特称命题

特称命题

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2023年3月3日发(作者：输血原则)

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1.3.3全称命题与特称命题的否定

一、创设情境

“所有”、“任意”、等与“存在着”、“有”、“至少有一个”等的词语，分别称为全称量词与存在

性量词（用符号分别记为“”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在

性命题。,pqpq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；

（3）xR，x2-2x+1≥0

分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

（3）xM,p(x)，否定：xR，x2-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.

三、师生探究

问题2：写出命题的否定

（1）p：x∈R，x2＋2x+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；

分析：（1）xR，x2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从集合的运算观点剖析：

()

UUU

ABAB,()

UUU

ABAB

四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立。

存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为：xM,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:M,p(x）否定为P:M,P（x）

P:M,p(x）否定为P:M,P（x）

2.关键量词的否定

词语是一定是都是大于小于且

词语的否

定

不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或

词语必有一个

至少有n

个

至多有一

个

所有x成立

所有x不成

立

词语的否

定

一个也没

有

至多有

n-1个

至少有两

个

存在一个x不

成立

存在有一个

成立

五、巩固运用

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例1写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；（2）p：xR，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：x∈R，x2－x+1＝0；

解：（1）P：有的人不晨练；（2）x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相

等；（4）xR，x2－x+1≠0；

例2写出下列命题的否定。

（1）所有自然数的平方是正数。（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的

根。（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极

易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3写出下列命题的否定。

（1）若x2＞4则x＞2.。（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3）可以被5整除的整数，末位是0。（4）被8整除的数能被4整除。

（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解（1）否定：存在实数

0

x，虽然满足2

0

x＞4，但

0

x≤2。或者说：存在小于或等于2的数

0

x，满

足2

0

x＞4。（完整表达为对任意的实数x,若x2＞4则x＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个

0

x，使2

0

x+

0

x-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数

m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4

整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无

论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1）P：若x＞y，则5x≤5y；假命题否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2）P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

（3）P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4）P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

作业（练习）

1.已知命题:,sinpxRxx则p的否定形式为

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2.命题“

xR

，

2210xx

”的否定是

3.若命题是假命题，则实数a的最小值为

4.下列有关命题的叙述错误的是（）

A．对于命题p：x∈R，210xx，则p为：x∈R，210xx

B．命题“若2x－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则2x－3x+2≠0”

C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

D．“x>2”是“2x－3x+2>0”的充分不必要条件

5.已知命题p：,23xxxR；命题q：32,1xRxx，则下列命题中为真命题的是（）



6.已知两命题:p0,1,xxae，命题:q2,40xRxxa，均是真命题，则实数

a

的

取值范围是()

A．[4,)B．[1,4]C．[,4]eD．(,1]

7.2,10xRxax为假命题,则a的取值范围为（）

A．(2,2)B.[2,2]C.(,2)(2,)D.(,2][2,)

8.若命题“

0

,xR使得2

00

230xmxm”为假命题，则实数m的取值范围是

A．[2，6]B．[-6，-2]C．（2，6）D．（-6，-2）

9.命题“

2[1,2],0xxa

”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A．4aB.4aC.5aD.5a

10.下列命题中为真命题的是（）

A．xR2xx，B．2xRx1x，﹣

C．2xRxx，

D．2xRxx1，﹣

11.下列特称命题中真命题的个数是（）

①0xR,x②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数

③

是无理数是无理数｝，│｛2xxxx

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A、0B、1C、2D、3

12.平面向量a，b共线的充要条件是

A.a，b方向相同B.a，b两向量中至少有一个为零向量

C.R，使得baD.存在不全为零的实数

1

，

2

，

12

0ab

13.下列命题中，真命题是：（）

A．0,0

0

xeRxB．22,xRxx

C．a+b=0的充要条件是

a

b

=-1D．a>1,b>1是ab>1的充分条件

14.已知p：存在22

00

,20.:,210xRmxqxRxmx任意，若“p或q”为假命题，则实

数m的取值范围是

A．[1，+）B．（一，一1]C．（一，一2]D．[一l，1]

15..若命题p:xR22421axxax是真命题,则实数a的取值范围是

16.若命题:x∈R，2x－2ax＋a≤0”为假命题，则

221a

a

＋

的最小值是__________．

17.若命题“

0

xR，2

00

2390xmx”为假命题，则实数

m

的取值范围是

18.若“xR，使2(1)10xax”为真命题，则实数

a

的取值范围是.

19.已知命题：“x∈{x|–1

值集合M；（2）设不等式()(2)0xaxa的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的

取值范围.

20.已知命题p：“x∈[1,2]，

1

2

x2－lnx－a≥0”与命题q：“x

0

∈R，x2

0

＋2ax

0

－8－6a＝0”都

是真命题，求实数a的取值范围．