鸟头定理

发布时间：2023-06-11 作者：admin 来源：文学

鸟头定理

2023年3月2日发(作者：跳绳记录)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙

漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图

::SSab

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图

ACDBCD

SS

△△

；

反之，如果

ACDBCD

SS

△△

，则可知直线

平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平

行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相

等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在

AC上)，

则:():()

ABCADE

SSABACADAE

△△

图⑴图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

①

1243

::SSSS或者

1324

SSSS②



1243

::AOOCSSSS

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边

形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积

对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

①22

::SSab

②22

1324

::::::SSSSababab；

③S的对应份数为

2ab．

四、相似模型

(一)金字塔模型(二)沙漏模型

①

ADAEDEAF

ABACBCAG

；

②22:

ADEABC

SSAFAG

△△

：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，

不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如

下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似

比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工

具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么

ABOACO

SSBDDC



．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因

为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称

为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，

它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为

三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面

积为．

【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

661.5622624.54216.5

DEF

S

△

,所以长方形EFGH

面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘

米，那么长方形的宽为几厘米？

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方

形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底

等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG．(我们通过ABG△把这两个长方形和正方形联系在一

起)．

∵在正方形ABCD中，

2AB

SABAB

△

边上的高，

∴

2ABGABCD

SS

△

(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

的一半)

同理，

2ABGEFGB

SS

△

．

∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等．长方形的宽

88106.(厘米)．

_A_A

【例2】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任

意一点，问阴影部分面积是多少？

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

可得：

2EHBAHB



、

2FHBCHB



、

2DHGDHC



，而

ABCDAHBCHBCHD

SSSS





即

()3618

22EHBBHFDHGAHBCHBCHD

SSSSSS



；

而

EHBBHFDHGEBF

SSSSS





阴影

，

11111

()()364.5

22228EBF

SBEBFABBC



．

所以阴影部分的面积是：18184.513.5

EBF





阴影

解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，

那么图形就可变成右图：

(H)

这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：

1111111

3636363613.5

2222222ABCDAEDBEFCFD

SSSSS





阴影

．

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边

二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．

D(P)

【解析】（法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，

假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴

影三角形的面积分别占正方形面积的

和

，所以阴影部分的面积为

6()15

平方厘米．

（法2）连接PA、PC．

由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、

下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的

，同理可知

左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的

，所以阴

影部分的面积为2

6()15

平方厘米．

【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AB，

15AD，四边形EFGO的面积为．

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的

面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO

的面积．

由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为

12030

，所以三角形AOE和DOG的面积之和为3

1207020

；

又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为

12030









，所以

四边形EFGO的面积为302010．

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形

BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长

方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部

分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010．

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2AEED，则

阴影部分的面积为．

【解析】如图，连接OE．

根据蝶形定理，

:::1:1

2COECDECAECDE

ONNDSSSS



，所以

2OENOED



；

:::1:4

2BOEBAEBDEBAE

OMMASSSS



，所以

5OEMOEA



．

又

34OED

ABCD





矩形

，

OEAOED





，所以阴影部分面积为：

362.7

．

【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，

已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形

HBC)

丙

乙

甲

【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的

中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三

角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有

ABCABNAMCAMHN

SSSSS





丙

，

即400200200

AMHN

SS

丙

，所以

AMHN

SS

丙

．

又

ADFAMHN

SSSSS





乙

甲

阴影

，所以

14340043

4ADF

SSSSS





乙

甲丙

阴影

．

【例5】如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分成两部

分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面

积是．

DEF

【解析】连接AF，BD．

根据题意可知，571527CF；715628DG；

所以，

27BECBFF





，

27BECBFC



，

28AEGADG



，

28AEDADG



，

于是：

2115

2827ADGCBF



；

712

2827ADGCBF





；

可得40

ADG



．故三角形ADG的面积是40．

【例6】如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，

ADE

S

△

平方厘米，求ABC△的面积．

【解析】连接BE，::2:5(24):(54)

ADEABE

SSADAB

△△

，

::4:7(45):(75)

ABEABC

SSAEAC

△△

，所以:(24):(7

ADEABC

SS

△△

，设

ADE

S

△

份，则35

ABC

S

△

份，16

ADE

S

△

平方厘米，所以1份是2平方厘米，

35份就是70平方厘米，ABC△的面积是70平方厘米．由此我们得到一

个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角

或互补角)两夹边的乘积之比．

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角

形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？

【解析】连接BE．

∵3ECAE

∴3

ABCABE

SS

又∵5ABAD

∴515

ADEABEABC

SSS，∴1515

ABCADE

SS．

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，

3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

乙

甲

乙

【解析】连接AD．

∵3BE，6AE

∴3ABBE，3

ABDBDE

SS

又∵4BDDC，

∴2

ABCABD

SS，∴6

ABCBDE

SS，5SS

乙

甲

．

【例7】如图在ABC△中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD，

:3:2AEEC，12

ADE

S

△

平方厘米，求ABC△的面积．

【解析】连接BE，::2:5(23):(53)

ADEABE

SSADAB

△△

::3:(32)(35):(32)5

ABEABC

SSAEAC

△△

，

所以

:(32):5(32)6:25

ADEABC

SS

△△

，设6

ADE

S

△

份，则25

ABC

S

△

份，

ADE

S

△

平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC△

的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共

角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例8】如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平

行四边形ABCD的面积是

，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面

积比．

【解析】连接AC、BD．根据共角定理

∵在ABC△和BFE△中，ABC与FBE互补，

∴

111

133

ABC

FBE

ABBC

SBEBF







△

．

又1

ABC

S

△

，所以3

FBE

S

△

．

同理可得8

GCF

S

△

，15

DHG

S

△

，8

AEH

S

△

．

所以8815+3+236

EFGHAEHCFGDHGBEFABCD

SSSSSS

△△△△

．

所以

3618

ABCD

EFGH

．

【例9】如图所示的四边形的面积等于多少？

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接

求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三

角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新

图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形

的面积.

因此，原来四边形的面积为1212144.(也可以用勾股定理)

【例10】如图所示，ABC中，90ABC，3AB，5BC，以AC为一边向ABC

外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积．

【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置．

由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB．而OCFOAB，

所以180OCFOCB，那么B、C、F三点在一条直线上．

由于OBOF，90BOFAOC，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边

BF为538，所以它的面积为2

816

．

根据面积比例模型，OBC的面积为

1610

．

【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，

90AEB，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求

三角形OBE的面积．

【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置．

那么90EAFEABBAFEABDAE，而AEB也是90，所以四边

形AFBE是直角梯形，且3AFAE，

所以梯形AFBE的面积为：



35312

(2cm)．

又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，222223534ABAEBE，

所以2

2ABD

SAB



(2cm)．

那么17125

BDEABDABEADEABDAFBE

SSSSSS



(2cm)，

所以

2.5

2OBEBDE



(2cm)．

【例12】如下图，六边形ABCDEF中，

ABED

，AFCD，BCEF，且有AB平行

于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知24FD

厘米，18BD厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将

DEF

平移使得ED与AB重

合，这样EF、BC都重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形

BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为

2418432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．

【例13】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且

:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．

【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，

ABF

ACF

SDC

△

△

，1ABF

CBF

SEC

△

△

设

BDF

S

△

份，则

DCF

S

△

份，

ABF

S

△

份，3

AEFEFC

SS

△△

份，

如图所标

所以

1212DCEFABC

SS

△

方法二：连接DE，由题目条件可得到

33ABDABC

SS

△△

，

1121

2233ADEADCABC

SSS

△△△

，所以

ABD

ADE

FES

△

△

，

1111111

22323212DEFDEBBECABC

SSSS

△△△△，

而

211

323CDEABC

SS

△△

．所以则四边形DFEC的面积等于

．

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是

平方厘米，2ECDE，

是DG的中点．阴

影部分的面积是多少平方厘米?

【解析】设

DEF

S

△

份，则根据燕尾定理其他面积如图所示

1212BCD

SS

△

阴影

平方厘米.

【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD

的面积等于三角形BCD的面积的

，且2AO，3DO，那么CO的长度

是DO的长度的_________倍．

【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无

外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解

决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件

:1:3

ABDBCD

SS，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又

观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得

到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边

形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高

之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出

结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从

而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．

解法一：∵::1:3

ABDBDC

AOOCSS



，∴236OC，∴:6:32:1OCOD．

解法二：作AHBD于H，CGBD于G．

∵

3ABDBCD



，∴

AHCG，∴

3AODDOC





，

∴

AOCO，∴236OC，∴:6:32:1OCOD．

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面

积已知，

求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？

【解析】⑴根据蝶形定理，123

BGC

S，那么

BGC

S

；

⑵根据蝶形定理，

:12:361:3AGGC．

【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、

BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△

的面积．

【解析】⑴根据题意可知，BCD△的面积为244616，那么BCO△和CDO的

面积都是1628，所以OCF△的面积为844；

⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为

862，

根据蝶形定理，::2:41:2

COECOF

EGFGSS



，所以

::1

GCEGCF

SSEGFG



，

那么

112

1233GCECEF







．

【例16】如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC，:1:2DFFC，三角形DFG的面积

为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．

【解析】连接AE，FE．

因为:2BEEC，:1:2DFFC，所以

3111

()

53210DEF

ABCDABCD

SSS

长方形长方形

．

因为

2AED

ABCD

SS

长方形

，

::5:1

210

AGGF，所以510

AGDGDF

SS平方

厘米，所以

AFD

S

平方厘米．因为

6AFD

ABCD

SS

长方形

，所以长方形

ABCD的面积是72平方厘米．

【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中

阴影部分的面积．

【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AMBC，根据梯形蝶形定理可以知

道

22:::1:12:12:21:2:2:4

AMGABGMCGBCG

SSSS

△△△△

（）（），设1

AGM

S

△

份，则

123

MCD

S

△

份，所以正方形的面积为1224312份，

224S

阴影

份，所以:1:3SS

阴影正方形

，所以

1S

阴影

平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，

三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是

平方厘米．

【解析】连接DE，根据题意可知:1:2BEAD，根据蝶形定理得

2129S

梯形

（）

(平方厘米)，3

ECD

S

△

(平方厘米)，那么

ABCD

S(平方厘米)．

【例18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，三角形ODE的面积为6平方厘

米．则阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】连接AC．

由于ABCD是平行四边形，:3:2BCCE，所以:2:3CEAD，

根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9

COEAOCDOEAOD

SSSS，所

以6

AOC

S(平方厘米)，9

AOD

S(平方厘米)，又

691

ABCACD

SS(平方厘米)，阴影部分面积为61521(平方厘

米)．

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所

示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

【分析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么

OCDOAE





．

根据蝶形定理，4936

OCDOAEOCEOAD

SSSS



，故236

OCD





，

所以

OCD





(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD是梯形，

ABED

是平行四边形，已知三角形面积如图所

示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么

OCDOAE



．

根据蝶形定理，

2816

OCDOAEOCEOAD

SSSS





，故216

OCD



，

所以4

OCD



(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED中，

16812

22ADEABED



(平方厘米)，

所以1284

AOEADEAOD

SSS



(平方厘米)，

根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米)．

【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别

为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________

平方厘米．

【解析】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以

EODFOC



，又根据蝶形定理，

EODFOCEOFCOD

SSSS



，所以2816

EODFOCEOFCOD

SSSS



，所以

EOD



(平方厘米)，4812

ECD



(平方厘米)．那么长方形ABCD的面

积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘

米)．

【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交

于

点．已知正方形DEFG的面积48，:1:3AKKB，则BKD的面积是

多少？

【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在

梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的．而:1:3AKKB，所以ACK

的面积是ABC面积的

134





，那么BDK的面积也是ABC面积的

．

由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么

M是BC的中点，而且AMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方

形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为

48．

那么BDK的面积为

4812

．

【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是

AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分

的面积之比是最简分数

，那么，()mn的值等于．

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观

察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部

分的面积，再求阴影部分的面积．

如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．

左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的

，所

以三角形AMD的面积为2

111

248

．又左图中四个空白三角形的面积是

相等的，所以左图中阴影部分的面积为

．

如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．

可知EF∥AC且2ACEF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的

，所以三角形BEF的面积为2

111

248

，梯形AEFC的面积为113

288

．

在梯形AEFC中，由于:1:2EFAC，根据梯形蝶形定理，其四部分的面

积比为：221:12:12:21:2:2:4，所以三角形EFN的面积为

311

8122424





，那么四边形BENF的面积为

111

8246

．而右图中四个空

白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为

．

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为

:3:2

，

即

，

那么325mn．

【例

】如图，ABC△中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，

则

ADE

DEGFFGCB

SSS

△

四边形四边形

．

【解析】设1

ADE

S

△

份，根据面积比等于相似比的平方，

所以22::1:4

ADEAFG

SSADAF

△△

，22::1:9

ADEABC

SSADAB

△△

，

因此4

AFG

S

△

份，9

ABC

S

△

份，

进而有3

DEGF

S

四边形

份，5

FGCB

S

四边形

份，所以::1:3:5

ADE

DEGFFGCB

SSS

△

四边形四边形

【巩固】如图，DE平行BC，且2AD，5AB，4AE，求AC的长．

【解析】由金字塔模型得:::2:5ADABAEACDEBC，所以42510AC

【巩固】如图，ABC△中，DE，FG，MN，PQ，BC互

相平行，

ADDFFMMPPB，则

::::

ADE

DEGFFGNMMNQPPQCB

SSSSS

△

四边形四边形四边形四边形

．

【解析】设1

ADE

S

△

份，22::1:4

ADEAFG

SSADAF

△△

，因此

AFG

S

△

份，进而有

DEGF

S

四边形

份，同理有

FGNM

S

四边形

份，

MNQP

S

四边形

份，9

PQCB

S

四边形

份．

所以有

::::1:3:5:7:9

ADE

DEGFFGNMMNQPPQCB

SSSSS

△

四边形四边形四边形四边形

【例23】如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上

的点，且:1:3DEEC，AF与BE相交于点G，求

ABG

△

【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，

所以有::1:1ABCMBFFC，因此4CM，根据题意有3CE，再根据另

一个沙漏有::GBGEABEM，所以

4432

(442)

471111ABGABE

SS

△△

．

方法二：连接,AEEF，分别求4224

ABF

S

△

，

4441232247

AEF

S

△

，根据蝶形定理

ABFAEF

SSBGGE

△△

，所以

4432

(442)

471111ABGABE

SS

△△

．

【例24】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中

点，BF交EC于M，求BMG的面积．

【解析】解法一：由题意可得，E、

是AB、AD的中点，得//EFBD，而

::1:2FDBCFHHC，

::1:2EBCDBGGD所以::2:3CHCFGHEF，

并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以

::2:3BGEFBMMF，所以2

BMBF，

1111

2224BFDABDABCD

SSS





；

又因为

BGBD，所以

121211

3535430BMGBFD



．

解法二：延长CE交DA于I，如右图，

可得，::1:1AIBCAEEB，从而可以确定M的点的位置，

::2:3BMMFBCIF，

BMBF，1

BGBD(鸟头定理)，

可得

212111

5353430BMGBDFABCD

SSS





【例25】如图，ABCD为正方形，1cmAMNBDEFC且2cmMN，请问四边

形PQRS的面积为多少？

【解析】(法1)由//ABCD，有

MPPC

MNDC

，所以2PCPM，又MQMB

QCEC

，所以

MQQCMC，所以111

236

PQMCMCMC，所以

SPQR

S占

AMCF

S的1

，

所以

1(112)

63SPQR

S2(cm)．

(法

)如图，连结AE，则

448

2ABE



(2cm)，

而

RBER

ABEF

，所以2

RBAB

EFEF

，2216

333ABRABE



(2cm)．

而

343

22MBQANS



(2cm)，因为MNMP

DCPC

，

所以

MPMC，则114

233MNP



(2cm)，阴影部分面积等于

1642

333ABRANSMBQMNP

SSSS



(2cm)．

【例26】如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC，:4:3CEEA，求:AFFB．

【解析】根据燕尾定理得::4:912:27

AOBAOC

SSBDCD

△△

::3:412:16

AOBBOC

SSAECE

△△

（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以:27:16:

AOCBOC

SSAFFB

△△

【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我

们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达

到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BDDC，:5:6AECE，求:AFFB.

【解析】根据燕尾定理得::3:415:20

AOBAOC

SSBDCD

△△

::5:615:18

AOBBOC

SSAECE

△△

（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以:20:1810:9:

AOCBOC

SSAFFB

△△

【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3BDDC，:5:4EACE，求:AFFB.

【解析】根据燕尾定理得::2:310:15

AOBAOC

SSBDCD

△△

::5:410:8

AOBBOC

SSAECE

△△

（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以:15:8:

AOCBOC

SSAFFB

△△

【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我

们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达

到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例27】如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE，且三角形ABC的

面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为

________，三角形GHI的面积为______．

【分析】连接AH、BI、CG．

由于:3:2CEAE，所以

AEAC，故22

55ABEABC



；

根据燕尾定理，::2:3

ACGABG

SSCDBD



，::3:2

BCGABG

SSCEEA



，所以

::4:6:9

ACGABGBCG

SSS



，则4

19ACG



，9

19BCG



；

那么

2248

551995AGEAGC



；

同样分析可得

19ACH



，则::4

ACGACH

EGEHSS



，

::4:19

ACGACB

EGEBSS



，所以::4:5:1EGGHHB，同样分析可得

::10:5AGGIID，

所以

5521

101055BIEBAE



，5511

1919519GHIBIE



．

【巩固】如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE，且三角形GHI

的面积是1，求三角形ABC的面积．

【解析】连接BG，

AGC

△

6份

根据燕尾定理，::3:26:4

AGCBGC

SSAFFB

△△

，

::3:29:6

ABGAGC

SSBDDC

△△

得4

BGC

S

△

(份)，9

ABG

S

△

(份)，则19

ABC

S

△

(份)，因此

AGC

ABC

△

△

同理连接AI、CH得

ABH

ABC

△

△

BIC

ABC

△

△

,所以

196661

1919

GHI

ABC



△

△

三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【巩固】如图，ABC中2BDDA，2CEEB，2AFFC，那么ABC的面积是阴

影三角形面积的倍．

【分析】如图，连接AI．

根据燕尾定理，::2:1

BCIACI

SSBDAD



，::1:2

BCIABI

SSCFAF



，

所以，::1:2:4

ACIBCIABI

SSS



，那么，22

1247BCIABCABC

SSS







．

同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的

，所以阴影三角

形的面积等于ABC面积的

，所以ABC的面积是阴影三角形面

积的7倍．

【巩固】如图在ABC△中，

DCEAFB

DBECFA

,求GHI

ABC

△的面积

的值．

【解析】连接BG,设

BGC

△

1份，根据燕尾定理

::2:1

AGCBGC

SSAFFB

△△

,::2:1

ABGAGC

SSBDDC

△△

,得2

AGC

S

△

(份)，

ABG

S

△

(份),则7

ABC

S

△

(份)，因此

AGC

ABC

△

△

,同理连接AI、CH得

ABH

ABC

△

△

BIC

ABC

△

△

,所以

72221

GHI

ABC



△

△

【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置

上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很

多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们

有对称法作辅助线.

【例28】如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC

被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?

EDC

【解析】设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE

交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．

根据燕尾定理，::1:2

ABPCBP

SSAGGC

△△

，::1:2

ABPACP

SSBDCD

△△

，设

ABP

S

△

(份)，则1225

ABC

S

△

(份)，所以

5ABP

S

△

同理可得，

7ABQ

S

△

2ABN

S

△

,而

3ABG

S

△

，所以

213

7535APQ

S

△

，

121

3721AQG

S

△

．

同理，

35BPM

S

△

21BDM

S

△

,所以

1239

273570PQMN

S

四边形

，

1395

3357042MNED

S

四边形

1151

321426NFCE

S

四边形

1115

321642GFNQ

S

四边形

【巩固】如图，ABC的面积为1，点

、E是BC边的三等分点，点

、G是AC

边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？

【解析】连接CK、CI、CJ．

根据燕尾定理，::1:2

ACKABK

SSCDBD



，::1:2

ABKCBK

SSAGCG



，

所以::1:2:4

ACKABKCBK

SSS



，那么11

1247ACK







，

321AGKACK



．

类似分析可得

15AGI



．

又::2:1

ABJCBJ

SSAFCF



，::2:1

ABJACJ

SSBDCD



，可得1

4ACJ



．

那么，

1117

42184CGKJ

S．

根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为

，那么四边形JKIH周围的

图形的面积之和为

172161

8415370CGKJAGIABE

SSS



，所以四边形JKIH

的面积为

619

7070

．

【例29】右图，ABC△中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，

AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知ABM△的面积比四边形FCGN的

面积大7.2平方厘米，则ABC△的面积是多少平方厘米？

【解析】连接CM、CN．

根据燕尾定理，::1:1

ABMCBM

SSAGGC

△△

，::1:3

ABMACM

SSBDCD

△△

，所以

5ABMABC

SS

△△

；

再根据燕尾定理，::1:1

ABNCBN

SSAGGC

△△

，所以

::4:3

ABNFBNCBNFBN

SSSS

△△△△

，所以:4:3ANNF，那么

142

2437

ANG

AFC





△

，

所以

2515

77428FCGNAFCABCABC

SSSS







△△△

．

根据题意，有

7.2

528ABCABC

SS

△△

，可得336

ABC

S

△

(平方厘米)

【例30】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、

CA的三等分点,求阴影部分面积.

【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理

吧！

令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI

与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP

⑴求

ADMI

四边形

：在ABC△中，根据燕尾定理，

::1:2

ABMCBM

SSAICI

△△

::1:2

ACMCBM

SSADBD

△△

设1

ABM

S

△

(份)，则2

CBM

S

△

(份),1

ACM

S

△

(份),4

ABC

S

△

(份),

所以

4ABMACMABC

SSS

△△△

，所以

312ADMABMABC

SSS

△△△

12AIMABC

SS

△△

所以

111

()

12126ABCABC

ADMI

SSS

△△

四边形

同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC△面积的

⑵求

DNPQE

五边形

：在ABC△中，根据燕尾定理

::1:2

ABNACN

SSBFCF

△△

::1:2

ACNBCN

SSADBD

△△

所以

1111

33721ADNABNABCABC

SSSS

△△△△

,同理

21BEQABC

SS

△△

在ABC△中，根据燕尾定理

::1:2

ABPACP

SSBFCF

△△

,::1:2

ABPCBP

SSAICI

△△

所以

5ABPABC

SS

△△

，所以

11111

52121ABPADNBE

DNPQE

SSSSS







△△△△△

五边形

同理另外两个五边形面积是ABC△面积的

105

，所以

11113

133

610570

S

阴影

【例31】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、

CA的三等分点,求中心六边形面积.

【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR

在ABC△中根据燕尾定理，::.2:1

ABRACR

SSBGCG

△△

::1:2

ABRCBR

SSAICI

△△

所以

7ABRABC

SS

△△

,同理

7ACSABC

SS

△△

7CQBABC

SS

△△

所以

2221

7777RQS

S

△

，同理

7MNP

S

△

根据容斥原理，和上题结果

11131

777010

S

六边形

课后练习：

练习1.已知DEF△的面积为7平方厘米，,2,3BECEADBDCFAF，求ABC△的

面积．

【解析】:():()(11):(23)1:6

BDEABC

SSBDBEBABC

△△

，

:():()(13):(24)3:8

CEFABC

SSCECFCBCA

△△

:():()(21):(34)1:6

ADFABC

SSADAFABAC

△△

设24

ABC

S

△

份，则4

BDE

S

△

份，4

ADF

S

△

份，9

CEF

S

△

份，244497

DEF

S

△

份，恰好是7平方厘米，所以24

ABC

S

△

平方厘米

练习2.如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，

HDDA，求四边形ABCD的面积．

【解析】连接BD．由共角定理得:():()1:2

BCDCGF

SSCDCBCGCF

△△

，即

CGFCDB

SS

△△

同理:1:2

ABDAHE

SS

△△

，即2

AHEABD

SS

△△

所以2()2

AHECGFCBDADB

ABCD

SSSSS

△△△△

四边形

连接AC，同理可以得到2

DHGBEF

ABCD

SSS

△△

四边形

AHECGFHDGBEF

EFGHABCDABCD

SSSSSSS

△△△△

四边形四边形四边形

所以66513.2

ABCD

S

四边形

平方米

练习3.正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，

四边形BGHF的面积是平方厘米．

【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积．

由题意可得到：::1:2EGGCEBCD，所以可得：

3EBGBCE





将AB、DF延长交于M点，可得：

:::1:1BMDCMFFDBFFC，

而

::():3:2

EHHCEMCDABABCD，得2

CHCE，

而

CFBC，所以121

255CHFBCEBCE

SSS





111

12030

224BCE

SABBC





1177

3014

351515EBCEBCEBCEBC

BGHF

SSSSS





四边形

．

本题也可以用蝶形定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是

:FHHD)，同样也能解出．

练习4.如图，已知4cmABAE，BCDC，90BAEBCD，10cmAC，则

ABCACECDE



2cm．

【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形

'AEC和'ADC，再连接''AC，显然'ACAC，'ACAC，''ACACAC，所

以''ACAC是正方形．三角形'AEC和三角形'ADC关于正方形的中心O中

心对称，在中心对称图形''ACAC中有如下等量关系：

''AECADC



；

''AECADC



；

'CEDCDE



．

所以2

'''

101050cm

22ABCACECDEAECACECDEACAC

SSSSSSS



．

练习5.如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的

中点，四边形BGHF的面积是_____平方厘米．

【解析】连接BH,根据沙漏模型得:1:2BGGD,设1

BHC

S

△

份，根据燕尾定理

CHD

S

△

份，2

BHD

S

△

份，因此122)210S

正方形

（份，

127

236BFHG

S，所

以

1201014

6BFHG

S(平方厘米).

练习6.如图，ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，

若ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．

【解析】由于点

是边AC的中点，点E、

是边BC的三等分点，如果能求出BN、

NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中

当然也包括四边形CDMF的面积．

连接CM、CN．

根据燕尾定理，::2:1

ABMACM

SSBFCF



，而2

ACMADM



，所以

ABMACMADM

SSS



，那么4BMDM，即4

BMBD．

那么

4214

53215BMFBCD

BMBF

BDBC

，147

21530CDMF

S

四边形

．

另解：得出24

ABMACMADM

SSS



后，可得1111

55210ADMABD



，

则

117

31030ACFADM

CDMF

SSS





四边形

．

练习7.如右图，三角形ABC中，:::4:3AFFBBDDCCEAE，且三角形ABC的

面积是74，求角形GHI的面积．

【解析】连接BG，

AGC

△

12份

根据燕尾定理，::4:312:9

AGCBGC

SSAFFB

△△

，

::4:316:12

ABGAGC

SSBDDC

△△

得9

BGC

S

△

(份)，16

ABG

S

△

(份)，则9121637

ABC

S

△

(份)，因此

AGC

ABC

△

△

同理连接AI、CH得

ABH

ABC

△

△

BIC

ABC

△

△

,所以

371212121

3737

GHI

ABC



△

△

三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是

742



月测备选

【备选1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角

三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直

角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积．

乙

甲

乙

甲

【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等

于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：

2346236242211cm（）（）

【备选2】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积

是3平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三

角形ABO面积为矩形ABCD的面积的

，即9平方厘米，又四边形PMON

的面积为3平方厘米，所以三角形AMO与三角形BNO的面积之和是

18936平方厘米．

又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即

18平方厘米，所以阴影部分面积为18612(平方厘米)．

【备选3】如图，已知3BDDC，2ECAE，BE与CD相交于点O,则ABC△被分

成的

部分面积各占ABC△面积的几分之几？

13.5

4.5

【解析】连接CO,设1

AEO

S

△

份，则其他部分的面积如图所示，所以

1291830

ABC

S

△

份，所以四部分按从小到大各占ABC△面积的

124.5139313.59

,,,





【备选4】如图，在ABC△中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使

CEBC，F是AC的中点，若ABC△的面积是2，则DEF△的面积是多

少？

【解析】∵在ABC△和CFE△中，ACB与FCE互补，

∴

224

111

ABC

FCE

ACBC

SFCCE







△

．

又2

ABC

S，所以0.5

FCE

S．

同理可得2

ADF

S

△

，3

BDE

S

△

．

所以20.5323.5

DEFABCCEFDEBADF

SSSSS

△△△△△

【备选5】如图，:2:3BDDC,:5:3AECE,则:AFBF

【解析】根据燕尾定理有:2:310:15

ABGACG

SS

△△

,:5:310:6

ABGBCG

SS

△△

,所以

:15:65:2:

ACGBCG

SSAFBF

△△

【备选6】如图在ABC△中，

DCEAFB

DBECFA

,求GHI

ABC

△的面积

的值．

【解析】连接BG,设

BGC

△

1份，根据燕尾定理

::3:1

AGCBGC

SSAFFB

△△

,::3:1

ABGAGC

SSBDDC

△△

,得3

AGC

S

△

(份)，

ABG

S

△

(份),则13

ABC

S

△

(份)，因此

AGC

ABC

△

△

,同理连接AI、CH得

13ABH

ABC

△

△

BIC

ABC

△

△

所以

133334

1313

GHI

ABC



△

△

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