导数介值定理

导数介值定理

-

2023年3月2日发(作者：籍何以至此句式)

_

关于导数的29个典型习题

习题1设函数在0x的某邻域内1C类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(



ff若)0()2()(fhfbhfa在

0h时是比h高阶的无穷小，试确定ba,的值。

解由题设知0)0()1()]0()2()([lim

0





fbafhfbhfa

h

.

.01,0)0(baf由洛比达法则知

).0()2(

1

)2(2)(

lim

)0()2()(

lim0

00

fba

hfbhfa

h

fhbfhaf

hh



















洛

,0)0(



f故.02ba联立可

解出.1,2ba

习题2设,

0,0

0,

)(

)(





















x

x

x

exg

xf

x

其中)(xg有二阶连续导数，且1)0(,1)0(



gg.(1)求);(xf



(2)讨论

)(xf



在),(上的连续性.

解(1)当0x时，用公式有

,

)1()()()(])([

)(

22x

exxgxgx

x

exgexgx

xf

xxx













当0x时，用定义求导数，有

.

2

1)0()(

lim)0(

2

0

















g

x

exg

f

x

x

二次洛































.0,

2

1)0(

0,

)1()()(

)(2

x

g

x

x

exxgxgx

xf

x

(2)因在0x处有

).0(

2

1)0(

2

)(

lim

2

)1()()()(

lim)(lim

0

00

f

gexg

x

exexgxgxxg

xf

x

x

xx

xx









































洛

而)(xf



在0x处连续，故).,()(



Cxf

习题3证明：若022cybxayx（圆），其中cba,,为定数),04(22cba则



xd

yd

dx

dy

2

2

2

3

2])(1[

定数。

证求导，,022







ybayyx即.

2

2

by

ax

y









再导一次，,02222











ybyyy即

.

2

)1(22

by

y

y











_

)(.4

2

1

...1)2(

2

1

...

)1(

222

2

3

2

定数cbayby

y

y















注cba4

2

1

22恰是圆022cybxayx的半径.

习题4证明：若)(xf在),(a内可导，且,0)]()([lim







xfxf

x

则.0)(lim



xf

x

证作辅助函数,)(,)()(xxexGexfxF应Cauchy中值定理.

.)()(,0,0,0)]()([lim











xfxfAxAxfxf

x



Ax,由Cauchy中值定理有

xA

G

F

AGxG

AFxF



















,

)(

)(

)()(

)()(

（显然0)(

G）或)()(

)()(

1

)()(

ff

ee

eAfexf

e

eAfxf

Ax

Ax

xA

xA



















或(*)......)1()()()()(xAxAeffeAfxf





因,0lim



xA

x

e即.1,,

11

xAxAeeAxAA与

于是，2)()(

1

AfxfAx.即.0)(lim



xf

x

习题5设)(xf在),[a上有二阶导数，且,)(

0

Mxf

).()(0

2





xaMxf证明.2)(

20

MMxf



证),[ax以及任意),(,0ahxh，则有

].,[,)(

!2

1

)()()(2hxxhfhxfxfhxf







即

].,[),(

2

)]()([

1

)(hxxf

h

xfhxf

h

xf







由题设知.0),,[,

2

2

)(

2

0



haxM

h

h

M

xf下面求,h使

2

0

2

2

)(M

h

h

M

hg为最小。为此令,0

2

1

2

)(

2

2

0







M

h

M

hg解出,2

2

0

0M

M

h而,0

4

)(

3

0



h

M

hg故知

)(hg在

0

h处为最小..2)(

200

MMhg从而可知

))()(),()(,0().,[,2)(

0

20

hgxfhgxfhaxMMxf











故

习题6设函数].1,0[)(Cxf在)1,0(内可导，且.1)1(,0)0(ff

试证),1,0(,,,ba正数使得.

)()(

ba

f

b

f

a









证取数).1,0(由介值定理知),1,0(c使.)(cf在区间]1[c],0[，与c上分别应用微分中值定理有

_

.0)(,0)(.01,0),1,0(

,1,

1

1

1

)()1(

)(

,0,

0

)0()(

)(



















































ff

c

cc

cff

f

c

cc

fcf

f

即

从而.

)1(

)(

1

1

)()(























abacb

c

b

c

a

f

b

f

a

显然,当取

,

ba

a



则,1

ba

b



且).1,0(1,代入得

.

)()(

ba

f

b

f

a









习题7求)1ln()(2xxxf在0x处的100阶导数值。

解由Taylor公式有)(

98

...

32

)(100

10054

3xo

xxx

xxf.故

).!97(990

98

!100

)0(.

98

1

)0(

!100

1

)100()100(ff

习题8设,2ebae证明).(

4

lnln

2

22ab

e

ab

证设,ln)(2xxf应用Lagrange中值定理有

.),(

ln2

lnln22baabab





又设,

ln

)(

t

t

t

则,

ln1

)(

2t

t

t





当et时,,0)(



t此时)(t单减.从而

),()(2e即).(

4

lnln.

2lnln

2

22

22

2

ab

e

ab

ee

e







习题10设)(),(xgxf在),(内有定义，)(),(xfxf



存在，且满足.0)()()()(







xfxgxfxf如果

),(0)()(babfaf求证.,0)(bxaxf

证],,[)(baCxf故],,[,ba使

)}.({min)()},({max)(

],[

],[

xfmfxfMf

ba

ba

欲证

.,0)(bxaxf只需证明.0mM反证法，若,0M则,0)(),(



fba又)(f为极大，故

.0)(

f但另一方面

,0)()()()()(







Mffgff矛盾。故知.0M若,0m则仿上面的证明，有

.0)(,0)(





ff另一方面,0)()()()(







mfgff矛盾。故.0m命题得证。

习题11设],,[)(baCxf在),(ba内二阶可导，又设联结两点))(,()),(,(bfbafa的直线与曲线)(xfy相交于点

_

))(,(cfc，求证：在),(ba内至少存在一点,使.0)(

f

证对)(xf在],[],,[bcca上分别应用Lagrange中值定理，),,(),,(

21

bcca使

)(

)()(

),(

)()(

21

f

cb

cfbf

f

ac

afcf

















由于三点))(,()),(,()),(,(bfbcfcafa在同一直线上，所以).()(,

)()()()(

21

ff

cb

cfbf

ac

afcf



















再对

)(xfy



在],[

21

上应用Rolle定理可得：),,(

21

使.0)(

f

习题12设)(,xfcba在],[ca上有二阶导数),(xf



试证),,(ca使得

)(

2

1

))((

)(

))((

)(

))((

)(

f

bcac

cf

cbab

bf

caba

af















证令

)(

))((

)())((

))((

)())((

))((

)())((

)(xf

bcac

cfbxax

cbab

bfcxax

caba

afcxbx

xF



















则)(xF在],[ca上二阶可导，且.0)()()(cFbFaF对)(xF在],[],,[cbba上分别应用Rolle定理，

),,(),,(

21

cbba使.0)(,0)(

21







FF对),(xF



由于)(xF



在],[

21

上可导，再用Rolle定理，

),,(],[

21

ca使得.0)(

F而

)(

))((

)(2

))((

)(2

))((

)(2

)(xf

bcac

cf

cbab

bf

caba

af

xF



















令,x即得所求证的等式。

习题13设)(xf二阶可导，且.1)(min,0)1()0(

]1,0[





xfff

x

求证.8)(max

]1,0[







xf

x

证)(xf二阶可导，],1,0[)(Cxf且可导，由闭区间上连续函数的性质，),1,0(c使1)(cf为最小值，

且.0)(



cf再由Taylor公式有

,))((

2

1

1))((

2

1

))(()()(22cxfcxfcxcfcfxf













其中介于c与

x

之间，分别取,1,0xx得

.0)1)((

2

1

1)1(,0)(

2

1

1)0(2

1

2

0





cffcff当]

2

1

,0(c时，由前式推出;8

2

)(

2

0





c

f当

)1,

2

1

[c时，由后式推出,8

)1(

2

)(

2

1









c

f由此即得.8)(max

]1,0[







xf

x

习题14设.1,10px试证.1)1(21pppxx

证令].1,0[,)1()(xxxxfpp则)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且].)1([)(11

ppxxpxf由

_

0)(



xf得唯一驻点.

2

1

x由于)().1(2)

2

1

(,1)1(,1)0(1xffffp在]1,0[上的最大值为1，最小值为

.21p于是.1)1(21pppxx

习题15设)(xf在],[ba上二阶可导，,0)(,0)(







bfaf则在),(ba内必存在一点,使

.)()(

)(

4

)(

2

afbf

ab

f







证将)(xf在ax处展开，令,

2

ba

x



即

)

2

,(,)

2

(

2

)(

)

2

)(()()

2

(

1

2

1

ba

aa

ba

f

a

ba

afaf

ba

f























类似)(xf在bx处展开，令

,

2

ba

x



则有

),

2

(,)

2

(

2

)(

)

2

)(()()

2

(

2

2

2b

ba

b

baf

b

ba

bfbf

ba

f























.)

2

(

2

)(

)()

2

(,)

2

(

2

)(

)()

2

(

,0)()(

2

2

2

1

abf

bf

ba

f

abf

af

ba

f

bfaf





























相减得)()(afbf

,

4

)(

2

)()(2

21

abff









所以

,

4

)(

)(

4

)(

2

)()(

)()(

22

21

ab

f

ab

ff

afbf





















其中





















)()(,

)()(

212

211







ff

ff

当

，当

，即在),(ba内存在一点，使

.)()(

)(

4

)(

2

afbf

ab

f







习题16设)(xf在]2,0[上二阶可导，且,1)(,1)(



xfxf证明.2)(



xf

证将)(xf在x点展开，求出),2(f)0(f的值：

)2,0(,)2(

2

)(

)2)(()()2(

1

2

1











x

f

xxfxff

)2,0(,)0(

2

)(

)0)(()()0(

2

2

2











x

f

xxfxff相减

],)()2)(([

2

1

)(2)0()2(2

1

2

1

xfxfxfff









因此

],)()2()([

2

1

)2()0()(22

1

2

1

xfxfffxf









因为

,1)(,1)(



xfxf故有,3)1(])2[(

2

1

2)(2222



xxxxf

_

当20x时，,4)(2,43)1(2



xfx即.2)(



xf

习题17设)(xf在]1,0[上二阶可导，且其最大值在)1,0(内达到：.1)(,

4

1

)(max

],[









xfxf

bax

试证

.1)1()0(ff

证(类似方法处理，先将)(xf在某点展开，再将0,1分别代入x)

设)1(ax是)(xf的最大值点，则有0)(



af且.

4

1

)(af应用Taylor公式有

1,)1(

2

)(

4

1

)1(

2

)(

)1)(()()1(

,

2

)(

4

1

)0(

2

)(

)0)(()()0(

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1













































aa

f

a

f

aafaff

aoa

f

a

f

aafaff

因此

,)1(

2

1

4

1

)1(

2

)(

4

1

)1(

,

2

1

4

1

2

)(

4

1

)0(

22

2

22

1

aa

f

f

aa

f

f

















于是10,11])1([

2

1

2

1

)1()0(222aaaaaff

习题22设],1,0[)(3Cxf且.0)

2

1

(,2)1(,1)0(



fff证明),1,0(使.24)(

f

（提示：用三阶Taylor公式，将)(xf在

2

1

x处展开，然后分别用0,1代

x

,相减，利用条件便有

.1)()(

48

1

21







ff即.48)()(

21







ff于是

48)()()(,)(max2

2121











ffff，即





.24)(,)(max

21

ff在(0,1)内至少存在一点,使.24)(

f）

第七节函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

1．增量：变量

x

从初值

1

x

变到终值

2

x

，终值与初值的差叫变量

x

的增量，记作x，即x＝

1

x

－

2

x

。

（增量可正可负）。

例1分析函数2xy当

x

由2

0

x变到05.2

0

xx时，函数值的改变量。

2．函数在点连续的定义

_

定义１：设函数

y

＝

)(xf

在点

0

x的某个邻域内有定义，如果自变量

x

的增量x=

0

xx趋向于零时，

对应的函数增

y

＝)()(

0

xfxf也趋向于零，则称函数

y

＝

)(xf

在点

0

x处连续。

定义２：设函数

y

＝

)(xf

在点

0

x的某个邻域内有定义，如果函数

)(xf

当

0

xx时的极限存在，即

)()(lim

0

0

xfxf

xx





，则称函数

y

＝

)(xf

在点

0

x处连续。

定义3：设函数

y

＝

)(xf

在点

0

x的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数



，总存在正数，

使得对于适合不等式

0

xx的一切

x

，所对应的函数值

)(xf

都满足不等式：)()(

0

xfxf，则

称函数

y

＝

)(xf

在点

0

x连续。

注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数

)(xf

在点

0

x连续，必须同时满足下列三个条件：

（1）函数

y

＝

)(xf

在点

0

x的某个邻域内有定义（函数

y

＝

)(xf

在点

0

x有定义），（2）

)(lim

0

xf

xx

存

在；（3）

)()(lim

0

0

xfxf

xx





。

3．函数

y

＝

)(xf

在点

0

x处左连续、右连续的定义：

（1）函数

y

＝

)(xf

在点

0

x处左连续

)(xf

在

00

,xx内有定义，且)()(lim

0

0

0

xfxf

xx





（即

)()0(

00

xfxf）。

（2）函数

y

＝

)(xf

在点

0

x处右连续

)(xf

在

00

,xx内有定义，且)()(lim

0

0

0

xfxf

xx





（即

)()0(

00

xfxf）。

显然，函数

y

＝

)(xf

在点

0

x处连续函数

y

＝

)(xf

在点

0

x处既左连续又右连续。

(3)、函数

y

＝

)(xf

在点

0

x处连续是

)(lim

0

xf

xx

存在的充分条件，而非必要条件。

3、函数在区间上连续的定义

定义4：如果函数

y

＝

)(xf

在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右

连续，在右端点处左连续），则称函数

y

＝

)(xf

在该区间上是连续的。

例1：讨论下列函数在区间

),(

内的连续性

（1）2)(xxf

（2）

xxfcos)(

（3）xexf)(

_

例2：设

















0

0

2sin

)(

2xax

x

x

x

xf，试确定b的值，使函数

)(xf

在0x处连续。

二、函数的间断点

（一）．间断点概念：设函数

)(xf

在),(

0



xU内有定义（在点

0

x处可以无定义），如果函数

)(xf

在点

0

x

处不连续，则称点

0

x为函数

)(xf

的一个间断点（或不连续点）。

函数

)(xf

在点

0

x连续：函数

)(xf

在点

0

x不连续：

（1）函数

)(xf

在点

0

x有定义，（1*）函数

y

＝

)(xf

在点

0

x没有定义

（2）

)(lim

0

xf

xx

存在；（2*）

)(lim

0

xf

xx

不存在

（3）

)()(lim

0

0

xfxf

xx





（3*）

)(lim

0

xf

xx

存在，但

)(xf

在点

0

x没有定义，或

)()(lim

0

0

xfxf

xx





（二）.间断点的分类

设

0

x为函数

)(xf

的一个间断点，

1、第一类间断点

)0(

0

xf，)0(

0

xf都存在，

（1）若)0(

0

xf=)0(

0

xf，即

)(lim

0

xf

xx

存在，此类间断点称为可去间断点。

函数

)(xf

在点

0

x无定义，函数

)(xf

在点

0

x有定义，但

)()(lim

0

0

xfxf

xx





。

（2）若)0(

0

xf)0(

0

xf，即

)(lim

0

xf

xx

不存在，此类间断点称为跳跃间断点。

2.第二类间断点

)0(

0

xf与)0(

0

xf中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷

间断点和振荡间断点。

例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型

（1）

x

x

xf

2sin

)(

（2）

x

xf

1

arctan)(

（3）

23

1

)(

2

2







xx

x

xf

_

（4）

x

xf

1

sin)(