高考数学真题
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2023年3月2日发(作者：脱漆剂配方)2022年甘肃高考理科数学真题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．设全集{1,2,3,4,5}U，集合M满足
{1,3}
U
M，则（）
A．2MB．3MC．4MD．5M
2．已知12iz，且0zazb，其中a，b为实数，则（）
A．1,2abB．1,2abC．1,2abD．1,2ab
3．已知向量,ab满足
||1,||3,|2|3abab
，则ab（）
A．2B．1C．1D．2
4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研
究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
n
b：
1
1
1
1b
，
2
1
2
1
1
1
b
，
3
1
2
3
1
1
1
1
b
，…，依此类推，其中
(1,2,)
k
kN
．则（）
A．
15
bb
B．
38
bb
C．
62
bb
D．
47
bb
5．设F为抛物线2:4Cyx
的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若||||AFBF，则||AB（）
A．2B．22C．3D．32
6．执行下边的程序框图，输出的
n
（）
A．3B．4C．5D．6
7．在正方体
1111
ABCDABCD
中，E，F分别为,ABBC的中点，则（）
A．平面
1
BEF
平面
1
BDD
B．平面
1
BEF
平面
1
ABD
C．平面
1
BEF∥平面
1
AACD．平面
1
BEF∥平面
11
ACD
8．已知等比数列
n
a的前3项和为168，
25
42aa，则
6
a（）
A．14B．12C．6D．3
9．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大
时，其高为（）
A．
1
3
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
2
10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜
的概率分别为
123
,,ppp
，且
321
0ppp
．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
11．双曲线C的两个焦点为
12
,FF
，以C的实轴为直径的圆记为D，过
1
F作D的切线与C交于M，N两点，且
12
3
cos
5
FNF，则C的离心率为（）
A．
5
2
B．
3
2
C．
13
2
D．
17
2
12．已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx．若()ygx的图像
关于直线2x对称，(2)4g，则
22
1
()
k
fk
（）
A．21B．22C．23D．24
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
15．记函数()cos()(0,0)fxx的最小正周期为T，若
3
()
2
fT，
9
x
为()fx的零点，
则
的最小值为____________．
16．己知
1
xx
和
2
xx
分别是函数2()2exfxax（0a且1a）的极小值点和极大值点．若
12
xx
，
则a的取值范围是____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
记ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA．
（1）证明：2222abc；
（2）若
25
5,cos
31
aA，求ABC△的周长．
18．（2分）
如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED平面ACD；
（2）设2,60ABBDACB，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的
角的正弦值．
19．（12分）
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了
10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：
样本号i总和
根部横截面积
i
x
0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6
材积量
i
y
0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9
并计算得
101010
22
iiii
i=1i=1i=1
0.038,1.6158,0.2474xyxy．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已
知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数
i
=1
22
=1=1
()()
,1.89617
()
7
()
.3
n
i
i
nn
ii
ii
xxyy
r
xxyy
．
20．（12分）
已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
3
0,2,,1
2
AB
两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
MTTH．证明：直线HN过定点．
21．（12分）
已知函数ln1exfxxax.
（1）当1a时，求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；
（2）若fx在区间1,0,0,各恰有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
3cos2,
2sin
xt
yt
（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
sin0
3
m
．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c都是正数，且
333
2221abc，证明：
（1）
1
9
abc；
（2）
1
2
abc
bcacab
abc
．