通项公式

通项公式

-

2023年3月2日发(作者：实收资本是什么意思)

八种求数列通项公式的方法

一、公式法

例1已知数列{}

n

a满足

1

232n

nn

aa



，

1

2a，求数列{}

n

a的通项公式。

解：

1

232n

nn

aa



两边除以12n，得1

1

3

222

nn

nn

aa





，则1

1

3

222

nn

nn

aa





，故数列{}

2

n

n

a

是以1

2

2

2

a

1

1为首项，以

2

3

为公

差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

3

1(1)

22

n

n

a

n，所以数列{}

n

a的通项公式为

31

()2

22

n

n

an。

评注：本题解题的关键是把递推关系式

1

232n

nn

aa



转化为1

1

3

222

nn

nn

aa





，说明数列{}

2

n

n

a

是等差数列，再直接利用等

差数列的通项公式求出

3

1(1)

22

n

n

a

n，进而求出数列{}

n

a的通项公式。

二、累加法

例2已知数列

{}

n

a满足

11

211

nn

aana



，，求数列{}

n

a的通项公式。

解：由

1

21

nn

aan



得

1

21

nn

aan



则

11232211

2

()()()()

[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)

2(1)1

2

(1)(1)1

nnnnn

aaaaaaaaaa

nn

nnn

nn

n

nn

n

















所以数列

{}

n

a的通项公式为2

n

an

。

评注：本题解题的关键是把递推关系式

1

21

nn

aan



转化为

1

21

nn

aan



，进而求出

11232211

()()()()

nnnn

aaaaaaaaa



，即得数列{}

n

a的通项公式。

例3已知数列

{}

n

a满足

11

2313n

nn

aaa



，

，求数列{}

n

a的通项公式。

解：由

1

231n

nn

aa





得

1

231n

nn

aa





则

11232211

1221

1221

1

()()()()

(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)

2(1)3

13

3313

31

nnnnn

nn

nn

n

n

n

aaaaaaaaaa

n

n

n

n

























所以

31.n

n

an

评注：本题解题的关键是把递推关系式

1

231n

nn

aa



转化为

1

231n

nn

aa



，进而求出

11232211

()()()()

nnnnn

aaaaaaaaaa



，即得数列{}

n

a的通项公式。

例4已知数列

{}

n

a满足

11

32313n

nn

aaa



，，求数列{}

n

a的通项公式。

解：

1

3231n

nn

aa



两边除以13n，得1

11

21

3333

nn

nnn

aa





，

则1

11

21

3333

nn

nnn

aa





，故

11223

211

22321

11

122

122

()()()()

33333333

212121213

()()()()

333333333

2(1)11111

()1

333333

nnnnnnn

nnnnn

nn

nnn

nnnn

aaaaaaa

aaa

aa

n



















因此

1

1

(13)

2(1)211

3

1

33133223

n

n

n

nn

a

nn









，

则

211

33.

322

nn

n

an

评注：本题解题的关键是把递推关系式

1

3231n

nn

aa



转化为1

11

21

3333

nn

nnn

aa





，进而求出

11223

211

1122321

()()()()

333333333

nnnnnn

nnnnnn

aaaaaa

aaa





，即得数列

3

n

n

a







的通项公式，最后再求数列

{}

n

a的通项公

式。

三、累乘法

例5已知数列

{}

n

a满足

11

2(1)53n

nn

anaa



，

，求数列{}

n

a的通项公式。

解：因为

11

2(1)53n

nn

anaa



，

，所以0

n

a，则12(1)5n

n

n

a

n

a

，故

13

2

1

1221

1221

1(1)(2)21

(1)

1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3

2[(1)32]53

325!

nn

n

nn

nn

nnn

nn

n

aaa

a

aa

aaaa

nn

nn

n





















所以数列

{}

n

a的通项公式为

(1)

1

2325!.

nn

n

n

an





评注：本题解题的关键是把递推关系

1

2(1)5n

nn

ana



转化为12(1)5n

n

n

a

n

a

，进而求出13

2

1

1221

nn

nn

aaa

a

a

aaaa





，即

得数列

{}

n

a的通项公式。

例6已知数列

{}

n

a满足

11231

123(1)(2)

nn

aaaaanan



，，求{}

n

a的通项公式。

解：因为

1231

23(1)(2)

nn

aaaanan



①

所以

11231

23(1)

nnn

aaaanana



②

用②式－①式得

1

.

nnn

aana





则

1

(1)(2)

nn

anan





故11(2)n

n

a

nn

a



所以13

222

122

!

[(1)43].

2

nn

n

nn

aaa

n

aannaa

aaa





③

由

1231

23(1)(2)

nn

aaaanan



，

212

22naaa取得，则

21

aa，又知

1

1a，则

2

1a，代入③得

!

1345

2n

n

an。

所以，

{}

n

a的通项公式为

!

.

2n

n

a

评注：本题解题的关键是把递推关系式

1

(1)(2)

nn

anan



转化为11(2)n

n

a

nn

a

，进而求出13

2

122

nn

nn

aaa

a

aaa





，

从而可得当

2

n

na时，的表达式，最后再求出数列{}

n

a的通项公式。

四、待定系数法

例7已知数列

{}

n

a满足

11

2356n

nn

aaa



，

，求数列

n

a的通项公式。

解：设1

1

52(5)nn

nn

axax



④

将

1

235n

nn

aa



代入④式，得12355225nnn

nn

axax，等式两边消去2

n

a，得135525nnnxx，两

边除以5n，得352,1,xxx则代入④式得1

1

52(5)nn

nn

aa



⑤

由1

1

56510a及⑤式得50n

n

a，则

1

1

5

2

5

n

n

n

n

a

a











，则数列

{5}n

n

a是以1

1

51a为首项，以2为公比的等

比数列，则152nn

n

a，故125nn

n

a。

评注：本题解题的关键是把递推关系式

1

235n

nn

aa



转化为1

1

52(5)nn

nn

aa



，从而可知数列{5}n

n

a是等比数

列，进而求出数列

{5}n

n

a的通项公式，最后再求出数列{}

n

a的通项公式。

例8已知数列

{}

n

a满足

11

35241n

nn

aaa



，，求数列{}

n

a的通项公式。

解：设1

1

23(2)nn

nn

axyaxy



⑥

将

1

3524n

nn

aa



代入⑥式，得

1352423(2)nnn

nn

axyaxy

整理得

(52)24323nnxyxy。

令

523

43

xx

yy











，则

5

2

x

y











，代入⑥式得

1

1

5223(522)nn

nn

aa



⑦

由1

1

522112130a及⑦式，

得

5220n

n

a

，则

1

1

522

3

522

n

n

n

n

a

a











，

故数列

{522}n

n

a

是以1

1

52211213a

为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133nn

n

a

，则

1133522nn

n

a

。

评注：本题解题的关键是把递推关系式

1

3524n

nn

aa





转化为1

1

5223(522)nn

nn

aa





，从而可知数列

{522}n

n

a

是等比数列，进而求出数列

{522}n

n

a

的通项公式，最后再求数列{}

n

a的通项公式。

例11已知数列

{}

n

a满足3(1)2

11

5nn

nn

aaa



，，求数列{}

n

a的通项公式。

解：因为3(1)2

1

nn

nn

aa



，所以121323(1)232

12

[]nnnnnn

nnn

aaa





2(2)(1)

32(2)(1)

3(3)(2)(1)

112(3)(2)(1)

(1)

1

2

3(1)2

2

3(2)23(1)2

3

3(2)(1)2

3

323(2)(1)2

1

3!2

1

[]

nn

nnn

nnn

nnnn

nn

n

nn

n

nnn

n

nnn

n

nnn

n

a

a

a

a

a









































又

1

5a，所以数列{}

n

a的通项公式为

(1)

1

23!25

nn

nn

n

a





。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2

1

nn

nn

aa





例13已知数列

{}

n

a满足

11

1

(14124)1

16nnn

aaaa



，，求数列{}

n

a的通项公式。

解：令124

nn

ba，则2

1

(1)

24nn

ab

故2

11

1

(1)

24nn

ab



，代入

1

1

(14124)

16nnn

aaa



得

22

1

111

(1)[14(1)]

241624nnn

bbb





即22

1

4(3)

nn

bb





因为1240

nn

ba，故

11

1240

nn

ba





则

1

23

nn

bb



，即

1

13

22nn

bb



，

可化为

1

1

3(3)

2nn

bb



，

所以

{3}

n

b是以

11

31243124132ba为首项，以

2

1

为公比的等比数列，因此12

11

32()()

22

nn

n

b，

则2

1

()3

2

n

n

b，即2

1

124()3

2

n

n

a，得

2111

()()

3423

nn

n

a。

[例1]已知

3log

1

log

2

3



x，求nxxxx32

的前n项和.

解：由

2

1

2loglog

3log

1

log

33

2

3





xxx

由等比数列求和公式得：

n

n

xxxxS32

=

x

xxn





1

)1(

＝

2

1

1

)

2

1

1(

2

1





n

＝1－

n2

1

[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

1

)32(

)(







n

n

Sn

S

nf的最大值.

解：由等差数列求和公式得)1(

2

1

nnS

n

，

1

1

(1)(2)

2n

Snn





∴

1

)32(

)(







n

n

Sn

S

nf＝

64342nn

n

＝

n

n

64

34

1



＝

50)

8

(

1

2

n

n

50

1

∴当

8

0n

n

，即n＝8时，

50

1

)(

max

nf

6464

(n2n16)

nn

也可以利用基本不等式

[例3]求和：

132)12(7531n

n

xnxxxS………………………①

解：由题可知，{

1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{

1nx}的通项之积：设

n

n

xnxxxxxS)12(7531432…②（设制错位）

①－②得

nn

n

xnxxxxxSx)12(222221)1(1432

（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

n

n

n

xn

x

x

xSx)12(

1

1

21)1(

1











。∴

2

1

)1(

)1()12()12(

x

xxnxn

S

nn

n







[例4]求数列,

2

2

,,

2

6

,

2

4

,

2

2

32n

n

前n项的和.解：由题可知，{

n

n

2

2

}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

n2

1

}的通项之积

设

n

n

n

S

2

2

2

6

2

4

2

2

32

…………………………………①

14322

2

2

6

2

4

2

2

2

1





n

n

n

S…………②①－②得

14322

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

2

1

1(





nn

n

n

S

112

2

2

1

2





nn

n

∴

12

2

4







n

n

n

S

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(

1n

aa.

[例6]求

89sin88sin3sin2sin1sin22222的值

解：设

89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①

将①式右边反序得：

1sin2sin3sin88sin89sin22222S……②又因为

1cossin),90cos(sin22xxxx

，①+②得：

)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.5