孤立奇点

孤立奇点

-

2023年3月3日发(作者：氧化锶)

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第1页共10页

孤立奇点的类型及其判定方法

摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇

点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述

了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例

子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.

关键词:可去奇点极点本质奇点

1.引言

复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展

开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决

定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判

定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关

重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索

新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研

究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参

考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很

难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒

函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定

孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点

运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.

2.孤立奇点的类型及判断方法

2.1孤立奇点的定义

定义1如果函数)(zf在点

a

的某一去心领域RazaK||0:}{（即除去圆心

a

的某

圆）内解析，点a是)(zf的奇点，则称a为)(zf的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点

和无穷孤立奇点.

2.2孤立奇点的类型和判断

以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函

数的性质.如a为函数)(zf的孤立奇点，则)(zf的某去心领域Ka内可以展成洛朗级数

)(zf=





n

n

n

azc)(

.

我们称非负幂部分





0

)(

n

n

n

azc为)(zf在点a的正则部分，而称负幂









1

)(

n

n

n

azc

为)(zf在点a的主要部分.实际上非负幂部分表示在点a的领域:||KzaR内的解析函

数，故函数)(zf在点a的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上.

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第2页共10页

定义2如果)(zf在点a的主要部分为零，则称a为)(zf的可去奇点；

如果)(zf在点a的主要部分为有限多项，设为

),0(,

)()(

1

1

)1(



















m

m

m

m

mc

az

c

az

c

az

c



则称a为)(zf的m阶极点，一阶极点也称为单极点；

如果)(zf在点a的主要部分为无限多项，则称a为)(zf的本质奇点；

以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征.

如果a为函数)(zf可去奇点，则有

),0(,)()()(2

210

Razazcazcczf

上式等号右边表圆:||KzaR内的解析函数.如果命

,0

)(caf则)(zf在圆K内与一个

解析函数重合，也就是说，我们将)(zf在点a的值加以适当定义，则点a就是)(zf的解析

点.这就是我们称a为)(zf的可去奇点的由来.

定理1如果a为函数)(zf可去奇点充要条件lim()()

za

fzb



.

证明充分性因为a为函数)(zf可去奇点，则有

)(zf=)0()()(2

210

Razazcazcc，

于是

00

lim

za

fzcc



，

必要性lim

za

fzb



则对任给的0，有0，只要az,就有

)(zf，于是)(zf，所以在点a的某去心邻域Ka内)(zf是以M为界

的，考虑)(zf在点a的主要部分

















n

n

az

c

az

c

az)()(

c

2

21

,....)3,2,1(

)(

)(

2

1

1











nd

a

f

i

c

n

n







，

而为全含于K内的圆周

,a

可以充分小，

n

n

n

M

M

c











2

2

1

1

，

即知当1,2,n时

0

n

c





，即是说)(zf在点a的主意部分为0，即a为)(zf的可去奇点.

说明0z是

sinz

z

的可去奇点，

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第3页共10页

32sin1

()1,0

3!3!

zzz

zz

zz

，

0

sin

lim1





z

z

z

.

如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级

数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负

最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个m阶极

点，表示洛朗展开式不是有m个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是m次数了.

定理2如果函数)(zf以a为孤立奇点，则点a是函数)(zf的m阶极点充要条件是下面

两个条件中任意一条.

①在点a的某一去心领域内能表成)(zf=

maz

z

）(

)(

其中()z在点a领域内解析，且

0)(a；

②

)(

1

)(

zf

zg以点a为m阶零点（极点与零点的关系）.

证明充分性点a是函数)(zf的m阶极点，则在点a的某去心邻域内有



















)(

)()(

)(

10

1

1

)1(azcc

az

c

az

c

az

c

zf

m

m

m

m

mm

mm

az

z

az

azcc

)(

)(

)(

)(

)1(















，

其中

)(z

显然在点a的邻域内解析，且

.0)(

m

ca

所以在点a的某去心邻域内有

)(

)(

)(

1

)(

z

az

zf

zg

m







，

其中

)(

1

z

在点a的某邻域内解析，且0

)(

1



z

，因此点a位)(zg的可去奇点，只要令

()0gz，a就为)(zg的m阶零点.

必要性如果

)(

1

)(

zf

zg以点a为m阶零点，则在点a的某邻域

)()()(zazzgm，

其中)(z在此邻域内解析，且0)(z，所以

)(

1

)(

1

)(

z

az

zf

m





在此邻域内

)(

1

z

解析，

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第4页共10页

在此邻域内命





)(

)(

1

)1(

azcc

zmm

，

则)(zf在点a的主要部分就是

(1)

1

1

1

,(0),

()()()

m

m

m

mm

c

c

c

c

zazazaa















所以点a是函数)(zf的m阶极点.在充分性中已经证明条件①可以推导出条件②，所以条件

①可以推导出点a是函数)(zf的m阶极点.

定理3函数)(zf的孤立奇点a为极点的充要条件是

lim()

za

fz





.

证明函数)(zf以点a为极点的充要条件是

)(

1

zf

以点a为零点（定理2），由此知定理为

真.因此，若点a为函数)(zf的m阶零点时，则点a为函数

1

()fz

的m阶极点；若点a为函

数)(zf的m阶极点，则点a为函数

1

()fz

的m阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件.

例如函数

2

1

()

ze

fz

z



，0z不是函数)(zf的二阶极点，因为

23

1

2

11

()(),

2!3!2!3!

zzz

fzzz

z



所以，0z是函数)(zf的一阶极点.

定理4函数)(zf的孤立奇点a为本质奇点的充要条件是

lim()

za

fz



不存在.这个可以由

定理1和定理3得到证明.

定理5若

za

为函数)(zf的本质奇点，且在点a的充分小的去心邻域内部不为零，则

za

必为

)(

1

zf

的本质奇点.

证明：令

)(

1

)(

zf

z，有假设得

za

必为)(z的孤立奇点.若点a为)(z的可去奇点，

则点a必为)(zf的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点a为)(z的极点，则点a必为)(zf

的零点，与假设矛盾，故

za

必为)(z的本质奇点.

2.3在点的孤立奇点

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第5页共10页

定义3设函数)(zf在无穷远点（去心）领域{}:||Kz内解析，则称点



为)(zf

的一个孤立奇点.如果点



为)(zf的一个孤立奇点，令

1

t

z

,

1

()()()gtffz

t

则函数

()gt某去心领域{0}:0||KtR内解析，0t就为()gt之一孤立奇点.于是得到下面结

论:

（1）在对应点z与t上，函数)(zf与()gt的值相等；

（2）

0

lim()lim()

zt

fzgt



,或两个极限都不存在.

定义4若0t为()gt的可去奇点，m阶极点或本质极点，则我们相应的称z为)(zf

的可去奇点，m阶极点或本质极点.

定理6如果

z

是函数)(zf的可去奇点的充要条件lim()

z

fzb



；如果z是

函数)(zf的m阶极点的充要条件)(zf在z的某去心领域{}K内能表成

()()mfzzhz其中()hzz在

)(zu的领域K内解析，且()0hz或者

1

()

()

hzz

fz

以为m阶零点或者lim()

z

fz



；函数)(zf的孤立奇点



为本质奇点的

充要条件不存在lim()

z

fz



.

证明令

1

t

z

，

1

()()()gtffz

t

，再根据定理1,2,3,4可证.

综上所述

①如果a为函数)(zf可去奇点充要条件lim()()

za

fzb



；

②如果a为函数)(zf极点充要条件

lim()

za

fz





；

③如果a为函数)(zf本质奇点充要条件lim()

za

fz



不存在.

孤立奇点洛朗展开式特点

lim()

za

fz



可去奇点无负次数项存在且为有限值

极点

含有有限个负次数项且有非

零系数的最高负次数项



本质奇点含有无限个负次数项不存在

3.复变函数中的应用

定理7若函数)(zf在点

za

解析，点

za

为函数)(zg的可去奇点，则点

za

也为

函数)()(zgzf，)()(zgzf的可去奇点；当()0fa，()0ga时，则

za

函数

)(

)(

zf

zg

，

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第6页共10页

)(

)(

zg

zf

的可去奇点.

证明因为点

za

为)(zg的可去奇点，所以lim()

za

gzb



（有限复数）由)(zf在点

za

解析知)(zf在点

za

必连续，从而

lim()()

za

fzfa





，于是

lim()()()

za

fzgzfzb



（有限复数），

lim()()()

za

fzgzbfz



（有限复数），

所以点

za

也为)()(zgzf，)()(zgzf的可去奇点.

因为

za

是函数)(zg的可去奇点，则lim()

za

gzb



(有限数)，函数)(zf在点

za

解

析，所以

lim()()

za

fzfa





，因为()0fa,所以

()

lim

()()za

gzb

fzfz

（有限数）所以点

za

是函数

)(

)(

zf

zg

的可去奇点.同理可证点

za

是函数

)(

)(

zg

zf

的可去奇点.

定理8若函数)(zf在点

za

解析，点

za

为函数)(zg的m阶极点，则点

za

也为

函数)()(zgzf的m阶极点；当()0fa时，则点

za

也为函数的)()(zgzf，

)(

)(

zf

zg

的m

阶极点.

证明：因为点

za

为)(zg的m阶极点，所以)(zg在点a的某去心邻域内能表成

maz

z

zg

)(

)(

)(







，其中

)(z

在点a解析，且0)(a.于是

()()()

()()

()

m

m

zafzz

fzgz

za







,

令

)()()()(zzfazzm

则在点

za

解析，且0)()(aa所以点

za

也为

)()(zgzf的m阶极点.

因为点

za

为)(zg的m阶极点，所以)(zg在点a的某去心邻域内能表成

maz

z

zg

)(

)(

)(







，

其中

)(z

在点a解析，且0)(z，于是

()()

()()

()m

fzz

fzgz

za







，这里)()()(zzfz

在点

za

解析，且0)(a，所以点

za

是函数)()(zgzf的m阶极点.

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第7页共10页

同理可证点

za

是函数

)(

)(

zf

zg

的m阶极点.

定理9若函数)(zf在点

za

解析,点

za

为函数)(zg的本质奇点，则点

za

也为函

数)()(zgzf的本质奇点；当()0fa时，则点

za

也为函数)()(zgzf，

)(

)(

zf

zg

的本质奇

点.

证明因为函数)(zf在点

za

解析，所以()fzb，点

za

为函数)(zg的本质奇点

所以lim()

za

gz



不存在，假设lim[()()]lim()

zaza

gzfzgzb



存在，则

lim()(

za

gzbc



有限数）或者；

lim()(

za

gzcb



有限数）或者矛盾，

所以点

za

也为函数)()(zgzf的本质奇点.

因为点

za

为函数)(zg的本质奇点，所以lim()

za

gz



不存在；函数)(zf在点

za

解析,

且()0fa，所以lim()()

za

fzfa



，假

za

不是函数)()(zgzf的本质奇点，则

lim()()(

za

fzgzb



有限数）或，

lim[()()]

lim(=

()(

za

za

fzgz

b

gz

fafa





）或

）

相矛盾，

所以

za

是函数)()(zgzf的本质奇点.同理可证也是

)(

)(

zf

zg

的本质奇点.

定理10若)(zf在点a的某去心邻域内能表示成

)(

)(

)(

zg

zh

zf

，a为()hz的

n

阶零点，为

)(zg的m阶零点，当mn时，a为)(zf得mn阶极点;当mn时，a为)(zf的可去奇

点.

证明：

0)()(,)()(,))(()(

1111

解析，且都不等于和zgzhazgzgazzhzhmn

,

于是，1

1

()()

()

()

nmhzza

fz

gz



，所以当mn时，a为)(zf得mn阶极点;当mn时，a

为)(zf的可去奇点.

例1判断2

z

zzfze点函数的孤立奇点类型.

解令

z

1

则得



21

1

)

1

(ef，记函数为)(所以点0是此函数的解析点

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第8页共10页



































43

21

1

21

1

2

21

4

21

8

)(

)21(

2

)(













e

e

所以eee12)0(,2)0(,)0(







，

2621e，















z

z

z

ezf2

62

1

2

，

这里

z

是函数)(zf的可去奇点.

例2求下列函数奇点的类型

⑴

zzcossin

1



⑵3

2

1

iz

⑶z2tan；

解：⑴

4



kz,2,1k是原式的孤立奇点，

4

1

lim

sincoszkzz







，

4



kz是函数)(zf=zzcossin的一阶零点，所以

4



kz,2,1k是一阶

极点.

⑵iz1

2

2

是孤立奇点，iz1

2

2

是函数3

2iz的3阶零点，所以

iz1

2

2

是三阶极点.

⑶















2

1

kz是孤立奇点，















2

1

kz是函数

z

z

2

2

sin

cos

的2阶零点，所以















2

1

kz是

二阶极点.

例3求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别.

⑴

22

6

)1(

1





zz

z

(2)

21z

ez



(3)

11

1

1





z

z

e

e

(4)z

tge

1

解：（1）令原式为)(zf，则)(zf是有理分式，显然0z是单极点，当zi时，此时

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第9页共10页

分子分母均为零，

)1)(1(12426zzzz，

))((

1

)1(

)1)(1(

)(

24

22

242

izizz

zz

zz

zzz

zf











，

可见zi也是)(zf的一阶极点.当z时

))((

1

)1(

)1)(1(

)(

24

22

242

izizz

zz

zz

zzz

zf











，

可见z是)(zf的一阶极点.

（2）显然zi是)(zf的一阶极点.

当z=



时，令0zx

211

limlim0

()x

xx

x

fxe



,





211

0,limlim

x

xx

x

zxx

fxe









,

因此极限

1

lim

()zfz

不存在（包括不为



），所以，z=



是

)(

1

zf

的本性奇点，故z=



是)(zf

的本质奇点.

注：若lim()

z

fz



不存在，则z=



是)(zf的本性奇点，这是显然的，否则若z=



是可去奇点

（正则点）或极点，则lim()

z

fz



存在且有限，或lim()

z

fz



，矛盾.

（3）显然

k

z=1+ik2（0k，,2,1）是分母的零点，而分子仅有),0(1

0

kz分

子为零，所以

k

z=1+ik2（0k，,2,1）是)(zf的一阶极点.

当

1

0

zz时，令1,xyxz，则



1

10

limlim

1

y

y

xy

e

fx

e





1

10

lim()lim0,(),

1

p

p

xp

e

fxpy

e











所以

1

lim()

z

fz



不存在，故1z是)(zf的本性奇点.又



k

z（k），故z=



不是孤立

奇点.

（4）由下列注知：函数e仅有唯一的奇点，且它是本质奇点，于是令

z

tg

1

，

安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文

第10页共10页

则)(zf仅为函数e又由

z

1

cos=0知，当

k

z=

)12(

2

k

（0k，,1）时，所以

k

z是的)(zf本质奇点.显然0z是)(zf的本质奇点.当z=



时，若定义,0

1





则z=



是

)(zf可去奇点.

综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有2种方法：①根据主要部分，但有

一些函数的洛朗展开式不容易求出；②函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以

求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据

极点和零点的关系求出极点的阶数.

结束语

本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体

的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中

的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.

参考文献

[1]尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换[M],科学出版社，2009.

[2]苏变萍，陈东立,复变函数与积分变换（第二版）[M],高等教育出版社，2010.

[3]陈宗煊，孙道椿，刘名生,复变函数[M],科学出版社，2010.

[4]钟玉泉,复变函数论（第三版）[M],高等教育出版社，2004.

[5]沈燮昌,复变函数论基础[M],上海科学技术出版社,1982.

[6]庄圻泰,复变函数[M],北京大学出版社，1984.

[7]冯复科，复变函数与积分变换[M]，科学出版社,2008.

[8]Brown,JamesWard.,Complexvariablesandapplications[M],ChinaMachinePress，2004.

TypesandTheirJudgmentofTheIsolatedSingularity

Author：DongZhaolinSupervisor:WuDaiyong

Abstract：Thisarticlegeneralizestypeandmaindeterminationwayoftheisolated

tivelystudyingfunctioninfinitenumberofpointsandinfinitepointof

theisolatedsingularity,wegetthreetodeterminethemethodwhicharedefinitionoflaw,

ticle

describesrelationshipofnewfunctionwhichtwofunctionsand,difference,product,

ationof

whattheexampledescribestheapplicationofthethreemethodstodeterminethetypeof

isolatedsingularity.

Keywords:removablesingularityextremeessentialsingularity