非线性系统_讲座_2_2

2024年2月13日发(作者：)

2 非线性保守系统

一般来说，一个物理系统根据能量耗散的情况分为保守系统和非保守系统。在许多情况中，能量耗散的过程非常缓慢，它对系统运动性质的影响又非常小，可以不予考虑，并假定系统的势能和动能之和是不变的。这样的理想化后，就得到关于保守系统的概念。

另一种情况是系统能量耗散非常快，以致于在给定精度下说明系统的某些量不能不考虑到系统的能量耗散，这样的系统称为非保守系统。

对于整个物理学来说，保守系统理论自成体系，具有特别重要的意义，例如，天体运动的研究都是属于保守系统的。本章采用相空间研究方法研究非线性保守系统。

2.1 最简单的保守系统

仍然从最简单的问题开始研究非线性保守系统的性质。

一．最简单的运动微分方程

一个最简单的单自由度自治保守系统，它的质点在只依赖于距离的力的作用下沿直线运动。y来质点的位置可由一个坐标x来表示；系统的力学状态可由给定点的位置x和点的速度x确定。点的质量，为简单起见，取为单位质量。这种系统的运动方程，根据牛顿第二定律，可写成一个二阶微分方程：

f(x), （2-1）

x其中f(x)是力，在其定义域上是解析函数。

式（2-1）可写成两个一阶微分方程的形式

dxdyy,

f(x). （2-2）

dtdtdyf(x)dy 或

(x,y), （2-3）

dxydx由此得相平面上积分曲线的微分方程

其中

(x,y)f(x). （2-4）

y依据式（2-1）或（2-3）可获得相点的运动性质。

1） 相点的运动方向 仍由y0，x增加；y0，x减小的原则确定相点沿相轨线运动的方向。

2）相速度

222dxdy

vdtdtdyy2[f(x)]2y1. （2-5）

dx可以证明，这个相速度等于积分曲线在该点的法线长度（一点的法线长度等于从该点起沿法线到与x轴的交点的距离）。除了（平衡状态）奇点外，相平面上的每一点上，都具有有限的、不等于零的速度。

19

3） 奇点性质 由式（2-5）进一步可知，在平衡状态，同时有y0 与

f(x)0，即平衡状态（奇点）都位于相平面的x轴上，并且横坐标满足方程f(x)0。

4）积分曲线 对方程（2-3）积分，得

y2V(x)h, （2-6）

2其中h为积分常数，函数V(x)满足

V(x)f(x). （2-7）

显然，式（2-6）是表示系统的能量守恒。实际上

y212, （2-8）

mx

22表示系统的动能。而V(x)给定了系统的势能，即

V(x)x0f(x)dx, （2-9）

h是所谓能量常数，依赖于初始条件。

5） 等能量曲线 给定h，则同一个h对应系统无限多的系统状态（x,y），它们对应着x,y平面上一整条曲线y(x)（它可以有若干孤立支线），称之为等能量曲线。给定h，也就是给定了系统的总能量，相点将沿这些孤立支线中的一条支线运动。当然也有可能找不到满足方程（2-6）的实数x及y，在系统的任何实际运动中，都不可能有这样大小的能量。

下面我们进一步来研究势能函数V(x)与相轨线的关系。

假定在xx1，…，xxi，使f(x)0，显然它们是奇点的横坐标，同时，也使V(x)等于零，因而这些值对应于势能V(x)的极值，亦即，或是极大、或是极小、或是有水平切线的拐点。根据奇点处势能极值的性质，可以把方程（2-3）的奇点进行分类。在讨论分类问题之前，首先对相平面上的积分曲线的形状作一些一般性的说明：

1）方程（2-6）在以y代y时保持不变，这个曲线族的所有曲线都和x轴对称。

dx，例外的可能是奇点。

y0）dt3）积分曲线上有水平切线的点的几何位置都在平行于y轴的直线上，其方程为xxi，其2）积分曲线上有铅垂切线的点的几何位置在x轴上（因中xi是方程f(x)0的根（因就是奇点。

二．有极小值有势能函数

根据上面的说明，可以得到一个在相平面上构造积分曲线的简单方法。为此，先引进一个“能量平衡平面”的概念。

以x，z为其直角坐标，在这个平面上作出的势能曲线

zV(x), （2-10）

称为能量平衡图。利用这条曲线，如果给定h（系统总能量），则动能可表为h与V(x)之差。如果动能为负，则系统不可能有对应的运动。

dy，但这些直线与x轴的交点应除外，这些交点f(x)0）dt20

图2-1是一个有极小值的势能函数所作的能量平衡图。为了在相平面上作出积分曲线，可把相平面放在能量平衡图的正下面，然后依次求出差hV(x)的平方根，并按照得到的值在相平面上x轴的上面及下面标出相点。所有积分曲线，如果它们不是在奇点与x轴相交，则在与x轴相交的点上就有铅垂的切线。图中，积分曲线与x轴之交点的横坐标和，显然决定于方程

hV(x).

在所研究的情况中，点x不是奇点，因 Z

z=h1

zV(x)

f()0。

图中，设势能在xx处有极小值，且有

V(x)h0. （2-11）

下面来研究在xx的一个邻域内系统的运动性质。

1）积分曲线 在hh1（h1h0），我们将得到闭积分曲线，系统在有限时间内沿闭曲线一周，即系统作周期运动。还可以容易得到相点的运动方向。不难看出，对于中间的h（h0hh1）值，也得出封闭积分曲线，并且它们也对应于周期运动。因此，我们在相平面上得到了闭曲线的一个连续统，这些闭曲线层层相套并且包围着退化为一点的积分x

z=h0

x

x

xx

y2

h=h1

h=h0

图2-1 极小势能能量平衡图与相轨线

x

曲线：xx,

y0，这是属于中心型的奇点，对应稳定的平衡状态。

2）速度 对于沿闭曲线的运动，质点的速度，有两次变为零：当x与x时。但相点的速度，无论在相平面上的那一点都不等于零，因为闭的相轨线不通过奇点。

三．奇点附近的相轨线

在坐标为x的奇点附近，将f(x)及V(x)展开为级数，有

f(x)a1(xx)a2a2(xx)2(xx)3, （2-12）

12123a3aaV(x)h01(xx)22(xx)3(xx)4, （2-13）

123123412其中，

a1f(x)V(x),

a2f(x)V(x), …….

再令

xx,

y0, （2-14）

即把原点移到奇点。代入（2-6），曲线族的方程可以写成

2a12akk1h. （2-15）

h0212(k1)12先讨论a10的情况。在能量平衡图上，直线zh0与势能曲线V(x)在xx点有一重切点。因为V(x)在xx处有极小值，所以V(x)0，故a10。当hh0时，曲线（2-15）在点0，0处有孤立的奇点。

21

对于充分小的hh0，以上的项可以忽略不计，得到接近于椭圆的闭曲线

222a22b21, （2-16）

2其中b2，a2/|a1|。椭圆所表示的运动是谐运动，所以，对于充分小的初偏离，运动将接近于谐运动。

一般来说，当初偏离增大时，运动越来越不同于谐运动，同时周期也将随之而改变。相点沿不同的积分曲线转动时，一般来说，周期也是不相同的。

如果只有某个ak0而a10，a20，…，aK10，则在能量平衡图上，直线zh0与势能曲线在xx点有k重切点。因为V(x)有极小值，所以k必定取奇数，且ak0。当hh0时，曲线（2-15）在点0，0处也有孤立的奇点。

对于充分小的hh0，得到闭曲线

akk1, （2-17）

212(k1)2则围绕奇点的闭曲线，即便在奇点的邻域中，已经不再象椭圆了，对应的运动，即便有极小的偏离时，也不再近似于谐运动了。

但是，运动在相平面上的一般拓扑图并不因此而改变：任一对应极小值的奇点，都为层层相套并对应于周期运动的闭曲线连续统所包围。

四．有极大值的势能函数

对于极大值的势能函数，也有类似的结果。图 z=h1

2-2由极大值势能函数做出的能量平衡图与相平面

z=h0

的积分曲线。在相平面上，对于hh0的值，得到曲线的四条支线，它们有一公共点。这些支线依次编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，并为简单起见，称之为该奇点的“胡须”。“胡须”在奇点邻近的特性很容易用分析方法进行研究。

对于接近于h0的值h（h1h0及h2h0），将得到类双曲线线段。在h1与h2之间改变h，得到中间曲线的连续统。

利用曾经多次采用过的方法，不难求出沿这些积分曲线的运动。相点落到平衡状态附近的“胡须”Ⅱ与Ⅳ上，就会渐近地趋于平衡状态，落到“胡须”Ⅰ与Ⅲ上，就会远离平衡状态。其余积分曲线表征的运动具有这样的性质：如果相点落在任一条邻近平衡状态的这种曲线之上，它在有限的时间内，走得离平衡状态充分地远。这种性质的奇点，正是鞍点型奇点。鞍点型奇点对应不稳定的平衡状态。

与极小势能函数的情况一样，也可以获得在平衡状态邻域内积分曲线的近似方程，处理方22

z=h2

Z

zV(x)

x

y

2

Ⅱ

h=h1

Ⅰh=h0

h=h2

x

h=h2

h=h1

Ⅲ Ⅳ

图2-2 极大势能能量平衡图与相轨线

法一样。曲线方程如下

2a12akk1h. （2-18）

h0212(k1)12与方程（2-15）不同之处是，当a10时，a10；当ak0而a10，a20，…，aK10，ak0。这样对于充分小的hh0，得到的是近似于双曲线的方程

2a121, （2-19）

22及

akk1. （2-20）

212(k1)2该式已经与双曲线不同了，尽管这样，下面的结论仍然是正确的：运动在相平面上的一般拓扑图并不因此而改变，它仅决定于势能有极大这一事实。

五．有水平切线的拐点的势能函数

能量平衡图和相平面的形状如图2-3所示。除去hh0以外，对于所有的h值，都有对应的一条积分曲线。当hh0时，给出两条有公共点xx， Z

z=h1

z=h0

z=h2

y0的支线。其它分析方法与前面两种情况一样。但对于拐点，必定有a1V(x)0，所以对第一个不等于零的系数ak（k为偶数），曲线方程如下

zV(x)

x

y

h=h1

2akk1h0h. （2-18）

212(k1)2

h=h0

Ⅰ

h=h2



x

令hh0，便得到了通过奇点的曲线。曲线在0，0处有第一类尖点。落在胡须Ⅰ上的相点，渐近地趋近于平衡状态，落在胡须Ⅱ上的则离

Ⅱ

开平衡状态。平衡状态象鞍点的情况一样，显然是

不稳定的。

对上面所讨论的三种势能情况小结一下是有益的。在势能极小的情况下，平衡状态是中心型奇点图2-3 水平拐点的势能能量平衡图与相轨线

并且是稳定的；如果势能有极大值，则平衡状态是鞍点型奇点并且是不稳定的；在势能有拐点的情况中，平衡状态也是不稳定的。在这一基础上，通过对最简单的保守系统的研究，我们可以提出两个关于稳定性的基本定理：

1）拉格朗日定理

如果在平衡状态上势能有极小值，则平衡状态是稳定的。

2）李亚普诺夫的逆定理

如果平衡状态的势能不是极小，则平衡状态是不稳定的。

23

2.2 整个相平面上运动特性

研究奇点局域的运动后，本节研究整个相平面上的曲线。假设势能函数V(x)在整个直线x上解析，在能量平衡xz平面上给定曲线zV(x)，和直线zh。在相平面上，作出由给定的能量常数所表征的全部运动。这些运动可能遇到下列三种基本情况：

1） 直线zh不与曲线zV(x)相交

这里又可能有两种情况。

a) 曲线zV(x)的点高于直线zh的点，那么，在整个相平面上，就不存在具有这样的总能量的运动，因为这种运动的速度是虚的。

b) 直线zh的点高于曲线zV(x)的点，那么，在整个相平面上，将有相轨线的二条对称分布的支线（图2-4）。从上下支线上任何位置开始运动的相点，都将沿一个方向运动，不停止地走向无限远。相点从任何初始位置开始都会走向无限远的这种运动和这种相轨线，我们称为逃逸运动和逃逸轨2）直线zh与曲线zV(x)相交，但不相切

对于V(x)h的x值，没有相轨线，对于其余的x值，则相轨线存在，也可以将它们分成两种情况：或者是走向无限远的支线（这种支线不多于两条）；或者是闭支线（这种支线的数目可以是任意的）。走向无限远的支线仍然对应于逃逸运动。闭支线对应于周期运动（图2-5）。

对于邻近的h值，我们将得到同样的图象，而且，在闭曲线附近得到的还是闭曲线，在无限支线附近还是无限支线。

3） 直线zh与曲线zV(x)相切

这时所有相曲线可以分为以下几类：

a) 孤立点，且在它的近旁（对于给定的h）没有相曲线的支线。如果改变h，那么当h增加时，将得到包围该孤立点的闭曲线，当h减小时，在孤立点近旁将得不到曲线的实支线。如前所述，孤立点对应稳定平衡状态。

b) 孤立的有限大的相曲线段。它们又可以分为两种情况：

① 简单的、对应于周期运动的闭曲线，这些闭曲线与势能取极小值的情况有关；

② 自交的相曲线，它们是属于所谓的分界线（即通过奇点的曲线）之列的曲线。

这些自交点或鞍点型奇点，正象我们已经知道的，在xz图上，对应于直线zh和曲线

z

z=V(x)

z=h

x

y

x

z

z=h

z=V(x)

x

y

x

图2-4 逃逸运动和逃逸轨线

线。容易看出，对于邻近的h值，得到同样的图象，也将具有完全类似的相轨线。

图2-5 周期轨线和逃逸轨线

zV(x)之极大值相切的那些点（图2-6）。而分界线，则是由一个“环”构成的（在退化的情况下），而一般来说，则是由几个环组成的。每一个环是一条单独的相轨线（如果它是两端的环），或由两条相轨线组成（如果非两端的环）。显然，在现在所讨论的情况中，相点在分界线上都是24

渐近地趋向于平衡状态运动。这样的运动称为有限运动（或双面有限运动）。

分界线，在某种意义下，是特殊的积分曲线，因为客观存在对应于直线zh和曲线zV(x)的切点。知道分界线，对于说明积分曲线在相平面上的概况，有着非常重要的意义。例如在分界线上，稍许改变h（增大或减小），则相点将作进行两种完全不同的运动。增加h时，得到的积分曲线包围所有被研究的分界线，包含有限轨线组成的整个“环链”；减小h时，我们在每个环节之内，得到闭积分曲线。因此说，分界线邻近的相轨线具有本质上的区别，因而可以将相平面划分成不同类型的轨线区域。

zV(x) z

z=h

y

分界线

x

x

图2-6 自交点、分界线及孤立点，双面有限运动

c) 无限大的相曲线段

z

zV(x)

y

在此情况中，可能有几种类型的曲线。第一，可能是在前面讨论过的逃逸轨线；第二，可能是无限环链形状的分界线，它可以向一边或两边延伸。图2-7所示一边有限一边逃逸的曲线，是一种有限-逃逸运动。这种轨线也称之为分界线，因为在其上一定有对应于直线zh和曲线zV(x)之切点的奇点，并且在曲线的邻近，积分曲线将有本质上的变化。

另一种特殊情况是当直线zh是曲z=h

x

x

z

zV(x)

图2-7无限大的相曲线段

z=h

线zV(x)的渐近线时，所对应有尽有的相相轨线的特性发生本质上的改变（图2-8）。

总括起来，将可能产生的运动列举如下：

1）平衡状态；

2）周期运动；

3）双面有限运动

4）双面逃逸运动

5）有限-逃逸运动

对于给定的势函数，一旦初始条件确轨线也是分界线，因为这时改变h，就会使 x

y

x

图2-8 渐近线相关的分界线

25

定，相应的运动形式也就确定了。对于保守 z

系统而言，主要的运动形式是2）和4）型

zV(x)

z=h

的运动。而1）、3）、5）型的运动，初始条

件出现的概率等于零，但它们在相平面上起着很大的作用：它们是分界线——将不同类型的轨线分割开来。

在一维保守系统中，闭曲线与奇点共存的规律服从于下定理：

在闭曲线之内，必定有奇数个的奇点，而且中心的数目要比鞍点的数目多一个。

这个定理对于研究奇点分布非常有用。在非线性系统的定性研究中，特别是保守系统，确定积分曲线定性图象的基本元素为奇点和分界线。如果知道了分界线的形状（鞍

x

y

x

图2-9 闭曲线与奇点共存

点型奇点是分界线的交点），以及分界线和中心型奇点的相对分布情况，就可以概括地描绘出积分曲线的整个图象。图2-9是对该定理的一个图解。

2.3 最简单保守系统的性状与参数的关系

保守系统是一种特殊的系统，这里主要是指它的能量积分。换句话说，如果任意地，虽然是充分小地改变运动方程的形状，那么一般来说，这些方程就不再满足保守性条件了。就是说，存在某些参数在控制系统。这一节主要讨论参数对保守系统的影响。

为简单起见，假设只有一个参数，而且只有系统的势能依赖这个参数，研究当参数改变时，相平面的形状是怎样改变的。

对于参数值0，如果存在这样的有限邻域（0），使得对所有满足不等式

|0|的，相平面的积分曲线划分有相同的拓扑结构，则其他不满足这个条件的参数值称为分枝值。

对于系统（2-1），设其势能是参数的函数（假设f(x,)在整个x直线上是x的解析函数，并且在所研究的值区域上是的解析函数），可取不同的值。由于平衡位置（xx）有这样的特征，在其上力等于零，亦即

f(x,)0. （2-19）

它给出了平衡位置x与参数的关系。当改变时，

x

f(x,)0

F

平衡位置也将发生变化。以平衡位置x为纵坐标，

x3

A B

参数为横坐标绘出的曲线f(x,)0称为分枝

x2

G

图。利用分枝图分析，可以获得平衡位置和参数之

C

间关系的几何解释。

x1

D

例如，假定有一如图2-10所示的分枝图。平行于纵坐标的直线0和曲线f(x,)0交于三个点；很明显，这意味着，对于所给定的参数值

E

C0B

B

图2-10 分枝图

26

0，系统有三个平衡状态xx1，xx2，xx3。当减小时，平衡位置xx1和xx2逐渐接近，当C时，它们重合在一起然后消逝（当C时，只存在一个平衡状态xx3）。这样，参数值C就称为分枝值，曲线f(x,)0上所对应的点称为分枝点。显然值A与B也是分枝值，这时平衡状态的数目亦发生变化。

数学上可以对分枝图进行分析。方程（2-19）微分之，得

f(x,)dxdfdxdf. （2-20）

0 或

dfx(x,)dxdd可分三种情况来分析：

1）fx(x,)0。则只要f(x,)0有限，则在0的邻域内，dx存在，x是的d连续可微函数。因而系统的平衡位置的数目不可能改变，对应相平面的曲线拓扑结构不变，0不是分枝值。图中0处有三个平衡点，但不是分枝值，相当于方程组

f(x,)0,

fx(x,)0. （2-21）

对x没有实数解。

2）fx(x,)0，f(x,)0。这时dx不存在，f(x,)0在这点上有铅垂的切线并d且当通过该点时，系统的平衡位置数目要发生变化，即由两个汇合成一个，或由一个分裂成两个，对应相平面的曲线拓扑结构要发生改变，这时的值为分枝值（图中B点和C点）。它相当于方程组（2-21）对x有实数解。

3）fx(x,)0，f(x,)0。导数dx不定，这时曲线f(x,)0在该点是一个微d分几何意义上的奇点。这个点也是分枝点，对应的同样是分枝值，如图中A点。因为，前后通过该点时，平衡位置的数目要发生变化，对应积分曲线的拓扑结构发生变化。

以上仅例举了几种情况，并非分枝值分析的全部。判断是否为分枝值，必须依据其定义，看通过该点时系统的拓扑结构是否发生变化。

利用分枝图，可以对系统的平衡状态进行定性分析。由于势能函数取极小值的点具有稳定的平衡态，极大值的点具有不稳定的平衡态，因此由

(x,), （2-22）

fx(x,)Vxx可知，当

fx(x,)0 （2-23）

时，平衡状态是稳定的（中心型），而当

fx(x,)0 （2-24）

时，平衡状态是鞍点型并且是不稳定的。

庞加莱（Poincare）依据此性质，利用分枝图得到了迅速确定平衡态稳定性的简便步骤。

在x平面上，标出（用阴影线）f(x,)0的区域，显然f(x,)0为这一区域的边界，它将x平面分成了f(x,)0和f(x,)0的两个区域。进一步，还可以将曲线f(x,)0分成上边界和下边界。在阴影区上面的曲线段称为上边界；在阴影区下面的曲线段称为下边界。有了这个划分后，便能很快确定平衡点的稳定性（图2-11所示）。

27

判别准则：如果所给的点（,x）在这阴影区的上边界上，则它对应于稳定的平衡状态；如果所给的点（,x）在这阴影区的下边界上，则它对应于不稳定的平衡状态。

实际上，在曲线f(x,)0上一点的邻近，固定，随着x的增加函数f(x,)从阴影区内的正值开始减小，到曲线f(x,)0上时变为零。因而fx(x,)0，这对应于中心型奇点和稳定的平衡态。根据类似的理由，也可以解释不稳定的平衡态。

x

D

F

A

C

E

B

G



图2-11 分枝图上平衡状态稳定性分析

按照这个判别准则，图2-11中，线段DA，AFB，CE（带黑点的粗线）上的点对应于稳定的平衡状态，而线段AGB，AC上的点对应不稳定的平衡状态。

如果我们在分枝图上沿曲线f(x,)0移动，那么在到达分枝点以前，平衡状态的特性，即其稳定性或不稳定性，将保持不变。不难看出，如果我们还继续沿着曲线移动，并且总是顺着切线的方向（亦即，使切线作连续的转动），那么在分枝点上，稳定的平衡状态将变为不稳定的平衡状态，或作相反的变化。在图2-11的点A，B和C处，稳定性改变。

2.4 实例分析

例2.1 重质点沿铅垂轴旋转的圆环的运动

重质点的质量为m，圆环半径为a，质点只能沿无摩擦运动，此圆环又以等角速度绕自己的铅垂直径而转动（图2-12）。分析系统的运动。

用表示质点在和旋转圆环固连的坐标系中的位置。受力情况如图所示，假定质点与环间的摩擦力可忽略不计，则质点受到两个力的作心力），分别为mg和masin。它们对圆心的矩等于mgasin和masincos。因此，由牛顿第二定律，得到系统运动方程为

22



a



m

m2asin

用，一个是自身的重力，另一个是非惯性力（离 圆环的旋转轴

mg

2

图2-12 质点在圆环上的运动

d2I2m2a2sincosmgasin, （2-25）

dt其中Ima是质点的惯性矩（对圆心而言）。引入无量纲参数

及无量纲时间

2g, （2-26）

2at, （2-27）

于是式（2-25）可化为只含有一个参数的形式

28

,

(cos)sin, （2-28）

其中，在字母上面加点表示对时间的微分。将上面两式相除，消去时间得方程

其能量积分可写为

(sin2cos)h. （2-30）

由式（2-28）我们可得到一个联系参数与平衡位置的方程

f(,)(cos)sin0. （2-31）

为了讨论方便，假定参数可以取任意值，即

. （2-32）

注意，对于所研究的物理系统来说都有0，而0的值是没有物理意义的。

下面来讨论由式（2-31）提供的分枝图。

1） 平衡位置与奇点

显然，对于任何，系统都有平衡位置0，，此外当||1时，还存在两个平衡位置0，其中0arccos。图2-13表示了平衡位置的分枝图。

这样，当1时，系统有两个奇点：

①

0，0，中心型奇点；

②

，0，鞍点型奇点（属同一个）。

当11时，系统有四个奇点：

①

0，0，中心型奇点；

②

0，0，鞍点型奇点；

③

，0，鞍点型奇点（属同一个）。

最后当1时，系统也有两个奇点：

①

，0，中心型奇点；

②

0，0，鞍点型奇点。

2） 分界线

每条分界线都通过相应的鞍点型奇点。由于有两个鞍点，故有两条分界线。分界线可用如下方法求出，重点讨论11的情况。

① 通过，0鞍点的分界线（A）。可将，0代入式（2-30）得能量积分常数h2，再将其代入（2-30），得第一条分界线方程

sin2(cos1). （2-33）

② 第二条分界线（B）通过0，0，同样方法可得

sin2(cos1). （2-34）

下面又要分三种情况来讨论相图的结构。

222222d(cos)sin, （2-29）

d



1

/2



/2



图2-13 质点绕圆环运动的分枝图

29

①

01，这时两条分界线都是“8字形”的，如图2-14所示。在这种情况下，外分界线A的内部有三个周期运动区，两个的一个）和一个双连通的（其中的闭相轨线包围两个中心和有界线B的鞍点0，。在分界线A之外的相轨线，总是闭0）的并且包围着柱体（设想让图示的平面在

鞍点

分界线A

单连通的（其中的闭相轨线包围二个中心之中 鞍点 鞍点

和处重合弯曲成一个柱面，这个柱面称为相柱面。因此，在分界线A之外的相轨线，虽然在相平面上不是一个封闭的曲线，但用一个相柱面来表示，则是一条包围相柱面的封闭曲线，因而也是周期的运动。而分



分界线B



中心

图2-14

01的积分曲线

界线A之内的相轨线则没有包围柱面。）（对任何都是这样）。显然，当0时，分界线A

分界线

鞍点 鞍点

鞍点



中心

和B相互靠拢，双连通运动区随之消失，最后汇合成一条分界线。积分曲线的定性拓扑图象发生改变，因而0是一个分枝值。

②

0，是一个分枝值，两条分界线汇合成一条分界线，如图2-15所示。

③

10，与01的图形相同，但需沿轴平移一个单位，如图2-16所示。

同样方法，可以得到||0时的积分曲线。

分界线A



图2-15

0的积分曲线

例2.2 载流导线的运动

如图2-17所示，长为l，质量为m的导体AB上有电流i流过，它受到载有电流I的无限长导体的吸引。此外，导体AB由弹簧C拉着。弹簧的弹性系数为k，满足胡克定律。取弹簧未变形时导体AB的位置A0B0为x的原点，无限长导线与位置A0B0的距离记为a。两导体始终保持相互平行，导体AB两端的引出线上的电流与电流I垂直。由毕奥沙伐尔定律知，导体间的相互作用力为



鞍点 鞍点 鞍点



分界线B



中心

图2-16

10的积分曲线

2Iil

fm, （2-35）

d其中dax，这里为了简单各量单位均采用CGSM制。这样，作用在导体AB上的水平方向上的合力为

30

f(x,)kx

k(其中

方程为

f(x,)k(或

2Iil

axx), （2-36）

ax

A0

A

I

x

2Iil。联系参数与平衡位置坐标x的k

C

i

x

axx)0

B0

B

a

x=0

xax0. （2-37）

分枝图如图2-18所示，这是一个横卧的抛物线方程。2图2-17 载流导线的运动

a2当时，方程f(x,)0有重根。这意味着4a2a2a方程组（2-21）有实数解x和，因而是参数的一个分枝值。运动方程为

442dx

x

y,

dt

中心

xa

dykx2ax . （2-38）

中心

dtmax

a/2

f(x,)0

由此得

dykxax. （2-39）

dtm(ax)y2

中心



a2/4

本例所讨论的系统，由式（2-36）可以看出，除了奇点外，还有“奇直线”xa，因为在这条直线上，力f(x,)等于无限大，当然它在物理上是不能实现的。能量积分为

y

a

a/2

图2-18 载流导线运动的分枝图

1212

mykxkln|ax|C. （2-40）22下面来研究它的相图。

中心

鞍点

b

a2① 先研究的情况。图2-19给出了其相4图。在此情况中，式（2-37）有两个实数解，对应两个奇点。一个是中心：

xab，y0，其2 b

aa2中b；另一个是鞍点：xb，24y0。奇直线xa也是积分曲线，同时也是其余曲线的渐近线。

31

2a图2-19

的相图

4

a为了求出分界线，可将鞍点坐标xb，2，以确定积分常数，得

y0代入式（2-40）C0kaa(b)2kln(b),

222

y

a

2a图2-20

的相图

4x

因而分界线方程为

11amy2kx2(b)2

222

klnax0. （2-41）

ab2分析一下相图，立即可以得出下列结论：如果初始条件是这样的，使得相点于初瞬时位于分界线环的

内部，则导体AB将作振动。特别地，当初始速度等于零时，如果导体AB离开平衡位置的距

y

离不太大时，它将要振动。

a2② 第二种情况，。如图2-20所示，在这种4情况下，方程f(x,)0没有实根，因而系统没有奇点x

（平衡状态）。在任何初始条件下，最后导体AB都将以无限增大的速度接近直线xa，在此情况中，振动显然是不可能的。

a/2

a

2图2-21

a的相图

4

a2③ 第三种情况，，它是第一种情况到第二4种情况的过渡。不难看出，第一种情况的两个奇点，随着a2a2时汇合一起。当时增加逐渐接近，当44只有一个奇点（图2-21），它对应于势能有拐点处的奇点类型，是由一个中心奇和鞍点型奇点汇合而成的结果。这样的奇点对应不稳定的平衡状态，其周期运动也是不可能的。

④ 最后研究下面的情况，0（可以改 y

变电流i或I的方向来使改变符号）。这时方程f(x,)0永远有两个实根。这两个根为

x=a

aa2

x1,2. （2-42）

24其中一个大于a，另一个永远为负，对应两个平衡状态都是中心而且稳定；其余的积分曲线都闭曲线，它们分别包围着两个平衡状态，同时有一条奇曲线xa将它们分开（图2-22）。于是在

x1

x2

x

0的情况下，导体AB的所有运动都是周期32

图2-22

0的相图

的振动。

例2.3 伏尔台拉（Vito Volterra,1860-1940）弱肉强食方程（见第1章）

dxx(11y)，

1及10, （2-43）

dtdy

y(22x)，2及20. （2-44）

dt为了表示方便，这里用1、1、2和2分别取代原来的系数a、b、c和d。另外，作为生

命个体，x和y是整数，即取离散值，且x,y0，而这里将其作为连续变量。

还值得一提的是，在某些化学过程的动力学问题中，也会导出类似形式的方程。这个方程的讨论具有相当的代表性。

我们先来求它的积分曲线。显然套用前面先消去时间的方法求积分曲线是困难的。但可用如下方法求得。

式（2-43）乘2，式（2-44）乘1，然后相加，得：

dxdy112x21y, （2-45）

dtdt又式（2-43）乘2/x，式（2-44）乘1/y，然后相加，得：

2

2两式相减，得

2dxdy112x21y. （2-46）

xdtydtdxdydlnxdlny1210.

dtdtdtdt直接积分此方程，得

2x1y2lnx1lny常数,

或者改写成

F(x,y)e2xe1yx2y1常数. （2-47）

式（2-47）是一个单值解析积分，可以证明，有单值积分存在是保守系统的必要标志。因此，伏尔台拉弱肉强食方程是一个保守系统。

下面来研究积分曲线（2-47）的形状。为此，把式（2-47）改写成

e2xx2Ce1yy1, （2-48）

2x其中C为常数，由初始条件确定。再令

Ye则有

YCX. （2-50）

因为

故Ye2xx2,

Xe1yy1, （2-49）

dXdY(11)X. （2-51）

(22)Y,

dyydxx2yy在y1处有极大值。 处有极小值，Xe2111x2在x33

由上面的分析可以得到如下一个定性表

x

0

—

2

20

Y

H



+

K

G D

dY

dx

A

x x1

0

Y

y

dY

dx

极小

0

+

0



X

1

10



—

0

E

y1

B

F

y

Y

极大

图2-23 伏尔台拉弱肉强食方程

可用如下方法来作一个定性的相图。如图2-23所示，取二相互垂直的直线作为0X，0x，0Y和0y轴。在第二、第四象限中分别作式（2-49）的曲线（分别称为Y曲线和X曲线）。在第一象限作直线（2-50）（斜率为C的0K线）。在0K线上任取一点，例如，D点。通过D引两条直线，一条平行于0Y轴，另一条平行于0X轴。令E，F，G，H分别为这两条直线与X曲线和Y曲线的交点；再通过E，F点作二直线平行于0X的直线，通过G，H点作二直线平行于0Y的直线，这样得到的四条直线有四个交点，这四个交点则是积分曲线（2-47）上的点。当D点在0K线上滑动时，这此点的轨迹便是所求的积分曲线。不难看出，积分曲线都闭的，但除互成折线的x0y外，0x离开原点，即没有猎食者（狐狸），0y指向原点，即没有被猎食者（兔子），原点，两种动物都没有。

x, y

y

狐狸和兔子的数目是按周期性规律变 x

化的，图2-24给出了它们对时间的变化关

系。

t

图2-24 猎食者与被猎食者数目的时间变化关系

最后，要说明一点的就是，图2-23不是平衡状态是中心奇点，其坐标为



x12，

y11

21我们前面所讨论过的相图（如果是相图的话，它应该是四维的），所以，积分曲线不是关于x轴对称的。

34