

选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()

A．150种B．180种C．300种D．345种

3．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，

若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()

A．12种B．18种C．36种D．54种

4．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，

则不同的组队方案共有()

A．70种B．80种C．100种D．140种

5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列

表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的

信息个数为()

A．10B．11C．12D．15

6.如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，

使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为()

A．40B．48C．56D．62

7．从1,2,3,4中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____．

8．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽

派方法数为________．

9．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有____种．

三、解答题

10．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多

少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

11．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的

分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)

甲、乙、丙各得3本．

12．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C

1

、C

2

、

C

3

、C

4

、C

5

、C

6

，直径AB上有异于A、B的四个点D

1

、D

2

、D

3

、D

4

.

(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含

C

1

点的有多少个？

(2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？

参考答案：

1.解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，

共有C1

3

C2

4

＋C2

3

C1

4

＝18＋12＝30种选法．

法二：总共有C3

7

＝35种选法，减去只选A类的C3

3

＝1种，再减去只选B类的C3

4

＝4种，

故有30种选法．

2.解析：选D.依题意，就所选出的1名女同学的来源分类：第一类，所选出的1名女同学来

自于甲组的相应选法有C1

3

·C1

5

·C2

6

＝225种；第二类，所选出的1名女同学来自于乙组的相应

选法有C1

2

·C1

6

·C2

5

＝120种．因此满足题意的选法共有225＋120＝345种，选D.

3.解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C1

3

种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个

信封中，有C2

4

C2

2

种方法，所以共有C1

3

C2

4

C2

2

＝18种方法．

4.解析：选A.当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有C3

5

＋C3

4

＝14种组法，从9

人中选择3人一共有C3

9

＝84种组法，所以要求男，女医生都有的情况共有84－14＝70种组

队方法．本题也可以应用直接法进行求解：当小分队中有一名女医生时有C1

4

C2

5

＝40种组法；

当小分队中有2名女医生时有C2

4

C1

5

＝30种组法，故共有70种组队方法．

5.解析：选B.与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：

第一类：与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，

其他2个不同，有C2

4

＝6个；

第二类：与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，

其他3个不同，有C1

4

＝4个；

第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，

有C0

4

＝1个．

由加法原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝

11.

6.解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：

第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C3

5

种取法；

第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C3

4

种取法；

第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，

有4C1

2

种取法．

所以，满足题意的不同取法共有4C3

5

＋2C3

4

＋4C1

2

＝56种．

7.解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C2

4

＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为

{1,2}，{2,4}，故P＝

2

6

＝

1

3

.答案：

1

3

8.解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C4

5

C1

2

C1

2

C1

2

C1

2

＝

80(种)．答案：80

9.解析：分两类，有4件次品的抽法为C4

4

C1

46

(种)；有三件次品的抽法有C3

4

C2

46

(种)，所以共有

C4

4

C1

46

＋C3

4

C2

46

＝4186种不同的抽法．答案：4186

10.解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元

素的组合数，即C2

10

＝

10×9

2×1

＝45(种)．

(2)从6名男教师中选2名的选法有C2

6

种，从4名女教师中选2名的选法有C2

4

种，根据分

步乘法计数原理，共有选法C2

6

·C2

4

＝

6×5

2×1

·

4×3

2×1

＝90(种)．

11.解：(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本，这件事分三步完成．

第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C4

9

种方法；

第二步：从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C3

5

种方法；

第三步：把剩下的两本书给丙，有C2

2

种方法．

根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法C4

9

C3

5

C2

2

＝1260(种)．

所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1260种．

(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．

第一步：按4本、3本、2本分成三组，有C4

9

C3

5

C2

2

种方法；

第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A3

3

种方法．

根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法C4

9

C3

5

C2

2

A3

3

＝7560(种)．

所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7560(种)．

(3)用与(1)相同的方法求解，得

C3

9

C3

6

C3

3

＝1680(种)．所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1680种．

12.解：(1)可分三种情况处理：

①C

1

、C

2

、„、C

6

这六个点任取三点可构成一个三角形；

②C

1

、C

2

、„、C

6

中任取一点，D

1

、D

2

、D

3

、D

4

中任取两点可构成一个三角形；

③C

1

、C

2

、„、C

6

中任取两点，D

1

、D

2

、D

3

、D

4

中任取一点可构成一个三角形．

∴C3

6

＋C1

6

C2

4

＋C2

6

C1

4

＝116(个)．其中含C

1

点的三角形有C2

5

＋C1

5

·C1

4

＋C2

4

＝36(个)．

(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C4

6

＋C3

6

C1

6

＋C2

6

C2

6

＝360(个)．