阿波罗尼圆
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2023年3月2日发(作者：qq小表情)数学史解析⼏何的起源
⼗六世纪以后，由于⽣产和科学技术的发展，天⽂、⼒学、航海等⽅⾯都对⼏何学提出了新的需要。⽐如，开普勒发现
⾏星是绕着太阳沿着椭圆轨道运⾏的，太阳处在这个椭圆的⼀个焦点上；意⼤利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物
线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线（⾼考必考的重要内容哦！），要研究这些⽐较复杂的曲线，原先的⼀套纯⼏何
⽅法显然已经不适应了，这就导致了解析⼏何的出现。
⼀句话：科学的需要和对⽅法论的兴趣，推动了费尔马和笛卡尔对坐标⼏何（解析⼏何）的研究。
•费马，出⾝于商⼈家庭，他的⽗亲多⽶尼克•费马在当地开了⼀家⼤⽪⾰商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从⼩
⽣活在富裕舒适的环境中，他是律师(律师是当时最时髦，最讲究的职业），数学是虽然他的业余爱好，但他数学造
诣极⾼（兴趣是第⼀推动⼒哦！）⾮常著名的“费马⼤定理”就是他提出的，他被后⼈称为“业余数学家之王”。他只
能⽤闲暇时间研究数学，但他对数论和微积分做出了第⼀流的贡献。
•费马关于曲线的⼯作，是从研究古希腊⼏何学家，特别是阿波罗尼(Apollonius)（⾼中数学解析⼏何中的阿波罗尼圆
就是以他的名字命名的）开始的，当时阿波罗尼《论平⾯轨迹》⼀书久已失传，⽽费尔马是把它重新写出来的⼈之
⼀。他⽤代数来研究曲线，他打算发起⼀个关于轨迹的⼀般研究，在这种研究是古希腊⼈没做到的。1629年他写了
⼀本《平⾯和⽴体的轨迹引论》，书中说，他找到了⼀个研究有关曲线问题的普遍⽅法。
•费马的发现⽐后⽂提到的笛卡⼉发现解析⼏何的基本原理还早七年。费马在书中还对⼀般直线和圆的⽅程、以及关
于双曲线、椭圆、抛物线进⾏了讨论。
•在1643年的⼀封信⾥，费马也谈到了他的解析⼏何思想，指出：“两个未知量决定的—个⽅程式，对应着⼀条轨迹，
可以描绘出平⾯⼀条直线或曲线。”不仅如此他还谈到了柱⾯、椭圆抛物⾯（图4-5)、双叶双曲⾯(图4-6）和椭球
⾯，指出：含有三个未知量的⽅程表⽰⼀个⽴体的曲⾯，并对此做了进⼀步地研究。
•费马也领悟到坐标轴是可以平移和旋转，从⽽他给出⼀些较复杂的⼆次⽅程，并指出它们可以简化到的简单形式
（⾼中数学中复杂的⽅程表⽰图形往往可以通过坐标轴平移变为简单⽅程，但图形形状是不变的）。他肯定地得到
如下结论：⼀个联系着两个变量的⽅程，如果是⼀次的就代表直线，如果是⼆次的就代表圆锥曲线。
•笛卡尔(下图），⾸先是⼀位杰出的近代哲学家。他是近代⽣物学的奠基⼈、第⼀流的物理学家，同时也是⼀位数学
家。它的⽗亲是⼀位相当富有的律师（⼜是富⼆代，没有⽣活压⼒，可以潜⼼研究数学）。笛卡尔⼤学毕业后去巴
黎当律师（⼜是律师），在那⾥他花了⼀年的时间，跟两位神甫⼀起研究数学。其后九年中，他曾在⼏个军队中服
役，但他⼀直研究数学。在荷兰布莱达地⽅的招贴牌有⼀个挑战性的问题，被他解决了。这使他⾃信有数学才能，
从⽽开始⽤⼼于数学（所以⾃信⼼和敢于接受挑战是学好数学的⼀个重要环节）。1649年他被邀请去做瑞典⼥皇的
教师，第⼆年在那⾥患肺炎逝世，享年五⼗四岁。
•笛卡尔对当时⼏何和代数的研究⽅法进⾏了分析和⽐较，他认为没有任何东西⽐⼏何图形更容易印⼊⼈的脑际了。
因此⽤⼏何这种⽅式表达事物是⾮常有益的，但他对欧⼏⾥德⼏何中的每⼀个证明都要求某种新的往往是奇巧的想
法，这⼀点深感不安。（在学习⼏何时，往往有这样的体会，有的⼏何证明⽅法是太精妙了，以⾄于都不知道他是
怎么想出来的。）他同时强调代数的⼀般性，以及它把程序机械化和把解题⼯作量减⼩的价值（代数程序机械化的
计算解决⼏何问题⽐那些奇思妙想的⼏何作图更能让⼈接受）。他看到代数具有作为⼀门普遍的科学⽅法的潜⼒。
他对当时通⾏的代数也加以批评，说它完全受公式和法则的控制，不像⼀门改进思想的科学。因此它主张采取代数
和⼏何中⼀切最好的东西，互相以长补短。它所作的⼯作就是把代数⽤到⼏何上去。在这⾥，他对⽅法的普遍兴趣
和他对代数的专门知识，就组成了联合⼒量，于是就产⽣了下⽂的《⼏何学》⼀书。
•1637年，笛卡尔发表了他的著作《⽅法论》，这本书的后⾯有三篇附录，其中⼀篇叫《⼏何学》，其中的中⼼思想
是建⽴起⼀种“普遍”的数学，把算术、代数、⼏何统⼀起来。他设想，把任何数学问题化为⼀个代数问题，在把任何
代数问题归结到去解⼀个⽅程式。
•为了实现上述的设想，笛卡尔从天⽂和地理的经纬制度出发，指出平⾯上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同
数值可以确定平⾯上许多不同的点，这样就可以⽤代数的⽅法研究曲线的性质。这就是解析⼏何的基本思想。
•具体地说，平⾯解析⼏何的基本思想有两个要点：第⼀，在平⾯建⽴坐标系，⼀点的坐标与⼀组有序的实数对相对
应；第⼆，在平⾯上建⽴了坐标系后，平⾯上的⼀条曲线就可由带两个变数的⼀个代数⽅程来表⽰了。从这⾥可以
看到，运⽤坐标法不仅可以把⼏何问题通过代数的⽅法解决，⽽且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系
了起来。
解析⼏何刚出现被冷落
从上⾯的叙述我们可以看出，费尔马和笛卡尔良⼈各⾃都研究了坐标⼏何，但是有种种原因，使坐标⼏何的思想──⽤代
数⽅程表⽰并研究曲线的思想，在当时没有很快地被数学家们热情地接受并利⽤（在科学史上，很多先进的思想和⽅法
数⽅程表⽰并研究曲线的思想，在当时没有很快地被数学家们热情地接受并利⽤（在科学史上，很多先进的思想和⽅法
在刚出现是都有这样的待遇）。⼀个原因是因为费尔马的书《平⾯和⽴体的轨迹引论》到1679年才出版，⽽笛卡尔的
《⼏何》中对⼏何作图题的强调，遮蔽了⽅程和曲线的主要思想。事实上，许多和他同时代的⼈，都认为坐标⼏何主要
是解决作图问题的⼯具，甚⾄莱布尼兹说笛卡尔的⼯作是退回到古代。虽然笛卡尔本⼈确实知道，它的贡献远远不限于
提供⼀个解决作图问题的⼯具，他在《⼏何》的引⾔中说：“我在第⼆卷中所作的关于曲线性质的讨论，以及考察在这
些性质的⽅法，根据我看远远超出了普通⼏何的论述。”但他利⽤曲线⽅程之处，确实被他的作图问题所掩盖。
坐标⼏何传播速度缓慢的另⼀个原因，是笛卡尔的书《⼏何》写得使⼈难懂。书中许多模糊不清之处，是他故意搞的。
它说欧洲⼏乎没有⼀个数学家能读懂他的著作，他只约略指出作图法和证法，⽽留给别⼈去填写⼊细节。他在⼀封信中
把他的⼯作⽐作建筑师的⼯作，只是定出计划，指明什么是应该做的，⽽把⼿⼯操作留给⽊⼯和⽡⼯。他还说：“我没
有做过任何不经⼼得删节，但我预见到，对于那些⾃命⽆所不知的⼈，我如果写的使他们能充分理解，他们将不失机会
地说我写的都是他们已经知道的东西。”还有另⼀理由，在《⼏何》中他说，他不愿意夺去读者们⾃⼰进⾏加⼯的乐
趣。的确，它的思想必须从它的书中许多解出的例题⾥去推测，他说，他之所以删去绝⼤多数定理的证明，是因为如果
有⼈不嫌⿇烦⽽去系统地考察这些例题，⼀般定理的证明就成为显然的了，⽽且照这样去学习是更为有益的。
影响坐标⼏何被迅速接收的原因，还有⼀个是许多数学家反对把代数和⼏何结合起来，认为数量运算和⼏何量的运算要
加以区别，不能混淆。再⼀个原因是当时代数被认为是缺乏严密性的。
上述种种原因，虽然阻碍了对费尔马和笛卡尔的贡献的了解，但随着16,17世纪物理学，天⽂学和光学的快速发展，对
⼏何学需求越来越⾼，慢慢的很多⼈逐渐采⽤并扩展了坐标⼏何，(数学推⼴最后还需落实到实际应⽤)使得解析⼏何得
到了长⾜的发展。