通解和特解的区别
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2023年3月4日发(作者：不锈钢管规格型号表)有关独立任意常量与通解特解的关系
第六节二阶线性微分方程解的结构
二阶线性微分方程的一般形式是
＋p(x)＋q(x)y＝f(x)(6.1)
它是关于未知函数y，及其导数，是一次式的微分方程，其中p(x)、
q(x)、f(x)是x的已知函数，函数f(x)称为方程的自由项，当f(x)＝0
时，则(6.1)成为
＋p(x)＋q(x)y＝0(6.2)
称为二阶线性齐次方程，而(6.2)称为二阶线性非齐次方程。
下面我们讨论线性方程解的结构问题，为方便起见我们利用微分算子，
将(6.1)式的左端记为Ｌ［y］，即
L［y］≡＋p(x)＋q(x)y
L＝＋p(x)＋q(x)表示这样一种运算，将其施行于y，就得＋
p(x)＋q(x)y，这种运算具有线性变换的二条性质：
(1)若y具有二阶导数，C为常数，则有
L［Cy］＝CL［y］
事实上L［Cy］＝＋p(x)＋q(x)(Cy)
＝C(＋p(x)＋q(x)y)＝CL［y］
(2)对于任意两个具有二阶导数的函数y
1
和y
2
有
L［y
1
＋y
２
］＝L［y
1
］＋L［y
2
］
事实上L［y
1
＋y
2
］＝＋p(x)＋q(x)(y
1
＋y
2
)
＝＋p(x)＋q(x)y
1
＋＋p(x)＋q(x)y
2
＝L［y
1
］＋L［y
2
］
这样(6.1)，(6.2)可写成如下形式
L［y］＝f(x)(6.3)
L［y］＝O(6.4)
我们可将算子L［y］看作映射，那么求解方程(6.3)，(6.4)，就
是相应地求f和O在L［y］下的原象。因此，在映射的观点下，
不论求代数z方程的解还是求微分方程的解，都是求原象问题，
这样可把不同类别的方程的求解问题，在映射概念的基础上统一
了起来。
对于线性齐次方程的解，有下述两个定理
定理一设y
1
和y
2
是方程(6.2)的两个解，则C
1
y
2
＋C
2
y
2
也是方程(6.2)
的解，这里C
1
和C
2
是常数。
证因为y
1
和y
2
是方程(6.2)的解，则有
L［y
1
］＝0，L［y
2
］＝0，再由L的性质，有
L［C
1
y
1
＋C
2
y
2
］＝C
1
L［y
1
］＋C
2
L［y
2
］＝0
所以C
1
y
1
＋C
2
y
2
是方程(6.2)的解。证毕
为进一步考察C
1
y
1
＋C
2
y
2
是不是方程(6.2)的通解，我们引入函数
线性相关与线性无关概念。
定义对于定义在某区间上的两个函数y
１
(x),y
2
(x)，若存在两个不全
为零的常数k
1
，k
2
，使得在该区间内恒等式
k
1
y
1
(x)＋k
2
y
2
(x)≡0
成立，则称函数y
1
(x)，y
2
(x)在该区间内是线性相关的。若上式仅当k
1
，
k
2
全为零时才能成立，则称y
1
(x)，y
2
(x)在该区间内是线性无关的。
由定义可知，若函数y
1
(x)，y
２
(x)线性相关，则存在两个不全为零的常
数k
1
，k
2
，使得
k
1
y
1
(x)＋k
2
y
2
(x)≡0
设k
2
≠0有＝－(常数)；反之若它们的比不是常数，则y
１
（x），
y
2
(x)必为线性无关。
例如：函数y
1
(x)＝sin2x，y
2
(x)＝６sinxcosx是两个线性相关的函数，
因为
＝＝。
又如：函数y
1
(x)＝，y
2
(x)＝ex是两个线性无关的函数，因为＝
＝e－3x
下面给出C
1
y
1
＋C
2
y
2
是方程(6.2)通解的条件，有以下定理：
定理二若y
1
，y
2
是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则
y=C
1
y
1
＋C
２
y
2
是方程(6.2)的通解，其中C
1
，C
2
是两个任意常数。
证由定理一，y＝C
1
y
1
＋C
2
y
2
是方程(6.2)的解，又因为y
1
与y
2
是线性
无关的，所以两个任意常数C
1
,C
2
不能合并，即它们相互独立，所以y
＝C
1
y
1
＋C
2
y
2
是方程(6.2)的通解。证毕
下面讨论非齐次方程的通解的结构，有如下定理：
定理三设是方程(6.1)的一个特解，而Y＝C
1
y
1
＋C
2
y
2
是其对应的齐
次方程(6.2)的通解，则
y＝Y＋＝C
1
y
1
＋C
2
y
2
＋
是方程(6.1)的通解，其中C
1
，C
2
是两个任意常数。
证：因为是方程(6.1)的一个特解，所以有
L［］＝f(x)
又因为Y＝C
1
y
1
＋C
2
y
2
是方程(6.2)的通解，有
L［C
1
y
1
＋C
2
y
2
］＝0
则L［C
1
y
1
＋C
2
y
2
＋］＝0＋f(x)＝f(x)
从而y＝C
1
y
1
＋C
2
y
2
＋是方程(6.1)的解。
又由于其含有两个相互独立的任意常数C
1
，C
2
，所以y＝C
1
y
1
＋C
2
y
2
＋是
方程(6.1)的通解。证毕
这个定理对于一阶线性微分方程的通解也成立。在第三节中我们已看到
方程
＋p(x)y＝q(x)的通解是其本身的一个特解＝e－
∫p(x)dx∫q(x)e∫pdxdx与对应的齐次方程＋p(x)y＝0的通解Y＝Ce
－∫p(x)dx之和，即y＝＋Y是方程＋p(x)y＝q(x)的通解。
定理四设函数y
1
与y
2
分别是线性非齐次方程
＋p(x)＋q(x)y＝f
1
(x)
＋p(x)＋q(x)y＝f
2
(x)
的一个特解，则y
1
＋y
2
是方程
＋p(x)＋q(x)y＝f
1
(x)＋f
2
(x)的一个特解
证由假设L［y
1
］＝f
1
(x)，L［y
2
］＝f
2
(x)，所以
L［y
1
＋y
2
］＝L［y
1
］＋Ｌ［y
2
］＝f
1
(x)＋f
2
(x)，
即y
1
＋y
2
是方程＝p(x)＋q(x)y＝f
1
(x)＋f
2
(x)的一个特解。证毕
定理五设y＝y
1
＋iy
2
是方程
＋p(x)＋q(x)y＝f
1
(x)＋if
2
(x)
(其中p(x),q(x)，f
1
(x),f
2
(x)是实值函数)的解。
则y
1
是方程＋p(x)＋q(x)y＝f
1
(x)的解。
y
2
是方程＋p(x)＋q(x)y＝if
2
(x)的解。
证由假设
＋p(x)＋q(x)(y
1
＋iy
2
)≡f
1
(x)＋if
2
(x)
即［＋p(x)＋q(x)y
1
］＋i［＋q(x)＋q(x)y
2
］≡f
1
(x)
＋if
2
(x)
由于恒等式两边的实部与虚部分别相等，得
＋p(x)＋q(x)y
1
≡f
1
(x)
＋q(x)＋q(x)y
2
≡f
2
(x)
证毕.