电磁理论

电磁理论

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2023年3月3日发(作者：单病种)

1

关于电磁场理论与电路理论的关系

摘要

电磁场理论和电路理论是大学物理非常重要的内容，对与应用物理专业学生来说，

应该掌握电磁场理论和电路理论知识。由于人们对经典电路理论的实用性印象极深,而电

磁场理论却相对比较抽象,以至人们有时不知不觉将电路理论和电磁场理论割裂开来,认

识不到两者的内在联系。本文的目的是建立电磁场理论和电路理论之间的统一关系,强调

场论的普遍性,我们从“路”理论与“场”理论各自的理论基础出发,逐步分析清楚了两

种理论基础间的关系。这样,可以更深刻地认识电路中所发生的各种电磁现象的本质,加

深对电路及电路概念的理解,并在适当地情形下,更有效地利用“路”理论简化对复杂电

磁场问题地分析。

关键词：电磁场，电路，安培环路定理，麦克斯韦方程，基尔霍夫定律

人们把电磁场与导体的相互作用而产生电的现象称为电磁感应。1820年，奥斯特在

发现电流的磁效应，揭示了电与磁联系的电生磁一个方面。1831年，法拉第发现通电线

圈在接通和断开的瞬间，能在邻近线圈中产生感应电流的现象。揭示了电与磁联系的磁

生电另一个方面。根据奥斯特的实验的原理制造出电动机，根据法拉第电磁感应的规律

制造出了发电机。电磁感应现象的发现在理论上有重大意义，使人们对电和磁之间的联

系有更进一步的认识，从而激发人们探索电和磁之间的普遍联系的理论。在解决电磁场

问题或电路问题时，电磁理论和电路理论是紧密联系的,但许多情况下人们对这两种理论

间地认识不全面,导致不能很好地理解两者之间的关系,从而在很大程度上影响了应用电

路理论简化电磁场问题地分析,为此文中将从安培环路定理、麦克斯韦方程、基尔霍夫定

律来分析这两种理论的联系。

1,安培环路定理

安培环路定理是表明电磁场与电路相联系的重要定理之

一，下面试安培环路定理[1]的推到。磁场B由无限长直导线激

发，而且闭曲线L躺在与直导线垂直的平面内（如图1），我们

图1，导线I垂直闭曲线L

I

dφ

B

Ө

dl

2

来计算B沿L的环流，由可知任一线元dl对环流的贡献为：

（1-1）

其中I是导线的电流，a是dl与导线的距离，

t

e是B的方向的单位矢，是

t

e与dl的夹

角（见图），以导线与片面的交点为圆心，a为半径作园，则dl对应于一个圆心角

d及

一段弧ds,由图易见addsdlcos故:

（1-2）

恒定磁场B对任意的闭合曲线L的环流满足式（1-2）称为安培环路定理。安培环路定理

说明了磁场强度B与电流的联系。

2，麦克斯韦方程

人类对电磁理论的认识经历一个由浅入深，由片面到全面的过程，对静电和静磁现

象的早期研究建立了关于静电场和静磁场的如下方程[2]：

静电场：（2-1）

(2-2)

（2-3）

静磁场：（2-4）

对任意给定的闭曲线L而言，以L为边线的任意一曲面都有相同的J（传导电流）通量，麦

克斯韦引入电流密度是，其中PED

0

是点位移矢量，P为介质中的极化强度，

位移电流密度和传导电流密度是平等的，根据安培环路定理：

(2-5)

上式表明一个物理规律：变化的电场激发着涡旋磁场。那么电磁场量E和B必须满足麦克

斯韦方程组[3]：

0

0









dlE

q

EdS

L

s

dSJuBdl

SBd

ss

S









0

0

dS

t

E

JuudlBdS

t

E

c

JudlB

dSB

dS

t

B

dlE

dV

q

dSE

sLsL

S

sL

VS



























































000

2

0

00

1

,0

,

,

1







或

Iud

Iu

Bdl

L

0

2

0

0

2





图2，以L为边线的s1和s2

t

D





dSj

t

D

dlH

sL



























cos

22

00dl

a

Iu

dle

a

Iu

dlB

t



a

Iu

B

2

0

3

它反映在场源（电荷密度ρ及电流密度J）给定的前提下电场E和磁场B随时间的演化所遵

循的规律，电磁场反过来又会按洛仑磁力公式对场源（带电粒子）施加作用。体现了电

磁场与电场的相互作用，也表明电磁理论与电路理论存在着密切的联系。

3，基尔霍夫定律

对基尔霍夫定律路论与场论之间的关系进行探讨。用电磁场理论推导出电路理论中

的基尔霍夫定律，得出基尔霍夫定律的实质是电磁场基本规律的简化,是“场”的特殊情

形。进一步证明了场论是路论的理论基础。在电路理论中,讨论的是路的元件及其施加于

元件上的端电压u和流经元件的电流i。在电磁场理论中,讨论的是场矢量E、D、B、H、

δ和它们的位置函数的值。电路参数的推求要用“场”的方法,电路基本定律也可以从

麦克斯韦电磁场基本方程组导出,“路”与“场”是相互关联的。

基尔霍夫定律[4]是集总电路的基本定律,它包括电压定

律和电流定律。

3.1基尔霍夫电压定律

在集总电路中,任何时刻,沿任一回路,所有支路（如

图3-1）的电压的代数和恒等于零，即Σu=0

在图3-1所示电路中,根据基尔霍夫电压定律有：

(3-1)

3.2基尔霍夫电流定律

在集总电路中,任何时刻,对任一结点,所有流出

结点的支路电流的代数和恒等于零,即Σi=0

在图3所示电路中,根据基尔霍夫电流定律有：

0

cLR

iii(3-2)

3.3用场论导出路论中的基尔霍夫电压定律

如图3-1所示电路,设R、L、C三个串联元件和电源组成的电路符合简化条件。图

中

S

U表示电源的电压,是由电源中的局外电场强度

e

E产生的。电路中的电场强度为

d

E,总的电场强度E为电路中的电场强度

d

E和局外电场强度

e

E之和,即：

ed

EEE(3-3)

0

Sc

U

dt

di

LuiR

图3-1，说明KVL的电路

图3-2，说明KCL的电路

4

t

D

c





t

D





电路中的电场强度

d

E包括由于在电源两极、电容器两极以及导线表面堆积的电荷所

造成的库仑场的电场强度。对式(3-3)两边求回路积分为：

dIEdIEdIE

ed(3-4)

因局外场只存在于电源中,故有：

S

b

a

ee

UdIEdIE(3-5)

因库仑场的电场强度回路积分等于零,根据麦可斯韦方程：

(3-6)

所以电路中的电场强度Ed的积分为：

(3-7)

因电路中有电流流动,传导电流密度和总电场强度有关系E故有：

(3-8)

电路中各段的传导电流i是相等的,且均匀地分布于导线的横截面上,故上式等号右边第

一项可写为：

(3-9)

上式中的包括电路各段的电阻以及电源的内阻。电容中无局外场强,如果

电容器是理想的平行板电容器,极板间距离为d,板面积为

c

S,极板上电荷面

密度为,则有：

(3-10)

上式中为电容器的电容,将式(3-5)(3-7)(3-9)（3-10）代入式(3-4)中,得：

(3-11)

可见,式(3-11)与式(3-1)一样,即为从场理论出发导得了路理论的基尔霍夫电压定律。

3.4用场论导出路论中的基尔霍夫电流定律

如图3-2所示电路,作一封闭面S,且设封闭面有一部分穿过电容器的极板间,截面积

为S3,封闭面与电阻支路、电感支路的导线相截的截面积分别为S1,S2根据麦克斯韦电磁

场方程式的全电流定律:

(3-12)

电流密度:其中:

c

为传导电流密度,为位移电流密度。在式(3-12)等号两边取散

度,并根据向量分析,任意向量的旋度进行散度运算后恒等于零,得:

dt

di

L

dt

d

dtB

dt

d

dlE

s

d

)(

dlEdldIE

d

cdabc







iR

s

l

idl

s

i

dl

dabcdabc







c

c

d

c

c

c

d

ce

d

c

d

c

u

C

q

S

d

qdl

S

S

dldl

D

Edl











Sc

U

dt

di

LuiR

t

D

H

c





dS

t

B

dlE

s









d

S

Cc





s

l

R





5

0



















t

D

H

c



(3-13)

那么,在图2的封闭面S所围体积的体积分应为零,即:

根据高斯定理[5]:

(3-14)

现在来看式(3-14),即在封闭面S上的积分。在封闭面和导线相截的

截面

1

S和

2

S上的电流密度是只有传导电流密度

1

c

(截面S1的电流面密度)和

2

c

(截面S2

的电流面密度),而无位移电流密度,即,因此,在这两个截面上面积分为传导

电流

R

i和

L

i,即:

(3-15)

(3-16)

如图（3-3），封闭面在电容器极板间部分上的电流密度是位移电流密度,而无传

导电流密度,即：

0

c

。下面求位移电流密度在穿过电容器的极板间截面积S3的积

分。设在图示的电路中,围绕导线取一闭合曲线l和一以l为边界且与导线相截的面'

3

S

,

由安培环路定律有:

(3-17)

由于传导电流密度只存在于导线中,因此,如果另取一个同样以l为边界但不与导线

相截却包括电容器的一个极板的面S3,则显然上式中传导电流密度在'

3

S

上的面积分即传

导电流

c

i流到电容器的一个极板,而在电容器极板间则以位移电流的形式使电流保持连

续,即有:

(3-18)

根据上述的推导,由式(14)、(15)、(16)和式(18)得到在封闭面S上的积

分为:

(3-19)

可见,式(3-19)与式(3-2)一样,即为从场理论出发导得了路理论的基尔霍夫电流定律。

图3-3，电容器及导线电路图

0



































ds

t

D

dV

t

D

S

c

V

c



dS

t

D

s

c





















0





t

D

Rc

S

c

S

c

iSdSdS

t

D



















1

1

11



Lc

S

c

S

c

iSdSdS

t

D



















2

2

22



c

S

c

idS

t

D

dS

t

D



























3



0

















cLR

S

c

iiidS

t

D



dS

t

D

c

















idSdlH

c

s

c

3

'

3

3

3



t

D





t

D























t

D

c



0

















dV

t

D

V

c



6

综上所述，从电磁场理论出发,分别导出了电路理论中著名的基尔霍夫电压定律和基

尔霍夫电流定律,表明电路基尔霍夫定律是电磁场的特殊情形,也可以从场方程导出。因

而在电路理论论和电磁理论两套体系下,电磁场的理论更为普遍,电磁场理论是电路理论

的基础。电路中的基尔霍夫定律的实质是电磁场基本规律的简化，电路理论和电磁理论

的规律是相互关联的。电路理论只研究由理想化电路元件组成的电路模型,而电路的参数

如电阻、电感、电容及电路基本定律是电磁现象和过程在特定条件下得到的,也就是说只

能运用电磁场的知识才能深刻理解。因此,彻底、深刻地了解电磁理论和电路理论的关系,

对培育学生的创新能力和理论联系实际具有深远意义。

参考文献

1.梁灿彬，秦光武，梁竹建著，《电磁学》第二版，高等教育出版社，2004.5.2

2.秦曾煌编，《电工学》第六版，高等教育出版社，2003.12.6

3.艾武，李承编《电路与磁路》，华中科技出版社，2002

4.叶齐政，孙敏编《电磁场》，华中科技出版社，2008.1

5.王蔷编《电磁场理论基础》,清华大学出版社,2001