简谐波
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2023年3月3日发(作者：棋盘井工业园区)§4-2平面简谐波的波动方程
振动与波动
振动研究一个质点的运动。
区别
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
联至振动是波动的根源。
波动是振动的传播。
最简单而又最大体的波动是简谐波！
简谐波:波源和介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。
对平面简谐波，各质点都在各自的平稳位置周围作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需
要定量地描述出每一个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程
设平面简谐波在介质中沿x轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点
参考点原点的振动方程为
)b=Acos(勿+%)
任取一点P,其坐标为x,P点如何振动？
A和e与原点的振动相同，相位呢？
沿着波的传播方向，各质点的相位依次掉队，波每向前传播2的距离，相位掉队2兀
此刻，O点的振动要传到P点，需要向前传播的距离为%,因此P点的相位比O点掉队x2兀
一2兀=——x
2A
P点的振动方程为
y
p
=Acos+(pQ——x
山于P点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情形，将下标去掉
4
2”y=Acoscot+（p｛）
——x
确实是沿X轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
若是波沿X轴的负向传播，P点的相位将比0点的振动相位超前乎X沿X轴负向
传播的波动方程为
A
2”
y=Acoscot+x+%
利用沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程乂可写为
y=Acos
2;zv
cot_x+（p｛）
u
原点的振动状态传到P点所需要的时刻△/=丄
U
波动方程也常写为
y=Acoscot
=Acos®+
=y波数，物理意义为2龙长度内所具有完整波的数量。
☆波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向
o
（、
X
co+%
y=Acos
VU）
=Acos
=Acos
P点在t时刻重恢复点在时刻的振动状态
其中
二、波动方程的物理意义
一、固定X,如令X=X
0
2”
劲+久一〒心
7
x
0
处质点的振动方程
心处的振动曲线
该质点在r,和r
2
两时刻的相位差
△0=0(s_/J
二.固定几如令
心时刻各质点离开各自平稳位置的位移散布情形，即时刻的波形方程。
3.x和/都在转变
y(人x)=Acoscot+(p
{)
-
y(f)=Acos
振动方程
y(x)=Acos叫+0。
X——
x
A丿
波形方程
各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情形，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推动
的波动传播的全进程n行波
/时刻，X处的某个振动状态通过△/的时刻，传播了Ar=«A/的距离，传到了x+Av处,
显然
y(/+zV,x+Ar)=y(t.x)
行波必需知足此方程
其中Ax=z/Ar
波是振动状态的传播！
＞习题类型
（1）由某质元的振动方程（或振动曲线）a求波动方程
（2）由某时刻的波形曲线二＞求波动方程
例：一平面波在介质中以速度“=20m/s沿直线传播，已知在传播路径上某点A的振动方程为）
q=3cos（4;r/）,如图所示。
（1）若以A点为坐标原点，写出波动方程，并求出C,D两点的振动方程；
（2）若以B点为坐标原点，写出波动方程，并求出C,D两点的振动方程。
宀*加勺亠
CBADx
解：(1)振幅A=3m,圆频率co=4/rrad/s,频率v==2Hz^
2兀
波长2=-=10m
V
波动方程为
y=3cos4托f-----x=3cos4加-------xm
2)5；
C点坐标为x
c
=-13m,振动方程为
7t'13小
4丹——
=3cos
4丹+---
5)<5
(0
D点坐标为勺=9m,振动方程为
（2）A点坐标为©=5im波动方程为
例：一平面简谐横波以w=400m/s的波速在均匀介质中沿+x方向传播。位于坐标原点的质点的振动周
期为秒，振幅为，取原点处质点通过平稳位置且向正方向运动时作为计时起点。
（1）写出波动方程；
（2）写出距原点2m处的质点P的振动方程；
（3）画出/=0・005秒和秒时的波形图；
（4）若以距原点2m处为坐标原点，写出波动方程。
解：（1）由题意A=O」m,了=0.01秒，"=400m/s可得圆频率e=^~=200兀rad/s,波长2=uT=
4m
T
山旋转矢量图知，原点处质点的初相位
3兀
r
故原点处质点的运动方程为
C点坐标为x
c
=-8m,振动方程为
y
c
=3cos4m-=Xc+兀=3cos4龙/+i
5丿I
13兀）
D点坐标为勺=14im振动方程为
=3cos4兀/一一x
+
I5
y
0
=0.1cos(200/zv+耳；
求:（1）0点的振动方程；（2）波动方程
解：（1）由/=25时的波形图可知
A=0.5in,A=2ifi,.T=—=4s
9
co=—=—
uT2
波动方程为
y=0.1cos200加+
3/r兀—
—x
22
ni
（2）Xp=2m处质点的振动方程为
y
p
=0」cos(200丹+¥一壬》卜200^r+
—
I2丿
（3）人=0.005秒时，波形方程为
y=0.1cos200"+-—一一x=0.1cos
I122J
=0JCOS(?-?T°-lsin
因为-『TT，故由测刻的波形向杯方向平移扌即可得込时刻的波形。
如图所
(4)
Ex.4：已知t=2秒的波形曲线如图所示，波速”=0・5也/厂沿-兀方向传播
y=0.1cos
利用旋转矢量图法得出/=2秒时O点振动相位
T
C
co=
—
2
0点的初相位％=彳
0点的振动方程为
=0.5cos—t+—
（22）
t=2s
（2）波动方程=0.5cos—t+—+7rx
22
Ex：一列机械波沿x轴正向传播，GO时的波形如图所示，已知波速为10m-s-1,波长为2m,求：
(1)波动方程；
(2)P点的振动方程及振动曲线；
(3)P点的坐标；
(4)P石回到平*急位置所需的最短时刻.
0.1
0.05
U
/^M
-0・05
0.1
------
J
（m
）
解：(1)由题5-13图可知A=0.1m,F=0时,
原点处质点振动的初始条件为儿=号,％V0,・・・(p.=-
23
由题知2=2m,H=10ms"1则v=—=—=5Hz,
22
［员］频率=27tu=10龙
原点o的振动方程为
(
y=0.1cos10加+—m
I3丿
波动方程为
y=0.1cos10加+——7：x
m
•3）
A
(2)由图知，/=0时，y
p
=--.v
p
<0.
2
・・・如=芈(P点的相位应掉队于0点，故取负值)
4
•••P点振动方程为儿=0・lcosQ0N-—/r)
解得x=-=1.67m
3
(4)依照(2)的结果可作岀旋转矢量图如题5-13图(a),则山
P点回到平稳位置应经历的相位角
•••所需最短时刻为
△05^/61
△/——=----=—
co10兀12
(3)
111