奔驰定理
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2023年3月3日发(作者：临县邮编)第6讲五心问题（奔驰定理）
一．选择题（共11小题）
1．已知
ABC
的内角A、B、
C
的对边分别为a、
b
、c，
O
为
ABC
内一点，若分别
满足下列四个条件：
①
0aOAbOBcOC
②
tantantan0AOABOBCOC
③
sin2sin2sin20AOABOBCOC
④
0OAOBOC
则点
O
分别为
ABC
的
()
A．外心、内心、垂心、重心B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心D．内心、垂心、外心、重心
【解析】解：先考虑直角三角形
ABC
，可令
3a
，
4b
，
5c
，
可得
(0,4)A
，
(3,0)B
，
(0,0)C
，设
(,)Omn
，
①0aOAbOBcOC，即为
3(m
，
4)4(3nm
，
)5(nm
，
)(0n
，
0)
，
即有
12120m
，
12120n
，解得
1mn
，
即有
O
到x，y轴的距离为1，
O
在角
BCA
的平分线上，且到AB的距离也为1，
则
O
为
ABC
的内心；
③sin2sin2sin20AOABOBCOC，
即为
24
(
25
m
，
24
4)(3
25
nm
，
)0(nm
，
)(0n
，
0)
，
可得
320m
，
420n
，解得
3
2
m
，
2n
，
由
5
||||||
2
OAOBOC
，故
O
为
ABC
的外心；
④0OAOBOC，可得
(m
，
4)(3nm
，
)(nm
，
)(0n
，
0)
，
即为
330m
，
430n
，解得
1m
，
4
3
n
，
由
AC
的中点D为
(0,2)
，||13DB，
213
||
3
OB
，即
O
分中线DB比为
2:3
，
故
O
为
ABC
的重心；
考虑等腰三角形
ABC
，底角为
30
，
设(1,3)C，
(2,0)B
，
(0,0)A
，
(,)Oxy
，
②
tantantan0AOABOBCOC
，
即为3(x，
3
)(2
3
yx
，
3
)(1
3
yx
，3)(0y，
0)
，
可得
33
0
33
x
，
3
10
3
y
，解得
1x
，3y，
即(1,3)O，由
OCAB
，
3
3()1
3OABC
kk
，即有
OABC
，
故
O
为
ABC
的垂心．
故选：D．
2．已知
O
，
N
，P在所在
ABC
的平面内，且||||||,0OAOBOCNANBNC，且
PAPBPBPCPAPC，则
O
，
N
，P分别是
ABC
的
()
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
【解析】解：因为且||||||OAOBOC，所以0到顶点A，B，
C
的距离相等，所以
O
为
ABC
的外心．
由PAPBPBPCPAPC得()0PAPCPB，即ACPB，所以
ACPB
．
同理可证
ABPC
，所以P为
ABC
的垂心．
若0NANBNC，则NANBNC，取AB的中点E，则2NANBNECN，所以
2||||NECN
，
所以
N
是
ABC
的重心．
故选：
C
．
3．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点
O
，H分
别是
ABC
的外心、垂心，且M为
BC
中点，则
()
A．33ABACHMMOB．33ABACHMMO
C．24ABACHMMOD．24ABACHMMO
【解析】解：如图所示的
RtABC
，其中角B为直角，则垂心H与B重合，
O
为
ABC
的外心，
OAOC
，即
O
为斜边
AC
的中点，
又M为
BC
中点，2AHOM，
M为
BC
中点，
22()2(2)4224ABACAMAHHMOMHMOMHMHMMO．
故选：D．
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知
ABC
的顶点
(4,0)A
，
(0,2)B
，
且
ACBC
，则
ABC
的欧拉线方程为
()
A．
230xy
B．
230xy
C．
230xy
D．
230xy
【解析】解：线段AB的中点为
(2,1)
，
1
2AB
k
，
线段AB的垂直平分线为：
2(2)1yx
，即
230xy
，
ACBC
，
三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，
因此
ABC
的欧拉线方程为
230xy
，
故选：D．
5．在四面体
PABC
中，
PABC
，
PCAB
，点P在面
ABC
上的射影为点H，则点H为
ABC
的
(
)
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【解析】解：作出P在底面的射影H，连结AH，
CH
，
AH，
CH
，分别为PA，
PC
在平面
ABC
内的射影，
PABC
，
PCAB
，
由三垂线逆定理得：
HABC
，
HCAB
，
H为三角形
ABC
的垂心．
故选：D．
6．若点P在平面
ABC
内射影为
O
，且
PABC
，
PBAC
，则点
O
为
ABC
的
()
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【解析】解：点P在平面
ABC
内射影为
O
，连结
AO
，
BO
，
则
POAO
，
0POB
，
POBC
，
POBC
PABC
，
POBC
，PAPOP
BC
面
PAO
，
AO
面
PAO
，
AOBC
．
PBAC
，
POAC
，PBPOP
AC
面
PBO
，
BO
面
PBO
，
0BAC
，
则
O
为三角形
ABC
的垂心．
故选：D．
7．设
ABC
的角A、B、
C
的对边长分别为a，
b
，c，P是
ABC
所在平面上的一点，
22cbccac
PAPBPAPCPAPBPCPB
bbaa
，则点P是
ABC
的
()
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【解析】解：因为22cbccac
PAPBPAPCPAPBPCPB
bbaa
，
所以2()
c
PAPBPAPAPCPA
b
，2()
c
PAPBPBPBPCPB
a
，
所以
c
PAABPAAC
b
，
c
BAPBPBBC
a
，
所以
||cos||cos
c
PAcPABPAbPAC
b
，
||cos||cos
c
PBcPBAPBaPBC
a
所以
PABPAC
，
PBAPBC
，
所以AP是
BAC
的平分线，BP是
ABC
的平分线，
所以点P是
ABC
的内心，
故选：
C
．
8．已知
ABC
所在的平面上的动点M满足||||APABACACAB，则直线AP一定经过
ABC
的
()
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【解析】解：||||APABACACAB
11
||||()
||||
APABACACAB
ACAB
，
根据平行四边形法则知
11
||||
ACAB
ACAB
表示的向量在三角形角A的平分线上，
而向量
AP
与
11
||||
ACAB
ACAB
共线，
P点的轨迹过
ABC
的内心，
故选：
C
．
9．在
ABC
中，
3AB
，
2AC
，
13
24
ADABAC
，则直线AD通过
ABC
的
()
A．垂心B．外心C．内心D．重心
【解析】解：
3AB
，
2AC
13
||
22
AB
，
33
||
42
AC
．
即
133
||||
242
ABAC
设
1
2
AEAB
，
3
4
AFAC
，
则||||AEAF，
13
24
ADABACAEAF
．
由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．
AD为菱形的对角线，
AD平分EAF．
直线AD通过
ABC
的内心．
故选：
C
．
10．已知在四面体
PABC
中，对棱相互垂直，则点P在平面
ABC
上的射影为
ABC
的
()
A．重心B．外心C．垂心D．内心
【解析】解：作出P在底面的射影
O
，连结
AO
，
BO
，
CO
，
AO
，
BO
，
CO
，分别为PA，PB，
PC
在平面
ABC
内的射影，
PABC
，
PBAC
，
PCAB
由三垂线逆定理得：
OABC
，
OBAC
，
OCAB
，
O
为三角形
ABC
的垂心．
故选
C
．
11．已知点
P
在
ABC
所在平面内，且PAPBPBPCPCPA，则点
P
是
ABC
的()
A．重心B．外心C．垂心D．内心
【解析】解：PAPBPBPC，
()0PBPAPC，即0PBCA，
PBCA
，
同理可得
PABC
，
PCAB
，
P是
ABC
的垂心．
故选：
C
．
二．填空题（共10小题）
12．P点在则
ABC
所在的平面外，
O
点是P点在平面
ABC
内的射影，PA、PB、
PC
两两垂直，则D点
是则
ABC
的垂心．（填外心，内心，垂心，重心）
【解析】解：P点在则
ABC
所在的平面外，
O
点是P点在平面
ABC
内的射影，
PA、PB、
PC
两两垂直，
PA平面
PBC
，
PABC
，
又
PO
底面
ABC
，
POBC
，
BC
平面
PAO
，
AOBC
，
同理可证
BOAC
，
COAB
，
O
是
ABC
的垂心．
故答案为：垂心．
13．
O
是平面上一定点，
ABC
中
ABAC
，一动点P满足：()OPOAABAC，
(0,)
，则直线
AP通过
ABC
的①②③④（请在横线上填入正确的编号）
①外心②内心③重心④垂心．
【解析】解：设
BC
中点为D，则AD为
ABC
中
BC
边上的中线，
由向量的运算法则可得
2ABACAD
，
可得()2OPOAABACAD，可得A、P、D三点共线，
又
ABAC
，所以点P一定过
ABC
的重心、外心、内心、垂心，
答案为：①②③④．
14．已知P为三角形
ABC
所在平面上一点，满足PAPBPCPBPAPC，则P点是
ABC
的垂心（填：
“外心”、“内心”、“重心”或“垂心”
)
．
【解析】解：由PAPBPCPBPAPC得，()0PBPAPCPBCA；
PBCA
；
同理，
PCBA
，
PABC
；
如图所示，点P为
ABC
三边的高线交点；
P为三角形
ABC
的垂心．
故答案为：垂心．
15．
O
是平面上一定点，A，B，
C
是平面上不共线的三个点，动点P满足
2
OBOC
OPAP
，且
1
，
则点P的轨迹一定通过
ABC
的重心（填重心，垂心，外心或内心）
【解析】解：设
BC
的中点为M．
由已知原式可化为2PAOBOPOCOP．
即22PAPBPCPM，
所以PMPA，
所以P，A，M三点共线．
所以P点在边
BC
的中线AM上．
故P点的轨迹一定过
ABC
的重心．
故答案为：重心．
16．在
ABC
中，动点P满足222CACBABCP，则动点P轨迹一定通过三角形
ABC
的外心
(
“外
心”、“内心”、“重心”或“垂心”
)
【解析】解：222CACBABCP；
222CBCAABCP；
()()2CBCACBCAABCP；
取AB中点为M，则：2CBCACM，CBCAAB；
22ABCMABCP；
()0ABCMCPABPM；
ABPM
；
即ABPM；
又M是AB中点；
P在边AB的中垂线上；
P点轨迹一定通过三角形
ABC
的外心．
故答案为：外心．
17．在
ABC
中，若OAOBOBOCOCOA，那么点
O
是
ABC
的垂心．（填：外心、内心、重心、
垂心）
【解析】解：若OAOBOBOC
即()0OBOCOAOBAC
即
OBAC
同理可证：
OABC
，
OCAB
故点
O
是
ABC
的三条高的交点，
故点
O
是
ABC
的垂心
故答案为：垂心
18．
O
是
ABC
所在平面上的一定点，动点P满足()
||cos||cos
ABAC
OPOA
ABBACC
，
[0
，
)
，
则点P形成的图形一定通过
ABC
的垂心．（填外心或内心或重心或垂心）
【解析】解：(BC)||||0
||cos||cos
ABAC
BCBC
ABBACC
BC与
()
||cos||cos
ABAC
ABBACC
垂直
()
||cos||cos
ABAC
OPOA
ABBACC
点P在
BC
的高线上，即P的轨迹过
ABC
的垂心
故答案为：垂心．
19．（1）已知
O
是平面上的一定点，A，B，
C
是平面上不共线的三个动点，若动点P满足
()OPOAABAC，
(0,)
，则点P的轨迹一定通过
ABC
的重心（填“内心”“外心”“重心”
或“垂心”
)
．
（2）已知
O
是平面上的一定点，A，B，
C
是平面上不共线的三个动点，若动点P满足
()
||||
ABAC
OPOA
ABAC
，
(0,)
，则点P的轨迹一定通过
ABC
的．（填“内心”“外心”“重心”
或“垂心”
)
【解析】解：（1）由已知，()APABAC，
根据平行四边形法则，设
ABC
中
BC
边的中点为D，知2ABACAD，
2APAD，
//APAD，则A，P，D三点共线，
点P的轨迹必过
ABC
的重心；
（2）由已知，()
||||
ABAC
AP
ABAC
，而
||
AB
AB
表示与
AB
共线的单位向量，
||
AC
AC
表示与AC共线的单位向
量，
AP
在
BAC
的角平分线上，
点P的轨迹一定通过
ABC
的内心．
故答案为：重心，内心．
20．点
O
是平面上一定点，A、B、
C
是平面上
ABC
的三个顶点，B、
C
分别是边
AC
、AB的对角，
以下命题正确的是①②③④⑤（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点P满足
OPOAPBPC
，则
ABC
的重心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足()(0)
||||
ABAC
OPOA
ABAC
，则
ABC
的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足()(0)
||sin||sin
ABAC
OPOA
ABBACC
，则
ABC
的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足()(0)
||cos||cos
ABAC
OPOA
ABBACC
，则
ABC
的垂心一定在满足条件的P点集合中；
⑤动点P满足()(0)
2
||cos||cos
OBOCABAC
OP
ABBACC
，则
ABC
的外心一定在满足条件的P点集
合中．
【解析】解：对于①，动点P满足
OPOAPBPC
，
APPBPC，
则点P是
ABC
的重心，故①正确；
对于②，动点P满足()(0)
||||
ABAC
OPOA
ABAC
，
()(0)
||||
ABAC
AP
ABAC
，
又
||||
ABAC
ABAC
在
BAC
的平分线上，
AP
与
BAC
的平分线所在向量共线，
ABC
的内心在满足条件的P点集合中，②正确；
对于③，动点P满足()(0)
||sin||sin
ABAC
OPOA
ABBACC
，
()
||sin||sin
ABAC
AP
ABBACC
，
(0)
，
过点A作
ADBC
，垂足为D，则||sin||sinABBACCAD，
()APABAC
AD
，向量
ABAC
与
BC
边的中线共线，
因此
ABC
的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；
对于④，动点P满足()(0)
||cos||cos
ABAC
OPOA
ABBACC
，
()(0)
||cos||cos
ABAC
AP
ABBACC
，
()(||||)0
||cos||cos
ABAC
APBCBCBCBC
ABBACC
，
APBC，
ABC
的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；
对于⑤，动点P满足()(0)
2
||cos||cos
OBOCABAC
OP
ABBACC
，
设
2
OBOC
OE
，
则()
||cos||cos
ABAC
EP
ABBACC
，
由④知()0
||cos||cos
ABAC
BC
ABBACC
，
0EPBC，
EPBC，
P点的轨迹为过E的
BC
的垂线，即
BC
的中垂线；
ABC
的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
21．下列叙述正确的是①②．
①
1
()
3
PGPAPBPCG
为
ABC
的重心，．
②PAPBPBPCPCPAP为
ABC
的垂心；
③||||||0ABPCBCPACAPBP为
ABC
的外心；
④()()()0OAOBABOBOCBCOCOACAO为
ABC
的内心．
【解析】解：①
G
为
ABC
的重心
0GAGBGC
0PAPGPBPGPCPG
1
()
3
PGPAPBPC
，①正确；
②由
PAPBPBPC
()0PAPCPB
0CAPBACPB
，同理
ABPC
，
BCPA
，②正确；
③||||||0ABPCBCPACAPB
||||()||()0ABPCBCPCCACAPCCB
(||||||)||||0ABBCCAPCBCCACACB．
||||||||BCCACACB，
||||BCCACACB与角
C
的平分线平行，P必然落在角
C
的角平分线上，③错
误；
④222()()()0||||||OAOBABOBOCBCOCOACAOAOBOCOAOBOCO为
ABC
的外心，④错误．
正确的叙述是①②．
故答案为：①②．