间断点类型

间断点类型

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2023年3月3日发(作者：陈美男)

三、函数的间断点及其分类

【导语】

函数在一点连续只有一种情形，就是

0

0

lim()()

xx

fxfx





。函数在一点不连续时，它在这

一点附件函数值的变化情况则是多种多样的。为了区分不同的间断点，根据函数在一点发

生间断的原因，本讲给出了间断点的分类。

【正文】

若函数()fx在点

0

x处不连续，则称

0

x为()fx的间断点．

一般地，可对间断点作如下分类：

定义3若函数()fx在点

0

x处的左、右极限均存在，但不连续，则称

0

x为()fx的第一

类间断点．

若函数()fx在点

0

x处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称

0

x为()fx的第二类间

断点．

在第一类间断点中，当左、右极限相等，即极限存在时，又称这样的间断点为可去间断

点．

如0x就是函数

sin

()

x

fx

x



的可去间断点，1x是函数

21

()

1

x

fx

x







的可去间断点．

所谓“可去”是指：如果

0

0

lim()()

xx

fxfx





，就将函数在

0

x的值改为

0

lim()

xx

fx



；如果()fx

在

0

x没有定义，就给出定义

0

0

()lim()

xx

fxfx





，那么所得的新函数就是在

0

x处连续的函数，

这样就把“间断”去掉了．

在第一类间断点中，当左、右极限存在但不相等时，又称这样的间断点为跳跃间断点．

如0x是符号函数

sgnyx

的跳跃间断点，任何一个整数都是取整函数yx

的跳跃

间断点．

例1已知函数

2+1,0,

()0,0,

1,0,

xx

fxx

xx

















判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指

出间断点的类型．

解因为(0)0f，且

2

00

lim()lim(1)1

xx

fxx





，

00

lim()lim(1)1

xx

fxx





，

所以()fx在0x处既不是左连续，也不是右连续．0x是()fx的跳跃间断点．

例2已知函数

1

e,0,

()

0,0,

xx

fx

x

















判断()fx在0x处的连续性，若不连续，指出间断

点的类型．

解因为

1

1

00

lim()limelime0

t

x

t

x

t

xx

fx











，且(0)0f，

所以()fx在0x处左连续．

又因为

1

1

00

lim()limelime

t

x

t

x

t

xx

fx











，

所以()fx在0x处不连续．0x是()fx的第二类间断点．

例2已知函数

2

(1)

()

(1)

xx

fx

xx







，找出()fx无定义的点，并说明这些点是()fx的什

么类型的间断点．

解函数

2

(1)

()

(1)

xx

fx

xx







无定义的点为0,1xx．

在点0x处，因为

0

lim()1

x

fx





，

0

lim()1

x

fx





，

所以0x是()fx的第一类间断点（跳跃型）．

在点1x处，因为

1

1

lim()

2x

fx





，

1

1

lim()

2x

fx





，

所以1x是()fx的第一类间断点（可去型）．

在点1x处，因为

1

lim()

x

fx





，

1

lim()

x

fx





，

所以1x是()fx的第二类间断点．

例4已知函数

()

tan

x

fx

x



，找出()fx无定义的点，并说明这些点是()fx的什么类型

的间断点．

解()fx在tan0x及

tanx

无定义的点处无定义，所以()fx无定义的点是

π()xnnZ，或

π

π()

2

xnnZ

．

在点0x处，因为

0

lim1

tanx

x

x



，

所以0x是()fx的可去间断点．

在点π()0nnxnZ,处，因为

π

limtan0

xn

x





，

π

limπ0

xn

xn





，

所以

π

lim

tanxn

x

x



，所以当0n时，π()xnnZ是()fx的第二类间断点．

在点

π

π()

2

xnnZ

处，因为

π

π+

2

limtan

xn

x



，

π

π+

2

π

limπ+

2xn

xn





，

所以

π

π+

2

lim0

tanxn

x

x



，所以

π

π()

2

xnnZ

是()fx的可去间断点．

例5设函数

2

2

1

()lim

1

n

n

n

x

gxx

x







，求()gx的表达式，并判断1x是()gx的什么类型的

间断点．

解当1x时，

2

2

111

()limlim0

111

n

n

nn

x

gxxx

x







．

当

1x

时，因为

lim0n

n

x





，所以

2

2

101

()lim

101

n

n

n

x

gxxxx

x







．

当||1x时，

1

1

x

，所以

2

2

2

2

1

1()

110

()limlim

1

110

1()

n

n

n

nn

n

x

x

gxxxxx

x

x













．

综上可知，

,1,

(),1,

0,1.

xx

gxxx

x















因为

11

lim()lim1

xx

gxx





，

11

lim()lim()1

xx

gxx





，

所以1x是()gx的跳跃间断点．

又因为

11

lim()lim()1

xx

gxx





，

11

lim()lim1

xx

gxx





，

所以1x是()gx的跳跃间断点．

右图是()ygx的图象．

【本讲总结与下讲预告】

本讲介绍了函数间断点的分类，通过间断点的类型，大致可以了解函数发生间断的原因。

一般说来，间断点往往是函数没有定义的点或单独给出定义的点。

下一讲将介绍连续函数的运算性质和初等函数的连续性结论。